2022-2022学年安徽省宣城市郎溪中学直升部高二（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法正确的是（ ）A．总体容量越大，估计越精确B．总体容量越小，估计越精确C．样本容量越大，估计越精确D．样本容量越小，估计越精确 2．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）A．3B．9C．17D．51 3．某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取多少（ ）A．8，5，17B．16，2，2C．16，3，1D．12，3，5 4．如图，程序运行后输出的结果为（ ）A．50B．5C．25D．0 5．数据5，7，7，8，10，11的方差是（ ）A．24B．10C．4D．2 6．已知两组样本数据x1，x2，…xn的平均数为h，y1，y2，…ym的平均数为k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为（ ）A．B．C．D． 7．如图给出了一个算法程序框图，该算法程序框图的功能是（ ）-21-\nA．求a，b，c三数的最大数B．求a，b，c三数的最小数C．将a，b，c按从小到大排列D．将a，b，c按从大到小排列 8．四进制数1320（4）化为二进制数是（ ）A．111000B．1111000C．111200D．111100 9．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ）A．6，6B．5，6C．5，5D．6，5 10．根据如下样本数据x34567y23799得到的回归方程=bx+a中，b=2，则a的值是（ ）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5 11．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）A．2，5B．5，5C．5，8D．8，8 12．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（ ）-21-\nA．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6] 二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）13．若k进制数175（k）化为十进制数是125，那么k= ． 14．下图程序中，当输入的a，b是两个正整数，且a＞b时，程序的功能是 ． 15．某校高二年级共有学生600名，从某次测试成绩中随机抽出50名同学的成绩，形成样本频率分布直方图如右上，据此估计全年级成绩不少于60分的人数为 ． 16．关于下列说法-21-\n①描述算法可以有不同的方式；②方差和标准差具有相同的单位；③根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关；④从总体中可以抽取不同的几个样本；⑤如果容量相同的两个样本的方差满足，那么推得总体也满足是错的．其中正确的有 ．（只填对应的序号） 三、解答题（本大题共6个小题，共74分）17．（12分）（2022秋•宣城校级月考）有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：[12，14），6；[14，16），16；[16，18），18；[18，20），22；[20，22），20；[22，24），10；[24，26），8；（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图和频率折线图． 18．（12分）（2022秋•宣城校级月考）两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件进行测量，结果如下：机床甲109.81010.2机床乙10.1109.910如果你是质量检测员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？ 19．（12分）（2022秋•宣城校级月考）设计算法流程图，要求输入自变量x的值，输出函数的值，并写出计算机程序． 20．（12分）（2022秋•宣城校级月考）读右侧程序框图（1）依据程序框图写出程序；（2）当输入的x和n的值分别为1和100时，求输出的S的值．-21-\n 21．（13分）（2022•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值． 22．（13分）（2022秋•武汉校级期末）如图，已知圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上，半径为1，点A（0，3）．（Ⅰ）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|（O为坐标原点），求圆心C的横坐标a的取值范围．-21-\n 2022-2022学年安徽省宣城市郎溪中学直升部高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法正确的是（ ）A．总体容量越大，估计越精确B．总体容量越小，估计越精确C．样本容量越大，估计越精确D．样本容量越小，估计越精确【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．【专题】阅读型．【分析】用样本频率估计总体分布的过程中，估计的是否准确与总体的数量无关，只与样本容量在总体中所占的比例有关，对于同一个总体，样本容量越大，估计的越准确．【解答】解：∵用样本频率估计总体分布的过程中，估计的是否准确与总体的数量无关，只与样本容量在总体中所占的比例有关，∴样本容量越大，估计的越准确，故选C．【点评】本题考查抽样和样本估计总体的实际应用，注意在一个总体中抽取一定的样本估计总体，估计的是否准确，只与样本在总体中所占的比例有关． 2．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）A．3B．9C．17D．51【考点】用辗转相除计算最大公约数．【专题】计算题．【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分． -21-\n3．