2022-2022学年度上学期期中考试高一数学2022.11考生注意：1、本卷考试范围：人教A版必修1。满分150分，考试时间120分钟；2、答题前请在答题卷上填写好自己的学校、姓名、班级、考号等信息；3、请将答案正确填写在答题卷指定的位置，在非答题区位置作答无效。第I卷（选择题共60分）一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分。)1.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是( )A．18B．17C．16D．152.已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )A．A＝BB．A∩B＝∅C．A⊆BD．B⊆A3.已知全集U＝，集合P＝，Q＝，则(∁UP)∪Q等于( )A．B．C．D．4.函数y＝＋lnx的定义域为( )A．{x|x>0}B．{x|x≥1}C．{x|x>1}D．{x|0<x≤1}5.已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，映射f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于( )A．1B．2C．3D．46.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )A．a＜c＜bB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a-7-\n7.已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是( )A．[－1,1]B．[－2,0]C．[0,2]D．[－2,2]8.已知函数f(x)＝x2＋ax＋4，若对任意的x∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，则实数a的最大值为( )A．－1B．1C．－2D．29.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )A．－3B．1C．2D．1或210.已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是下图中的( )11.已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为( )A．B．60C．D．12.已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是( )A．(3,5)B．(－1，＋∞)C．(－∞，5)D．(－1,5)第II卷（非选择题共90分）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.若幂函数y＝(m2＋3m＋3)的图象不过原点，且关于原点对称，则m＝________.14.已知f(x5)＝log2x，则f(2)＝________.15.化简的值为________．-7-\n16.已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象过点P(4，)，则f(x)的解析式为________．三、解答题(共6小题,共70分)17.（12分）设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．18.（12分）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，(1)试画出f(x)，x∈[－3,5]的图象；(2)求f(37.5)；(3)常数a∈(0,1)，y＝a与f(x)，x∈[－3,5]的图象相交，求所有交点横坐标之和．19.（10分）某公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？20.（12分）记函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝在(0，＋∞)上为增函数时k的取值集合为B，函数h(x)＝x2＋2x＋4的值域为集合C.(1)求集合A，B，C；(2)求集合A∪(∁RB)，A∩(B∪C)．21.（12分）已知f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a2(a∈R)，若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和．(1)求g(x)和h(x)的解析式；(2)若f(x)和g(x)在区间(－∞，(a＋1)2]上都是减函数，求f(1)的取值范围．-7-\n22.（12分）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝.(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性；(3)若对任意的t∈R，不等式f(k－3t2)＋f(t2＋2t)≤0恒成立，求k的取值范围.2022-2022学年度上学期期中考试高一数学答案1.B2.D3.C4.B5.D6.C7.D8.A9.B10.B11.B12.A13.－214.15.16.f(x)＝log16x17.证明 (1)若a∈A，则∈A.又∵2∈A，∴＝－1∈A.-7-\n∵－1∈A，∴＝∈A.∵∈A，∴＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，.(2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．18.解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(x＋2)＝f(－x)，∴f(x)关于直线x＝1对称．由f(x)在[0,1]上的图象反复关于(0,0)，x＝1对称，可得f(x)，x∈[－3,5]的图象如图．(2)由图可知f(x＋4)＝f(x)，∴f(37.5)＝f(4×9＋1.5)＝f(1.5)＝f(0.5)＝.(3)由图可知，当a∈(0,1)时，y＝a与f(x)，x∈[－3,5]有4个交点，设为x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)．由图可知＝－1，＝3.∴x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋6＝4.19.解(1)设投资x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，依题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.由图1，得f(1)＝0.2，即k1＝0.2＝.由图2，得g(4)＝1.6，即k2×＝1.6，∴k2＝.故f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．(2)设B产品投入x万元，则A产品投入10－x万元，设企业利润为y万元，-7-\n由(1)得y＝f(10－x)＋g(x)＝－x＋＋2(0≤x≤10)．∵y＝－x＋＋2＝－(－2)2＋，0≤≤.∴当＝2，即x＝4时，ymax＝＝2.8.因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元．20.解(1)要使有意义，则2x－3>0，解得x>，所以集合A＝{x|x>}．因为函数g(x)＝在(0，＋∞)上为增函数，所以k－1<0，解得k<1.所以集合B＝{x|x<1}，因为h(x)＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以集合C＝{x|x≥3}．(2)由B＝{x|x<1}，可得∁RB＝{x|x≥1}．因为A＝{x|x>}，所以A∪(∁RB)＝{x|x≥1}．因为A＝(，＋∞)，B∪C＝{x|x<1或x≥3}，所以A∩(B∪C)＝{x|x≥3}．21.解(1)由题g(x)＝(a＋1)x，h(x)＝x2＋a2.(写出答案就给满分)(2)因为f(x)和g(x)在区间(－∞，(a＋1)2]上都是减函数，所以－≥(a＋1)2，即－≤a≤－1，且a＋1<0，即a<－1，从而－≤a<－1，又f(1)＝a＋2＋a2，可看成是关于变量a的函数f(a)，又f(a)在区间[－，－1)上单调递减，所以f(1)的取值范围为2<f(1)≤.22.解 (1)因为当x≥0时，f(x)＝，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝.所以f(x)＝(2)当x≥0时，f(x)＝＝2－，-7-\n所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数.又f(x)是奇函数，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.(3)由题知不等式f(k－3t2)＋f(t2＋2t)≤0等价于f(k－3t2)≤f(－t2－2t)，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以k－3t2≤－t2－2t，即2t2－2t－k≥0，即对一切t∈R，恒有2t2－2t－k≥0，所以Δ＝4＋8k≤0，解得k≤－.-7-
