安徽省江南片2022届高三开学摸底联考理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,再求得，及。【详解】由题意得，，∴，∴．故选C．【点睛】集合与集合运算，一般先化简集合到最简形式，如果两个集合都是连续型数集，则常利用数轴求集合运算结果，如果是离散型集合运算常运用枚举法或韦恩图。2.下列命题错误的是（）A.命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程无实数根，则”；B.若为真命题，则至少有一个为真命题；C.“”是“”的充分不必要条件；D.若为假命题，则均为假命题【答案】D【解析】对于，命题“若，则方程有实数根”的逆否命题是：“若方程无实数根，则”，故命题正确；对于，因为的真假判断是有真则真，所以命题正确；时，，时，或-17-\n，是“”的充分不必要条件，故命题正确；对于，若为假命题，则为假命题，为真命题，或为真命题，为假命题，或均为假命题，命题错误，故选D.【方法点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，“且命题”“或命题”的真假，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.设，则“”是“直线与直线垂直”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】两条直线垂直的充要条件是，故可判断两个命题之间的关系.【详解】若，则两条直线分别为、，两直线斜率的乘积为，故两条直线相互垂直；若两条直线相互垂直，则，故或，故“”是两条直线相互垂直的充分不必要条件，选B.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.4.已知函数则（）A.B.4C.-4D.-17-\n【答案】A【解析】试题分析：，.考点：分段函数求值.5.已知p：函数在上是增函数，q：函数是减函数，则p是q的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】命题p：可得，命题q：可得，根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可.【详解】函数在上是增函数，;函数是减函数，，，，即p是q的必要不充分条件故选A.【点睛】本题考查绝对值函数和指数函数的基本性质和单调性，考查了必要条件、充分条件的定义，属于基础题.充要关系的几种判断方法：（1）定义法：若，，则是的充分而不必要条件；若，，则是的必要而不充分条件；若，，则是的充要条件；若，，则是的既不充分也不必要条件。（2）等价法：利用与、与、与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．（3）集合关系法：即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q-17-\n的必要条件.6.若，，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：利用指数函数的性质以及对数函数的性质，分别确定，，的范围，从而可得结果.详解：因为，所以，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7.函数的零点在区间()内A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数利用零点存在定理，可得函数的零点所在区间.【详解】令，则函数在递增，则函数的零点在区间，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理以及对数函数与指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题.8.过点作曲线的切线，则切线方程为（）-17-\nA.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设出切点坐标求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得切线方程，代入已知点的坐标后求出切点的坐标，则切线方程可求．【详解】由，得，设切点为则，∴切线方程为，∵切线过点，∴−ex0＝ex0(1−x0)，解得：．∴切线方程为，整理得：.故选C.．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．9.若函数在区间上是减函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：先求导函数，函数在区间上是减函数转化成在区间上恒成立，参变分离，从而求出所求.-17-\n详解：，函数在区间上是减函数，在区间上恒成立，即在上恒成立，又在上单调递减，，故.故选：D.点睛：可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上≥0(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围.10.已知函数是定义在上的奇函数，且函数在上单调递增，则实数的值为（）A.B.C.1D.2【答案】A【解析】【分析】若函数是定义在上的奇函数，则，若函数在上单调递增，则，进而得到答案.【详解】函数是定义在上的奇函数，函数，则，-17-\n若函数在上单调递增，则，，故选：A.【点睛】本题考查的知识是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档.11.若函数有两个零点，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：由题意可得，即，函数有两个零点，即函数与的图象有两个交点，作出图象利用数形结合即可得到答案.详解：由题意可得，即，函数有两个零点，则函数与的图象有两个交点，作出图象，如图所示：则，即.故选：A.点睛：函数零点的求法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．-17-\n(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．12.已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数设函数，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是减函数，再根据f（x）为偶函数，根据f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．【详解】根据题意，设函数，当x＞0时，，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（x）为偶函数，所以g（x）为偶函数，又f（1）=0，所以g（1）=0，故g（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函数值大于零，即f（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函数值大于零．故选：D．【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.集合，，若“”是“-17-\n”的充分条件，则实数取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,再根据“”求得实数取值范围。