2022-2022学年山东省威海市乳山市高三（上）期中数学试卷（文科） 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|a≤x≤b}，集合B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若A∩B=φ，A∪B=U，则a，b的值分别是（ ）A．﹣1，2B．2，﹣1C．﹣1，1D．﹣2，2 2．命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是（ ）A．∃x∈R，2x≥0B．∃x∈R，2x＜0C．∀x∈R，2x≥0D．∀x∈R，2x＜0 3．将函数（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（ ）A．B．C．D． 4．已知，且，则tanα等于（ ）A．B．C．D． 5．设a＞0，b＞0．若2a•2b=2，则的最小值为（ ）A．8B．4C．1D． 6．已知函数f（n）=其中n∈N*，则f（6）的值为（ ）A．6B．7C．8D．9 7．已知等比数列{an}的前n项积为Πn，若a2•a4•a6=8，则Π7等于（ ）A．512B．256C．81D．128 8．若实数x，y满足，则z=y﹣x的最小值为（ ）A．8B．﹣8C．﹣6D．6 -16-\n9．若a=0.32，b=20.3，c=log0.32，则a，b，c由大到小的关系是（ ）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞a＞b 10．已知=ad﹣bc，则++…+=（ ）A．﹣2022B．2022C．2022D．﹣2022 二.填空题：本大题共5小题，每小题分，共25分.11．曲线y=lnx在点（e，1）处的切线方程为 ． 12．在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB= ． 13．设向量，若向量与向量共线，则λ= ． 14．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=28，则k= ．15．设a＞1，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围为 ． 三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．已知集合A={y|y=x2﹣x+1，x∈[﹣，2]，B={x|x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＞0}；命p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围． 17．已知函数f（x）=（Ⅰ）当a=0时，写出不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥a2对一切实数x恒成立时，求实数a的取值范围． 18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB，acosA，bcosC成等差数列（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）若a=1，cosB+cosC=，求△ABC的面积． -16-\n19．奇函数f（x）=的定义域为R，其中y=g（x）为指数函数且过点（2，4）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t2+2t+k）+f（﹣2t2+2t﹣5）＞0解集非空，求实数k的取值范围． 20．已知递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项，等差数列{bn}的前n项和为{Sn}，s4=20，b4=a3．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若Tn=，求Tn． 21．已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）证明（a2+1）xlnx≥x﹣1，在区间[1，+∞）恒成立；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值． -16-\n2022-2022学年山东省威海市乳山市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|a≤x≤b}，集合B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若A∩B=φ，A∪B=U，则a，b的值分别是（ ）A．﹣1，2B．2，﹣1C．﹣1，1D．﹣2，2考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求解一元二次不等式化简结合B，然后由A∩B=φ，A∪B=U求得a，b的值．解答：解：由x2﹣x﹣2＞0，得x＜﹣1或x＞2，∴B={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}，又∵A={x|a≤x≤b}，且A∩B=∅，A∪B=U，∴a=﹣1，b=2．故选：A．点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 2．命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是（ ）A．∃x∈R，2x≥0B．∃x∈R，2x＜0C．∀x∈R，2x≥0D．∀x∈R，2x＜0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是：∀x∈R，2x＜0．故选：D．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系 3．将函数（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（ ）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：令y=f（x）=2sin（3x+），易求y=f（x+）=2sin（3x+），再将其横坐标扩大到原来的2倍即得答案．