某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取多少（ ）A．8，5，17B．16，2，2C．16，3，1D．12，3，5【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】根据所给的三个层次的人数，得到公司的总人数，利用要抽取的人数除以总人数，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以三个层次的人数，得到结果．【解答】解：∵公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人∴公司共有160+30+10=200人，∵要从其中抽取20个人进行身体健康检查，∴每个个体被抽到的概率是，∴职员要抽取160×人，中级管理人员30×人，高级管理人员10×人，即抽取三个层次的人数分别是16，3，1故选C．【点评】本题考查分层抽样方法，解题的主要依据是每个个体被抽到的概率相等，主要是一些比较小的数字的运算，本题是一个基础题． 4．如图，程序运行后输出的结果为（ ）A．50B．5C．25D．0【考点】伪代码．【专题】计算题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出a的值，模拟程序的循环过程，并用表格对程序运行过程中的数据进行分析，不难得到正确的答案．-21-\n【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环aj循环前/01第一圈是12第二圈是33第三圈是14第四圈是05第五圈是06第四圈否故最后输出的值为：0故选D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 5．数据5，7，7，8，10，11的方差是（ ）A．24B．10C．4D．2【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】先求出数据5，7，7，8，10，11的平均数，再求出数据5，7，7，8，10，11的方差．【解答】解：∵数据5，7，7，8，10，11的平均数为：=（5+7+7+8+10+11）=8，∴数据5，7，7，8，10，11的方差：S2=[（5﹣8）2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]=4．故选：C．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用． 6．已知两组样本数据x1，x2，…xn的平均数为h，y1，y2，…ym的平均数为k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为（ ）A．B．C．D．【考点】众数、中位数、平均数．【专题】计算题．【分析】首先根据所给的两组数据的个数和平均数做出这两组数据的和，把两组数据合成一组以后，数据的个数是m+n，要求两组数据合成一组的平均数，只要用两组数据的和除以数据的个数即可．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…xn的平均数为h，-21-\ny1，y2，…ym的平均数为k，∴第一组数据的和是nh，第二组数据的和是mk，把两组数据合成一组以后，数据的个数是m+n，所有数据的和是nh+mk，∴这组数据的平均数是，故选B．【点评】本题考查两组数据的平均数，考查平均数的做法和意义，实际上这是一个加权平均数的做法，本题是一个基础题． 7．如图给出了一个算法程序框图，该算法程序框图的功能是（ ）A．求a，b，c三数的最大数B．求a，b，c三数的最小数C．将a，b，c按从小到大排列D．将a，b，c按从大到小排列【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】操作型．【分析】逐步分析框图中的各框语句的功能，第一个条件结构是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量a中，第二个条件结构是比较a，c的大小，并将a，c中的较小值保存在变量a中，故变量a的值最终为a，b，c中的最小值．由此不难推断程序的功能．【解答】解：逐步分析框图中的各框语句的功能，第一个条件结构是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量a中，第二个条件结构是比较a，c的大小，并将a，c中的较小值保存在变量a中，故变量a的值最终为a，b，c中的最小值．由此程序的功能为求a，b，c三个数的最小数．故答案选B【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．要判断程序的功能就要对程序的流程图（伪代码）逐步进行分析，分析出各变量值的变化情况，特别是输出变量值的变化情况，就不难得到正确的答案． -21-\n8．四进制数1320（4）化为二进制数是（ ）A．111000B．1111000C．111200D．111100【考点】进位制．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】首先把四进制数字转化成十进制数字，用所给的数字最后一个数乘以4的0次方，依次向前类推，相加得到十进制数字，再用这个数字除以2，倒序取余即可．．【解答】解：1320（4）=1×43+3×42+2×41+0×40=120（10）120÷2=60…060÷2=30…030÷2=15…015÷2=7…17÷2=3…13÷2=1…11÷2=0…1故：120（10）=1111000（2）故：1320（4）=120（10）=1111000（2）（10分）故选：B．【点评】本题考查进位制之间的转化，本题涉及到三个进位制之间的转化，实际上不管是什么之间的转化，原理都是相同的，属于基础题． 9．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ）A．6，6B．5，6C．5，5D．6，5【考点】排序问题与算法的多样性．【专题】计算题．【分析】把所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，结果有6次乘法运算，有6次加法运算，本题也可以不分解，直接从最高次项的次数直接得到结果．