育才学校2022-2022学年度第二学期期末考试卷高二(普通班)理科数学第I卷（选择题60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。)1.命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是( )A.∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B.∀x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1C.∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D.∃x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1【答案】A【解析】因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是：.故选：A.2.设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.3.已知全集U＝{x∈Z|0<x<10}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则(∁UA)∩B＝( )A.{6，8}B.{2，4}C.{2，6，8}D.{4，8}【答案】A【解析】【分析】先化简已知条件,再求.【详解】由题得因为,.故答案为：A-13-\n【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.4.在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若q＝2，且a2与2a4的等差中项为18，则S5＝( )A.－62B.62C.32D.－32【答案】B【解析】【分析】先根据a2与2a4的等差中项为18求出，再利用等比数列的前n项和求S5.【详解】因为a2与2a4的等差中项为18，所以，所以.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查等比数列的通项和前n项和，考查等差中项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)等比数列的前项和公式：.5.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等，则a6＝( )A.B.C..D.1【答案】B【解析】【分析】设等差数列{an}和{}的公差为d，可得an=a1+（n﹣1）d，=+（n﹣1）d，于是==+d，=+2d，化简整理可得a1，d，即可得出．【详解】设等差数列{an}和{}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，=+（n﹣1）d，∴==+d，=+2d，平方化为：a1+d=d2+2d，2a1+3d=4d2+4d，-13-\n可得：a1=d﹣d2，代入a1+d=d2+2d，化为d（2d﹣1）=0，解得d=0或．d=0时，可得a1=0，舍去．∴，a1=．∴a6=．故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前n项和，意在考查学生岁这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的关键是利用==+d，=+2d求出d.6.已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x、y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝，则a2017的值为( )A.4033B.3029C.2249D.2209【答案】A【解析】【分析】因为是选择题，可用特殊函数来研究，根据条件，底数小于1的指数函数符合题意，可令f（x）=（）n，从而很容易地求得则a1=f（0）=1，再由f（an+1）=（n∈N*），得到an+1=an+2，由等差数列的定义求得结果．【详解】根据题意，不妨设f（x）=（）n，则a1=f（0）=1，∵f（an+1）=（n∈N*），（n∈N*），∴an+1=an+2，∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列∴an=2n﹣1∴a2022=4034-1=4033故答案为：A-13-\n【点睛】本题主要考查抽象函数及其应用．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．对于客观题不妨灵活处理，进而来提高效率，拓展思路，提高能力．7.若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】由函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，得0<a<1.y＝loga|x|在上为单调递减，排除B,C,D又因为y＝loga|x|为偶函数，函数图象关于y轴对称，故A正确.故选A.8.函数f(x)＝，则不等式f(x)>2的解集为( )A.(－2，4)B.(－4，－2)∪(－1，2)C.(1，2)∪(，＋∞)D.(，＋∞)【答案】C【解析】当时，有，又因为，所以为增函数，则有，故有；当时，有，因为是增函数，所以有，解得，故有。综上。故选C9.已知函数f(x)＝ax，其中a>0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于( )A.1B.aC.2D.a2【答案】A【解析】【分析】-13-\n由已知可得，再根据指数运算性质得解.【详解】因为以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，所以.因为f(x)＝ax，所以f(x1)·f(x2)=.故答案为：A【点睛】本题主要考查指数函数的图像性质和指数运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.10.已知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，若a＝f(－3)，b＝f，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b【答案】D【解析】函数的图象关于直线对称,所以为偶函数，当时，，函数单增，;，,因为,且函数单增，故,即，故选D.11.若关于x的方程|x4－x3|＝ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据方程和函数的关系转化为函数，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．【详解】当x=0时，0=0，∴0为方程的一个根．当x＞0时，方程|x4﹣x3|=ax等价为a=|x3﹣x2|，令f（x）=x3﹣x2，f′（x）=3x2﹣2x，由f′（x）＜0得0＜x＜，由f′（x）＞0得x＜0或x＞，∴f（x）在(0,)上递减，在上递增，又f（1）=0，-13-\n∴当x=时，函数f（x）取得极小值f（）=﹣，则|f（x）|取得极大值|f（）|=，∴设的图象如下图所示，则由题可知当直线y=a与g（x）的图象有3个交点时0＜a＜，此时方程|x4﹣x3|=ax在R上存在4个不同的实根，故．故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查函数与方程的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是分离参数得到a=|x3﹣x2|，其二是利用导数分析函数的单调性得到函数的图像12.对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是( )A.[2，4]B.C.D.[2，3]【答案】D【解析】试题分析：易知函数的零点为，设函数的一个零点为，若函数和互为“零点关联函数”，根据定义，得，即，作出函数的图象，因为，要使函数-13-\n的一个零点在区间上，则，即，解得；故选D．