解答：解：令y=f（x）=2sin（3x+），-16-\n将f（x）=2sin（3x+）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得：y=f（x+）=2sin[3（x+）+]=2sin（3x+），再将y=2sin（3x+）图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象的解析式为y=2sin（x+），故选：B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考查平移变换与伸缩变换，属于中档题． 4．已知，且，则tanα等于（ ）A．B．C．D．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据同角的三角函数间的基本关系sin2α+cos2α=1可求出cosα的值，再根据tanα=可求出所求．解答：解：∵，∴α为第四象限角，则cosα＞0，而sin2α+cos2α=1；解得cosα=则tanα===故选B．点评：本题主要考查学生会利用同角三角函数间的基本关系化简求值，以及会根据象限角判断其三角函数的取值，属于基础题． 5．设a＞0，b＞0．若2a•2b=2，则的最小值为（ ）A．8B．4C．1D．考点：基本不等式；有理数指数幂的化简求值．专题：不等式的解法及应用．分析：首先将已知等式化简，得到a+b=1，再所求乘以a+b，展开，利用基本不等式求最小值．-16-\n解答：解：因为2a•2b=2，所以2a+b=21，所以a+b=1，因为a＞0，b＞0．则=（a+b）（）=2+≥2+2=4，当且仅当即a=b=时等号成立；故选B．点评：本题考查了运用基本不等式求代数式的最小值；关键是1的巧用． 6．已知函数f（n）=其中n∈N*，则f（6）的值为（ ）A．6B．7C．8D．9考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得f（6）=f[f（11）]=f（8）=f[f（13）]=f（10）=10﹣3．解答：解：由函数的解析式可得f（6）=f[f（11）]=f（8）=f[f（13）]=f（10）=10﹣3=7，故选B．点评：本题主要考查利用分段函数求函数的值，属于基础题． 7．已知等比数列{an}的前n项积为Πn，若a2•a4•a6=8，则Π7等于（ ）A．512B．256C．81D．128考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质和题意可求出a4的值，再由等比数列的性质可得Π7=a1•a2…a7=，代入求值即可．解答：解：由等比数列的性质得，a2•a4•a6==8，解得a4=2，所以Π7=a1•a2…a7==27=128，故选：D．点评：本题考查了等比数列的性质的灵活运用，这是常考的题型，注意项数之间的关系． 8．若实数x，y满足，则z=y﹣x的最小值为（ ）A．8B．﹣8C．﹣6D．6考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先作出已知不等式组表示的平面区域，将目标函数变形为y=x+z，此关系式可看作是斜率为1，纵截距为z的直线系方程，只需将直线y=x平移到纵截距最小的位置，即可找到z的最小值．解答：解：在同一坐标系中，分别作出直线x+y﹣2=0，x=4，y=5，-16-\n标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由z=y﹣x，得y=x+z，此关系式可表示斜率为1，纵截距为z的直线，当直线y=x+z经过区域内的点A时，z最小，此时，由，得，即A（4，﹣2），从而zmin=y﹣x=﹣2﹣4=﹣6．故答案为：C．点评：本题考查了数形结合思想、转化与化归思想等，关键是作出已知不等式组表示的平面区域，并将目标函数的最值转化为直线的纵截距，在画平面区域时，应注意：（1）若不等式中含有等于号，则边界画成实线；若不等式中不含等于号，边界画成虚线．（2）如何判断不等式表示的区域位置？常用如下两种方法：方法①，找特殊点法（一般找坐标原点），即将（0，0）代入Ax+By+C中，若A×0+B×0+C＞0，即C＞0，则Ax+By+C＞0表示与原点同侧的区域，同时Ax+By+C＜0表示与原点异侧的区域；若A×0+B×0+C＜0，即C＜0，则Ax+By+C＜0表示与原点同侧的区域，同时Ax+By+C＞0表示与原点异侧的区域．方法②，通过每一个不等式中A，B的符号及不等号来判断．先作个简单的约定：一条直线可以把平面分成三类，直线上侧，直线上，直线下侧，或者分成直线左侧，直线上，直线右侧．当A＞0时，Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0的右侧区域，Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0的左侧区域；当B＞0时，Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0的上侧区域，Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0的下侧区域． 9．若a=0.32，b=20.3，c=log0.32，则a，b，c由大到小的关系是（ ）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞a＞b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜a=0.32＜1，b=20.3＞1，c=log0.32＜0，∴c＜a＜b．故选：B．点评：本题考查了对数函数的单调性，属于基础题．-16-\n 10．已知=ad﹣bc，则++…+=（ ）A．﹣2022B．2022C．2022D．﹣2022考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用=2n（2n+6）﹣（2n+2）（2n+4）=﹣8．即可得出．解答：解：∵=2n（2n+6）﹣（2n+2）（2n+4）=﹣8．又2022=4+8（n﹣1），解得n=252．∴=（4×10﹣6×8）+（12×18﹣16×14）+…+（2022×2022﹣2022×2022）=﹣8×252=﹣2022．故选：D．点评：本题考查了行列式的计算、等差数列的通项公式、乘法公式的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二.