【解答】解：∵f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1=（3x5+4x4+5x3+6x2+7x+8）x+1=[（3x4+4x3+5x2+6x+7）x+8]+1={{{[（3x+4）x+5]x+6}x+7}x+8}x+1∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，故选A．【点评】本题考查用秦九韶算法进行求多项式的值的运算，不是求具体的运算值而是要我们观察乘法和加法的运算次数，本题是一个基础题． 10．根据如下样本数据x34567y23799得到的回归方程=bx+a中，b=2，则a的值是（ ）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5【考点】线性回归方程．-21-\n【专题】计算题；概率与统计．【分析】由题意可得和，由回归直线过点（，）可得b值，可得答案．【解答】解：由题意可得=（3+4+5+6+7）=5，=（2+3+7+9+9）=6，∵回归方程为=bx+a中，b=2，且回归直线过点（5，6），∴6=10+a，解得a=﹣4，故选：C．【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题． 11．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）A．2，5B．5，5C．5，8D．8，8【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数． 12．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（ ）-21-\nA．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础． 二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）13．若k进制数175（k）化为十进制数是125，那么k= 8 ．【考点】进位制．【专题】算法和程序框图．【分析】由175（k）=1×k2+7×k1+5×k0=125，解出即可．【解答】解：175（k）=1×k2+7×k1+5×k0=k2+7k+5=125，化为k2+7k﹣120=0，0＜k＜10．解得k=8．故答案为：8．【点评】本题考查了k进制数化为十进制数的方法，考查了计算能力，属于基础题． 14．下图程序中，当输入的a，b是两个正整数，且a＞b时，程序的功能是 输出a，b最大公约数． ．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】首先读程序，然后分析循环结构体．最后根据辗转相减法的定义进行判断．【解答】解：根据题意，第1步：输入两个正整数a，b（a＞b）；第2步：把|a﹣b|的差赋予r；第3步：把b赋给a，把r赋给b；直到b=0第4步：输出a，b的最大公约数．故答案为：输出a，b最大公约数．-21-\n【点评】本题考查循环结构，属于基础题，对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数． 15．某校高二年级共有学生600名，从某次测试成绩中随机抽出50名同学的成绩，形成样本频率分布直方图如右上，据此估计全年级成绩不少于60分的人数为 480 ．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．故答案为：480．【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力． 16．关于下列说法①描述算法可以有不同的方式；②方差和标准差具有相同的单位；③根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关；④从总体中可以抽取不同的几个样本；⑤如果容量相同的两个样本的方差满足，那么推得总体也满足是错的．其中正确的有 ①④ ．（只填对应的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】概率与统计．【分析】根据算法的多样性，可判断①；根据方差和标准差的关系，可判断②；根据样本估计总体的特征，可判断③⑤；根据样本是随机性，可判断④；【解答】解：①根据算法的多样性，可知描述算法可以有不同的方式，故正确；②方差是标准差的平方，故方差和标准差具有不同的单位，故错误；③根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量有关，样本容量越大，误差越小，故错误；④从总体中可以抽取不同的几个样本，故正确；-21-\n⑤如果容量相同的两个样本的方差满足，那么推得总体也满足是正确的，故错误．故正确的说法有：①④，故答案为：①④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了算法和统计学的相关概念，难度中档． 三、解答题（本大题共6个小题，共74分）17．（12分）（2022秋•宣城校级月考）有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：[12，14），6；[14，16），16；[16，18），18；[18，20），22；[20，22），20；[22，24），10；[24，26），8；（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图和频率折线图．【考点】频率分布直方图．【专题】综合题；概率与统计．【分析】（1）由题中的所给数据，列成表格，即可得到频率分布表中的数据；（2）由频率分布表中的数据，在横轴为数据，纵轴为频率/组距，即可得到频率分布直方图，从而可得频率折线图．【解答】解：（1）样本的频率分布表；分组频数频率fi/△x[12，14）60.060.020[14，16）160.160.053[16，18）180.180.060[18，20）220.220.073[20，22）200.200.067[22，24）100.100.033[24，26）80.080.027（2）频率分布直方图和频率折线图如图-21-\n【点评】本题考查样本的频率分布表、频率分布直方图和频率折线图．