考点：1.新定义函数；2.函数的零点．【难点点睛】本题以新定义函数为载体考查函数的零点的分布范围，属于中档题；解决此类问题的关键在于：正确理解新定义“零点关联函数”，抓住实质，合理与所学知识点建立联系，如本题中新定义的实质是两个函数的零点的差不超过1，进而利用零点存在定理进行求解，这也是学生解决此类问题的难点所在.第II卷（非选择题90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)13.已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为________．【答案】.【解析】【分析】先化简每一个命题得到a的取值范围，再把两个范围求交集得解.【详解】因为命题p：∀x∈R，x2－a≥0，所以a≤0，因为命题q：∃x0∈R，＋2ax0＋2－a＝0，所以因为命题“p且q”是真命题，所以两个命题都是真命题，所以.-13-\n【点睛】(1)本题主要考查全称命题和特称命题，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.14.＝________.【答案】-1.【解析】，故答案为.15.已知正项数列{an}满足，若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．【答案】.【解析】【分析】先化简得到数列{an}是一个等比数列和其公比，再求数列{an}的前n项和.【详解】因为，所以，因为数列各项是正项，所以，所以数列是等比数列，且其公比为3，所以数列{an}的前n项和为.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查等比数列性质的判定，考查等比数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)解答本题的关键是得到.16.已知函数f(x)＝mx2＋(2－m)x＋n(m>0)，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1恒成立，则＝________.【答案】.【解析】-13-\n试题分析：由题意得，，因此，从而，考点：二次函数性质三、解答题(本大题共6个小题，共70分。)17.设命题幂函数在上单调递减。命题在上有解；若为假，为真，求的取值范围.【答案】.【解析】试题分析：由真可得，由真可得 ，为假，为真等价于一真一假，讨论两种情况，分别列不等式组，求解后再求并集即可.试题解析：若正确，则， 若正确， 为假，为真，∴一真一假 即的取值范围为.18.已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．【答案】(1)A∪B＝{x|－2<x<3}．(2)(－∞，－2]．(3)[0，＋∞)．【解析】试题分析：（1）m＝－1，用轴表示两个集合，做并集运算，注意空心点，实心点。（2）由于A⊆B，首先要保证1-m>2m,即集合B非空，然后由数轴表示关系，注意等号是否可取-13-\n。（3）空集有两种情况，一种是集合B为空集，一种是集合B非空，此时用数灿表示，写出代数关系，注意等号是否可取。试题解析：（1）当m＝－1时，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B＝{x|－2<x<3}（2）由A⊆B知，解得，即m的取值范围是（3）由A∩B＝∅得①若，即时，B＝∅符合题意②若，即时，需或得或∅，即综上知，即实数的取值范围为19.等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，前n项和为Sn；数列{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝6，b2＋S3＝8.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)求.【答案】(1)an＝n，bn＝2n－1.(2).【解析】试题分析：（1）设等差数列{an}的公差为d，d＞0，{bn}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）明确通项的表达式，利用错位相减法求和.试题解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，d>0，等比数列{bn}的公比为q，则an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1.依题意有解得或(舍去)．-13-\n故an＝n，bn＝2n－1.(2)由(1)知Sn＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)，即＝＝2，故＋＋…＋＝2＝2＝.20.已知等差数列{an}，等比数列{bn}满足：a1＝b1＝1，a2＝b2，2a3－b3＝1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn.【答案】(1)an＝bn＝1或an＝2n－1，bn＝3n－1.(2)Sn＝n或Sn＝(n－1)×3n＋1.【解析】【分析】(1)先解方程组得到，即得数列{an}，{bn}的通项公式.(2)利用错位相减求数列{cn}的前n项和Sn.【详解】(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由已知可得,解得.从而an＝bn＝1或an＝2n－1，bn＝3n－1.(2)①当an＝bn＝1时，cn＝1，所以Sn＝n；②当an＝2n－1，bn＝3n－1时，cn＝(2n－1)×3n－1，Sn＝1＋3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)×3n－1，3Sn＝3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n－1)×3n，从而有(1－3)Sn＝1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n－1)×3n＝1＋2(3＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝1＋2×－(2n－1)×3n＝－2(n－1)×3n－2，故Sn＝(n－1)×3n＋1.-13-\n综合①②，得Sn＝n或Sn＝(n－1)×3n＋1.【点睛】(1)本题主要考查等比等差数列通项的求法，考查错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.21.已知函数，，，其中为常数且，令函数．（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1），，.（2）.【解析】解：(1)f(x)＝，x∈[0，a]，(a>0)．(2)函数f(x)的定义域为[0，]，令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈[1，]，f(x)＝F(t)＝＝，∵t＝时，t＝±2∉[1，]，又t∈[1，]时，t＋单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈[，]．即函数f(x)的值域为[，]．22.已知时，函数，对任意实数都有，且，当时，（1）判断的奇偶性；（2）判断在上的单调性，并给出证明；（3）若且，求的取值范围.【答案】(1)偶函数.(2)见解析.-13-\n(3).【解析】【分析】(1)利用赋值法得到，即得函数的奇偶性.(2)利用函数单调性的定义严格证明.(3)先求出，再解不等式.【详解】（1）令，则，，为偶函数.（2）设，，∵时，，∴，∴，故在上是增函数.（3）∵,又∴∵，∴，即，又故.【点睛】(1)本题主要考查抽象函数的单调性、奇偶性的证明，考查函数的图像和性质的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.-13-
