山东省实验中学2022级第三次诊断性考试数学试题（文科）【试卷综析】全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查.全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、旋转体、简易逻辑试卷都有所考查.在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识.明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.第I卷（共50分）【题文】一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）【题文】1.如图，U是全集，则阴影部分所表示的集合是A.B.C.D.【知识点】集合A1【答案】【解析】B解析：由集合的关系可知阴影部分为M集合的补集与N集合的交集，所以B为正确选项.【思路点拨】由集合的文氏图可分析所表示的含义.【题文】2.已知命题是A.B.C.D.【知识点】命题A2【答案】【解析】C解析：根据命题的关系,可知在有全称量词的否定中,要变为特称量词,再把定结论,所以可知C为正确结果.【思路点拨】由命题间的关系，根据命题的转变，全称量词与特称题词在命题中的运用.【题文】3.设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.B.C.D.-11-【知识点】三视图G2【答案】【解析】D解析：由三视图可知，几何体为正主休内挖去一个圆锥，所以该几何体的体积为【思路点拨】由三视图得到直观图来分析几何体的数据，再求出体积.【题文】4.在不等式组确定的平面区域中，若的最大值为6，则的值为A.B.2C.D.6【知识点】简单线性规划E5【答案】【解析】B解析：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（a，a），化z=x+2y，得．由图可知，当直线过A（a，a）时z有最大值，∴z=a+2a=3a=6，即a=2．故选：B．【思路点拨】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数求得a的值【题文】5.设分别是中所对边的边长，则直线-11-与的位置关系是A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直【知识点】正弦定理的应用；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系C8H1【答案】【解析】C解析：由题意可得直线sinA•x+ay+c=0的斜率，bx﹣sinB•y+sinC=0的斜率∵k1k2===﹣1则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0垂直故选C．【思路点拨】要寻求直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系，只要先求两直线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可【题文】6.函数的图象的大致形状是【知识点】函数的图像B8【答案】【解析】D解析：由函数式可知当时，，当时，，由函数的图像可知，函数的大致形状是D选项.【思路点拨】由指数函数的图像可以作出相应函数的图像，再找出正确选项.【题文】7.已知，则向量的夹角为A.B.C.D.【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】B解析：由向量的数量积定义可知，，所以B为正确选项.【思路点拨】由向量的数量积的定义可直接代入求出两向量夹角的余弦值，再求出角.【题文】8.对于不重合的两个平面，给定下列条件：①存在平面，使得-11-都垂直于；②存在平面，使得都平行于；③内有不共线的三点到的距离相等；④存在异面直线，使得，其中，可以判定平行的条件有A.1个B.2个C.3个D.4个【知识点】平面与平面平行的判定G4【答案】【解析】B解析：平面α、β都垂直于平面γ，平面α与平面β可能平行，也可能相交，故①错误当平面α与平面β相交时，在平面的两侧也存在三点到平面β的距离相等，故③错误由面面平行的判定定理可知，当l、m移成相交直线时确定的平面与、都平面，所在，故④正确，故选B【思路点拨】平面与平面平行的判定定理是，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，由此一一判断即可【题文】9.在中，若，则是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【知识点】正余弦定理C8【答案】【解析】D解析：由题意可得，，所以三角形为等腰或直角三角形【思路点拨】由两角和与差的正弦公式与正弦定理可化简出结果.【题文】10.