解决总体分布估计问题的一般步骤如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计． 18．（12分）（2022秋•宣城校级月考）两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件进行测量，结果如下：机床甲109.81010.2机床乙10.1109.910如果你是质量检测员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】由已知条件分别求出两组数据的平均数和方差，进行比较能判断哪台机床生产的零件质量更符合要求．【解答】解：机床甲的数据的平均数：==10．机床乙的数据的平均数：==10，机床甲的方差=[（10﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10.2﹣10）2+（10﹣10）2]=0.02，机床乙的方差=[（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（9.9﹣10）2+（10﹣10）2]=0.005，∵=，＞，∴乙台机床生产的零件质量更符合要求．【点评】本题考查平均数、方差的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用． 19．（12分）（2022秋•宣城校级月考）设计算法流程图，要求输入自变量x的值，输出函数的值，并写出计算机程序．【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题，我们根据题目已知中分段函数的解析式，然后根据分类标准，设置两个判断框的并设置出判断框中的条件，再由函数各段的解析式，确定判断框的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可画出流程图，再编写满足题意的程序．【解答】解：计算机程序如下：输入x；-21-\nifx＜0，thenf（x）：=2∙x+3；elseifx=0，thenf（x）：=0；elsef（x）：=1/2∙x^2﹣5．输出f（x）．算法流程图如图：【点评】本题考查了设计程序框图解决实际问题．主要考查编写程序解决分段函数问题． 20．（12分）（2022秋•宣城校级月考）读右侧程序框图（1）依据程序框图写出程序；（2）当输入的x和n的值分别为1和100时，求输出的S的值．-21-\n【考点】程序框图．【专题】点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图．【分析】（1）先判定循环的结构，然后选择对应的循环语句，对照流程图进行逐句写成语句即可．（2）模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，x，S，i的值，当i=100时不满足条件100＜100，退出循环，输出S的值，用裂项法求和即可得解．【解答】解：（1）程序如下：INPUTx，nS=0i=0WHILEi＜na=xx=x/（x+1）a=axS=S+ai=i+1WENDPRINTSEND（2）当输入的x和n的值分别为1和100时，执行程序，可得：x=1，n=100S=0，i=0-21-\n满足条件0＜100，a=1，x=，a=，S=，i=1满足条件1＜100，a=，x=，a=，S=+，i=2满足条件2＜100，a=，x=，a=，S=++，i=3满足条件3＜100，a=，x=，a=，S=+++，i=4…满足条件99＜100，a=，x=，a=，S=++++…+，i=100不满足条件100＜100，退出循环，输出S的值．由于S=++++…+=+…+=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．故输出的S的值为．【点评】本题考查考生的读图、试图运行能力，考查了将当型循环结构的流程图转化成算法语句，属于基础题． 21．（13分）（2022•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；-21-\n（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．【解答】解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=-21-\n【点评】本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题． 22．（13分）（2022秋•武汉校级期末）如图，已知圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上，半径为1，点A（0，3）．（Ⅰ）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|（O为坐标原点），求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）求出圆心C的坐标，设出点A作圆C的切线方程，利用点到直线的距离等于半径，然后求切线的方程；（Ⅱ）设出圆C的方程，点M的坐标，利用|MA|=2|MO|，求出M的轨迹，通过两个圆的位置关系，求圆心C的横坐标a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得圆心C（3，2），过点A作圆C的切线斜率存在，设A点的圆C的切线的方程：y=kx+3，即kx﹣y+3=0．由题意，，解得k=0，k=，所求切线方程为：y=3或3x+4y﹣12=0；（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上，∴圆C的方程设为：（x﹣a）2+（y﹣（2a﹣4））2=1，设M（x，y），由|MA|=2|MO|，可得：，化简可得x2+（y+1）2=4，点M在以D（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M（x，y）在圆上，∴圆C和圆D有公共点，则|2﹣1|≤|CD|≤2+1，-21-\n∴1≤3，即1，5a2﹣12a+8≥0，可得a∈R，由5a2﹣12a≤0，可得0，圆心C的横坐标a的取值范围：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． -21-