填空题：本大题共5小题，每小题分，共25分.11．曲线y=lnx在点（e，1）处的切线方程为 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由y=lnx，知y′=，故曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，由此能求出曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程．解答：解：∵y=lnx，∴y′=，∴曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为：y﹣1=（x﹣e），整理，得．故答案为：．点评：本题考查曲线的切线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用． 12．在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB= ．-16-\n考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理可求得sinB=，再由b＜a，可得B为锐角，cosB=，运算求得结果．解答：解：由正弦定理可得=，∴sinB=，再由b＜a，可得B为锐角，∴cosB==，故答案为：．点评：本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinB=，以及B为锐角，是解题的关键． 13．设向量，若向量与向量共线，则λ= 2 ．考点：平行向量与共线向量．分析：用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解．解答：解：∵a=（1，2），b=（2，3），∴λa+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3）．∵向量λa+b与向量c=（﹣4，﹣7）共线，∴﹣7（λ+2）+4（2λ+3）=0，∴λ=2．故答案为2点评：考查两向量共线的充要条件． 14．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=28，则k= 6 ．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等差数列的性质可得a1+kd+a1+（k+1）d=28，代值解关于k的方程即可．解答：解：由题意可得Sk+2﹣Sk=ak+1+ak+2=28，∴a1+kd+a1+（k+1）d=28又∵a1=1，公差d=2，∴1+2k+1+2（k+1）=28解得k=6故答案为：6点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题． -16-\n15．设a＞1，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围为 [2，+∞） ．考点：全称命题．专题：分类讨论；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先求出1≤x≤e时，g（x）的最大值，再求出f（x）在区间[1，e]上的最小值，根据题意，比较这两个最值，求出实数a的取值范围．解答：解：当1≤x≤e时，g'（x）=1﹣=≥0，∴g（x）是增函数，最大值为g（e）=e﹣1；∵f'（x）=1﹣==，∴①当1＜a＜2时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，最小值为f（1）=1+，令1+≥e﹣1，得2≤a＜2；②当2≤a≤e时，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（a）=，令≥e﹣1，解得a≥（e﹣1），取2≤a≤e；③当a＞e时，f（x）在区间[1，e]上是减函数，最小值为f（e）=e+，令e+≥=e﹣1，解得a2＞﹣e，取a＞e；综上，实数a的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．点评：本题考查了函数性质的应用问题，也考查了导数的综合应用问题，考查了转化思想、分类讨论思想的应用问题，是难题． 三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．已知集合A={y|y=x2﹣x+1，x∈[﹣，2]，B={x|x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＞0}；命p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：分别化简集合A，B，结合A⊆B，得到不等式，解出即可．解答：解：先化简集合A，由，配方得：，-16-\n∵，∴，化简集合B，x2﹣（2m+1）+m（m+1）＞0，解得x≥m+1或x≤m，∵命题p是命题q的充分条件，∴A⊆B，∴，解得，则实数．点评：本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题． 17．已知函数f（x）=（Ⅰ）当a=0时，写出不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥a2对一切实数x恒成立时，求实数a的取值范围．考点：其他不等式的解法；分段函数的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）将a=0代入解析式，得到关于x的一元一次不等式解之即可，注意自变量的范围；（2）只要求出f（x）的最小值，使最小值≥a2即可．解答：解：（Ⅰ）当a=0时，不等式为f（x）=，（1分）不等式f（x）≥6，时，﹣4x+2≥6，∴x≤﹣1（2分），时，4x﹣2≥6，∴x≥2（4分）∴f（x）≥6的解集是{x|x≤﹣1或x≥2}；（5分）所以，不等式的解集是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）（6分）（Ⅱ）要使不等式f（x）≥a2对一切实数x恒成立，只要f（x）的最小值≥a2即可；函数f（x）=的最小值是4+3a（9分）所以4+3a≥a2⇒﹣1≤a≤4（12分）-16-\n所以使不等式f（x）≥a2对一切实数x恒成立时的实数a的取值范围是﹣1≤a≤4．