【详解】，当时，，因为“”是“”的充分条件，所以，．故填．【点睛】对于充分性必要性条件的判断三种常用方法：（1）利用定义判断．如果已知，则是的充分条件，是的必要条件；（2）利用等价命题判断；(3)把充要条件“直观化”，如果，可认为是的“子集”；如果，可认为不是的“子集”，由此根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明．14.不等式的解集是__________．【答案】【解析】分析：把不等式化为同底的不等式，利用指数函数的单调性即可求解．详解：原不等式可以化为，所以，故或者，不等式的解集为，填．点睛：一般地，对于不等式，（1）如果，则原不等式等价于；（2）如果，则原不等式等价于.15.若函数的值域为，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】f（x）=log4x，在x＞2的值域（，+∞），要使值域为R，x+a最大值必须大于等于，由一次函数图象及性质即可得到答案．-17-\n【详解】∵f（x）=log4x，在x＞2的值域（，+∞），要使值域为R，x+a最大值必须大于等于，即满足：，解得：﹣≤a．故答案为：．【点睛】本题考查了分段函数的值域问题，求值域要抓住定义域为出发点，要使值域为R，其中一个函数值域为（，+∞），那么（﹣∞，]必须是另一个函数值域的真子集．即可得到答案．属于中档题．16.设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】把函数f(x)变成两个函数，的图像问题。【详解】设，，则，当时，，当或时，，在，上单调递增，在上单调递减，当时，取得极小值，作出与的函数图象如图：-17-\n显然当时，在上恒成立，即无正整数解，要使存在唯一的正整数，使得，显然，，即，解得．故答案为．【点睛】函数零点问题，恒成立与存在性问题，若能分离参数，则通过分离参数可得出参数的范围，若不能分离参数，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知集合，．（1）若，，求实数的取值范围；（2）若，且，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】-17-\n分别解集合A中指数不等式和求集合B中值域，求得集合A,B。再根据每小问中集合关系求得参数m的取值范围。【详解】（1），，①若，则，∴；②若，则∴；综上．（2），∴，∴．【点睛】解决集合问题：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.18.设：实数满足，：实数满足．（1）当时，若为真，求实数的取值范围；（2）当时，若是的必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】分析：（Ⅰ）利用一元二次不等式和分式不等式的解法即可化简命题，求命题为真的并集，即可得出答案.（Ⅱ）是的必要条件，可得命题对应的集合为命题对应的集合的子集，即可求出答案.详解：解：（Ⅰ）当时，：，：或.因为为真，所以，中至少有一个真命题.所以或或，所以或，所以实数的取值范围是.（Ⅱ）当时，：，-17-\n由得：：或，所以：，因为是的必要条件，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是.点睛：本题考查了一元二次不等式的解法、简单逻辑的判断方法和必要条件的应用，考查了推理能力与计算能力，利用复合命题之间的关系是解题关键.19.计算：（1）；（2）.【答案】（1）－3；（2）．【解析】试题分析：试题解析：（1）原式；(2)20.函数的定义域为．（1）当时，求函数的值域；（2）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；（3）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．【解析】-17-\n【分析】（1）由函数的定义域，根据基本不等式函数，可求函数的值域；（2）若函数在定义域上是减函数，则只要即可，由，可求的取值范围是；（3）分当时，当时，当时三种情况讨论即可【详解】（1）函数，所以函数的值域为（2）若函数在定义域上是减函数，则任取且都有成立，即，只要即可，由，故，所以，故的取值范围是；（3）当时，函数在上单调增，无最小值，当时取得最大值；由（2）得当时，在上单调减，无最大值，当时取得最小值；当时，函数在上单调减，在上单调增，无最大值，当时取得最小值.【点睛】考查根据复合函数求函数的解析式，函数值域的求法以及函数的最值问题，体现了分类讨论的思想，属难题．21.已知函数.（1）若函数在点处切线的斜率为4，求实数的值；（2）求函数的单调区间；-17-\n（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】（1）6；（2）单调递减区间是，单调递增区间是；（3）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到，从而求出a的值.(2)对a分类讨论，利用导数求函数的单调区间.(3)先转化为在上恒成立，再化为在上恒成立，再求在上的最大值即得a的取值范围.【详解】（1），而，即，解得.（2）函数的定义域为.①当时，，的单调递增区间为；②当时，.当变化时，的变化情况如下:由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（3），于是.因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立.又因为函数的定义域为，所以有在[上恒成立.-17-\n于是有，设，则，所以有，，当时，有最大值，于是要使在上恒成立，只需，即实数的取值范围是.【点睛】（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第3问的关键有3点，其一是先转化为在上恒成立，其二再化为在上恒成立，其三是换元求在上的最大值即得a的取值范围.22.设函数，其中，．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）在，内是增函数，在，内是减函数；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）代入，由导数，可求得单调区间。（2）因为，即只有一个根x=0,且是奇次根，只需=0无实数根。（3）只需，由条件可知，从而恒成立．所以。【详解】（1）．-17-\n当时，．令，解得，，．当变化时，，的变化情况如下表：所以在，内是增函数，在，内是减函数．（2），显然不是方程的根．为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．解此不等式，得．这时，是唯一极值．因此满足条件的的取值范围是．（3）由条件可知，从而恒成立．当时，；当时，．因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．为使对任意的不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立，所以，因此满足条件的的取值范围是．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及通过函数的极值求参数范围，不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.-17-