已知，方程在[0，1]内有且只有一个根，则在区间内根的个数为A.2022B.2022C.1007D.1006【知识点】根的存在性及根的个数判断B9【答案】【解析】A解析：∵f（x）=f（﹣x+2），∴f（x）的图象关于x=1对称，又∵方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，∴方程f（x）=0在[1，2]内有且只有一个根，故方程f（x）=0在[0，2]上有且只有两个根，；又∵f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x）是周期为2的函数，故f（x）=0的根为x=k+2，k∈Z；故f（x）=0在区间[0，2022]内根的个数为2022，故选A【思路点拨】由题意可推出f（x）=0的根为x=k+，k∈-11-Z；从而得到f（x）=0在区间[0，2022]内根的个数第II卷（非选择题，共100分【题文】二、填空题（本题包括5小题，共25分）【题文】11.设向量，若向量与向量共线，则_______；【知识点】平行向量与共线向量F2【答案】【解析】2解析：∵a=（1，2），b=（2，3），∴λa+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3）．∵向量λa+b与向量c=（﹣4，﹣7）共线，∴﹣7（λ+2）+4（2λ+3）=0，∴λ=2．故答案为2【思路点拨】用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解【题文】12.在等差数列中，，则_________；【知识点】等差数列的性质D2【答案】【解析】74解析：由等差数列的性质可知【思路点拨】根据等差数列的等差中项的性质可求出结果.【题文】13._________；【知识点】正弦定理C8【答案】【解析】解析：由正弦定理可知，又因为所以角A为【思路点拨】根据正弦定理可求出角A的正弦值，再由三角形的边长求出角.【题文】14.设两圆的交点为A、B，则线段AB的长度为是__________；【知识点】直线与圆的位置关系H4【答案】【解析】D解析：x2+y2﹣4x﹣3=0，x2+y2﹣4y﹣3=0的公共弦为x﹣y=0，x2+y2﹣4x﹣3=0的圆心为（2，0），半径为，圆心到直线的距离为=2，∴线段AB的长度为2=2，故答案为：【思路点拨】求出公共弦，x2+y2﹣4x﹣3=0的圆心为（2，0），半径为，可得圆心到直线的距离，即可求出线段AB的长度．【题文】15.给出下列命题：①函数是偶函数；-11-②函数图象的一条对称轴方程为；③对于任意实数，有时，则时，；④函数与函数的图象关于直线对称；⑤若且则；其中真命题的序号为____________.【知识点】函数的性质B8【答案】【解析】①③④解析：①函数可化为所以是偶函数，②函数的对称轴方程为所以②错误，③为奇函数，为偶函数，再由导数与函数的单调性之间的关系可知③正确，由函数的图像的关系可知两函数关于对称，所以④正确，再由不等式的条件可知时，不一定为正值，所以⑤不正确.所以正确结果有①③④【思路点拨】由函数的性质与图像可一一判定结果.【题文】三、解答题（本题包括5小题，共75分）【题文】16.（本小题满分12分）已知向量（I）求函数的最小正周期和单调递增区间；（II）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，把所得到的图象再向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的图象，求函数在区间上的最小值。【知识点】三角函数的图像变换；向量的运算C4F2【答案】【解析】(I)由的单调递增区间为(II)解析：函数的最小正周期，，由的单调递增区间为-11-(II)根据条件得，当时，所以当时，【思路点拨】先根据向量的运算求出函数的解析式，再根据解析式求出周期与单调区间，再根据三角函数的图象变换求出【题文】17.（本小题满分12分）已知数列是非常数列的等差数列，为其前项和，，且成等比数列；数列满足的前项和为。（I）求数列、的通项公式；（II）的前项和为，求使成立的最小正整数。【知识点】数列的通项公式D1【答案】【解析】(I)(II)10解析：（1），得，因为成等比数列，所以，解得，因为是非常数列，所以，所以，，所以数列的通项分别是(II)因为，使成立的最小正整数是10【思路点拨】由已知条件可求出是公差为2的等差数列，再根据关系式求出的通项公式，第二问可由数列的前n项和公式求出最小正整数n的值.【题文】18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点，-11-（I）求证：;（II）求证：//平面;（III）求三棱锥的体积。