育才学校2022届高三上学期期中考试卷文科数学第I卷选择题60分一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(RB)=()A．(1，4)B．(3，4)C．(1，3)D．(1，2)2.已知命题P:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题Q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若P或Q是真命题,P且Q是假命题,则实数a的取值范围是( )A．(-12,-4]∪[4,+∞)B．[-12,-4]∪[4,+∞)C．(-∞,-12)∪(-4,4)D．[-12,+∞)3.设f(x)＝g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是( )A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C．[0，＋∞)D．[1，＋∞)4.设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f等于( )A．－B．－C．D．5.设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数：fK(x)＝取函数f(x)＝a－|x|(a>1)．当K＝时，函数fK(x)在下列区间上单调递减的是( )A．(－∞，0)B．(－a，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)6.函数的图象大致是( )-10-\n7.f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋x·f′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为( )A．(－4,0)∪(4，＋∞)B．(－4,0)∪(0,4)C．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(0,4)8.在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于( )A．B．C．－D．－9.设函数的最小正周期为，且，则（）A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增10.已知△ABC中，的对边分别为.若，且，则（）A．2B．C．D．11.数列{}满足，则{}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．183012.已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )-10-\nA．13B．15C．19D．21第II卷非选择题90分二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项，则=。14.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若sinA＝sinC，∠B＝30°，b＝2，则△ABC的面积是________．15.已知集合A＝，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．16.已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为三、解答题(共6小题,共70分)17.（10分）设向量＝(sinx，sinx)，＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若||＝||，求x的值；(2)设函数f(x)＝·，求f(x)的最大值．18.（12分）设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．19.（12分）已知数列的前项和，（为正整数）.（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，，求.20.（12分）在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.-10-\n(1)求∠B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值．21.（12分）已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)是奇函数．(1)求m的值；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当f(x)的定义域为(1，a－2)时，f(x)的值域为(1，＋∞)，求a的值．22.（12分）设y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x－x2.(1)求当x<0时，f(x)的解析式；(2)请问是否存在这样的正数a、b，当x∈[a，b]时，g(x)＝f(x)，且g(x)的值域为？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．育才学校2022届高三上学期期中考试卷文科数学答案一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)-10-\n1.B2.C3.C4.A5.D6.C7.D8.C9.A10.A11.D12.A二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.4【解析】因为=，设，则有====，当且仅当，即，所以当为数列{}的最大项时，=4。14..【解析】由正弦定理＝，又sinC＝sinA，∴a＝c.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，∴c＝2，a＝2，-10-\n∴S△ABC＝ac·sinB＝.15.(－∞，－3]∪[6，＋∞)【解析】由x2－x－6<1，即x2－x－6>0，解得x<－2或x>3，故A＝{x|x<－2，或x>3}；由log4(x＋a)<1，即0<x＋a<4，解得－a<x<4－a，故B＝{x|－a<x<4－a}，由题意，可知BA，所以4－a≤－2或－a≥3，解得a≥6或a≤－3.16.【解析】，∴∴围成的面积=+=.故答案为.三、解答题(共6小题,共70分)17.(1)；(2).【解析】(1)由||2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，||2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及||＝||，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)f(x)＝·＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值1.-10-\n所以f(x)的最大值为.18.(1)a＞－(2)【解析】由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a，当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a；令＋2a＞0，得a＞－.所以，当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝.所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)，又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0，即f(4)＜f(1)．所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－.得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.19.（1）证明见解析；（2）【解析】（1）在中，令n=1，可得，即，当时，，，-10-\n又数列是首项和公差均为1的等差数列，于是.(2)由（I）得，所以由①-②得：20.(1)由a2＋c2＝b2＋ac得a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理得cosB＝＝＝.又0＜B＜π，所以B＝.(2)A＋C＝π－B＝π－＝，所以C＝－A,0＜A＜.所以cosA＋cosC＝cosA＋cos＝cosA＋coscosA＋sinsinA＝cosA－cosA＋sinA＝sinA＋cosA-10-\n＝sin.因为0＜A＜，所以＜A＋＜π，故当A＋＝，即A＝时，cosA＋cosC取得最大值1.21.(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga＝0对定义域内的任意x恒成立，∴＝1，∴(m2－1)x2＝0，m＝±1.当m＝1时，＝－1，函数无意义，∴m＝－1.(2)由(1)知，f(x)＝loga，∴定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，求导得f′(x)＝logae.①当a>1时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－1)与(1，＋∞)上都是减函数；②当0<a<1时，f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－1)与(1，＋∞)上都是增函数．(3)∵1<x<a－2，∴a>3，f(x)在(1，a－2)内为减函数，∴命题等价于f(a－2)＝1，即loga＝1⇒a2－4a＋1＝0，解得a＝2＋(a＝2－舍去)22.(1)当x<0时，－x>0，于是f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－2x－x2)＝2x＋x2，即f(x)＝2x＋x2(x<0)．(2)假设存在，则由题意知g(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，x∈[a，b]，a>0,所以≤1，a≥1,从而函数g(x)在[a，b]上单调递减．于是所以a、b是方程2x－x2＝的两个不等正根，方程变形为x3－2x2-10-\n＋1＝0，即(x－1)(x2－x－1)＝0，方程的根为x＝1或x＝.因为0<a<b,所以a＝1，b＝.-10-