点评：本题考查了分段函数与不等式结合的问题；关于恒成立问题，很多是求函数的最值问题，属于中档题． 18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB，acosA，bcosC成等差数列（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）若a=1，cosB+cosC=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）ccosB，acosA，bcosC成等差数列，则有2acosA=ccosB+bcosC化简为2sinAcosA=sinA，而sinA≠0，所以，故可求A的值；（Ⅱ）由（I）和已知可得，从而可求得，或，从而由三角形面积公式直接求值．解答：解：（Ⅰ）∵ccosB，acosA，bcosC成等差数列，∴2acosA=ccosB+bcosC由正弦定理知：a=2RsinA，c=2RsinC，b=2RsinB代入上式得：2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosA=sin（B+C）．又B+C=π﹣A，所以有2sinAcosA=sin（π﹣A），即2sinAcosA=sinA．而sinA≠0，所以，由及0＜A＜π，得A=．（Ⅱ）由，得，得．由，知．于是，或．所以，或．若，则．在直角△ABC中，，面积为．若，在直角△ABC中，，面积为总之有面积为．点评：本题主要考察了正弦定理，余弦定理的综合应用，考察了三角形面积公式的应用，属于基础题． 19．奇函数f（x）=的定义域为R，其中y=g（x）为指数函数且过点（2，4）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；-16-\n（Ⅱ）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t2+2t+k）+f（﹣2t2+2t﹣5）＞0解集非空，求实数k的取值范围．考点：指数函数综合题；函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）设g（x）=ax（a＞0，a≠1），代入点，即可得到g（x），再由奇函数的定义，即可得到m=1；（Ⅱ）先判断f（x）的单调性，可运用导数或分离变量法，要使对任意的t∈[0，5]，f（t2+2t+k）+f（﹣2t2+2t﹣5）＞0解集非空，即对任意的t∈[0，5]，f（t2+2t+k）＞﹣f（﹣2t2+2t﹣5）解集非空．再由奇函数和单调性的性质，运用分离参数方法，结合二次函数的最值，即可得到k的范围．解答：解：（Ⅰ）设g（x）=ax（a＞0，a≠1），则a2=4，∴a=2，∴．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴，整理得m（2x+1）=2x+1，∴m=1，∴；（Ⅱ）∵，∴y=f（x）在R上单调递减． 也可用为R上单调递减． 要使对任意的t∈[0，5]，f（t2+2t+k）+f（﹣2t2+2t﹣5）＞0解集非空，即对任意的t∈[0，5]，f（t2+2t+k）＞﹣f（﹣2t2+2t﹣5）解集非空．∵f（x）为奇函数，∴f（t2+2t+k）＞f（2t2﹣2t+5）解集非空，又∵y=f（x）在R上单调递减，∴t2+2t+k＜2t2﹣2t+5，当t∈[0，5]时有实数解，∴k＜t2﹣4t+5=（t﹣2）2+1当t∈[0，5]时有实数解，而当t∈[0，5]时，1≤（t﹣2）2+1≤10，∴k＜10．点评：本题考查函数的奇偶性和单调性及运用：求函数的表达式和解不等式，考查运算能力，考查分离参数的方法，属于中档题和易错题． 20．已知递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项，等差数列{bn}的前n项和为{Sn}，s4=20，b4=a3．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；-16-\n（Ⅱ）若Tn=，求Tn．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）等差数列与等比数列的通项公式性质即可得出；（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）设等比数列{an}首项为a1，公比为q．由已知得2（a3+2）=a2+a4 代入a2+a3+a4=28可得a3=8．于是a2+a4=20． 故，解得或．又数列{an}为递增数列，故，∴．设等差数列{bn}首项为a1，公比为d．则有得b1=2，d=2，∴bn=2n．（Ⅱ）∵，，两式相减得=，∴．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21．已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）证明（a2+1）xlnx≥x﹣1，在区间[1，+∞）恒成立；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．-16-\n考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，问题转化为上恒成立，从而得到答案；（Ⅱ）问题转化为，整理得（a2+1）xlnx≥x﹣1，从而证得结论；（Ⅲ）通过讨论a≥1，，，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值．解答：解：．（Ⅰ）由已知，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即上恒成立，又∵当，∴a≥1．即a的取值范围为[1，+∞）；（Ⅱ）∵a≥1时，f（x）在区间[1，+∞）单调递增，∴在区间[1，+∞）单调递增，，即，整理得（a2+1）xlnx≥x﹣1，（Ⅲ）当a≥1时，∵f'（x）＞0在（1，e）上恒成立，f（x）在[1，e]上为增函数，∴f（x）min=f（1）=0，当，∵f'（x）＜0在（1，e）上恒成立，f（x）在[1，e]上为减函数，∴， 当时，令．又∵，∴，综上，f（x）在[1，e]上的最小值为①当时，；②当时，．③当a≥1时，f（x）min=0．-16-\n点评：本题考查了函数的单调性问题，函数的最值问题，考查了导数的应用，是一道综合题． -16-