【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定G7G4【答案】【解析】(I)略(II)略(III)4解析：（1）证明：在△ABC中，∵AC=3，AB=5，BC=4，∴△ABC为直角三角形，∴AC⊥BC…（2分）又∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥BC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1，∴BC⊥AC1．（2）证明：设B1C与BC1交于点E，则E为BC1的中点，连结DE，则在△ABC1中，DE∥AC1，又DE⊂面CDB1，AC1⊄面CDB1，∴AC1∥平面B1CD．（3）解：在△ABC中，过C作CF⊥AB，F为垂足，∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CF⊥平面ABB1A1，而，∵，AC垂直于平面【思路点拨】（1）由勾股定理得AC⊥BC，由CC1⊥面ABC得到CC1⊥BC，从而得到BC⊥面ACC1，故BC⊥AC1．（2）连接B1C交BC1于点E，则DE为△ABC1的中位线，得到DE∥AC1，从而得到AC1∥面B1CD．（3）过C作CF⊥AB垂足为F，CF⊥面ABB1A1，面积法求CF，求出三角形DB1A1的面积，代入体积公式进行运算．【题文】19.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，满足，（I）求证：数列是等比数列；（II）求。【知识点】数列的基本概念与性质D1【答案】【解析】(I)略(II)解析：①-11-②，①-②所以是等比数列.(II),①-②,【思路点拨】由数列的前n项和与通项的关系可求出是等比数列，再利用错位相减法求出值.【题文】20.（本小题满分13分）已知点，曲线C上的动点P满足.（I）求曲线C的方程；（II）若过定点的直线与曲线C有公共点，求直线的斜率k的取值范围；（III）若动点在曲线上，求的取值范围。【知识点】平面向量数量积的运算；点到直线的距离公式F3G11【答案】【解析】(I)x2+y2=1(II)（﹣∞，﹣]∪[，+∞）(III)（﹣∞，﹣]解析：（I）设P（x，y），=（x+2，y）•（x﹣2，y）=x2﹣4+y2=﹣3，即有x2+y2=1，P点的轨迹为圆C：x2+y2=1；（Ⅱ）可设直线l：y=kx﹣2，即为kx﹣y﹣2=0，当直线l与曲线C有交点，得，，解得，k或k．即有直线l的斜率k的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；（Ⅲ）由动点Q（x，y），设定点N（1，﹣2），则直线QN的斜率为k==u，又Q在曲线C上，故直线QN与圆有交点，由于直线QN方程为y+2=k（x﹣1）即为kx﹣y﹣k﹣2=0，-11-当直线和圆相切时，=1，解得，k=﹣，当k不存在时，直线和圆相切，则k的取值范围是（﹣∞，﹣]【思路点拨】（I）设P（x，y），运用向量的数量积的坐标表示，化简即可得到曲线C的方程；（Ⅱ）可设直线l：y=kx﹣2，运用直线和圆有公共点的条件：d≤r，运用点到直线的距离公式，解不等式即可得到取值范围；（Ⅲ）由动点Q（x，y），设定点N（1，﹣2），u=的几何意义是直线QN的斜率，再由直线和圆相交的条件d≤r，解不等式即可得到范围．【题文】21.（本小题满分14分）已知函数。（I）函数处的切线平行，求实数的值；（II）若，划分函数的单调区间；（III）函数在区间上为增函数，求实数的取值范围。【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性B11【答案】【解析】(I)a=1(II)略(III)解析：（Ⅰ）由f（x）=ax2﹣2x+lnx，得，由题意，，即2a﹣1=a，解得a=1；（Ⅱ），①当a=0时，，在区间（0，]上f′（x）≥0，f（x）为增函数；在区间[，+∞）上f′（x）≤0，f（x）为减函数；②当0＜a时，2a2﹣2x+1=0的根为，．在区间（0，]上f′（x）≥0，f（x）为增函数；在区间[]上f′（x）≤0，f（x）是减函数；在区间[，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）为增函数；-11-③当a时，△=4﹣8a≤0，f′（x）≥0，在区间（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立，函数在（0，+∞）上为增函数．（Ⅲ）函数f（x）在区间[2，4]上为增函数，则在[2，4]上恒成立，等价于在[2，4]上恒成立，令，则等价于t2﹣2t+2a≥0在区间[]上恒成立．∵g（x）=t2﹣2t+2a在区间[]上为减函数，∴，即．【思路点拨】（Ⅰ）求出原函数的导函数由求得a的值；（Ⅱ）求出原函数的导函数，分a=0，0＜a，a三种情况由导函数的符号判断原函数的单调期间；（Ⅲ）把函数f（x）在区间[2，4]上为增函数，转化为在[2，4]上恒成立，即在[2，4]上恒成立，令换元后得到t2﹣2t+2a≥0在区间[]上恒成立．然后由函数的单调性求得最小值得答案．-11-
