2022-2022学年安徽省安庆市慧德中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（5*12=60分）1．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为()A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i2．已知集合A={﹣1，}，B={x|mx﹣1=0}，若A∩B=B，则所有实数m组成的集合是()A．{0，﹣1，2}B．{，0，1}C．{﹣1，2}D．{﹣1，0，}3．已知p、q是两个命题，若“￢（p∨q）”是真命题，则()A．p、q都是真命题B．p、q都是假命题C．p是假命题且q是真命题D．p是真命题且q是假命题4．已知向量，若与平行，则实数x的值是()A．﹣2B．0C．1D．25．要得到函数y=2cos（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x+cos2x的图象()A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位6．若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0且|φ|＜）在区间上是单调减函数，且函数值从1减小到﹣1，则f（）=()A．1B．C．D．07．有以下四个命题，其中真命题的个数为()-23-\n①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；②若命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＜1；③函数y=3sin（2x﹣）+2的单调递减区间是（k∈z）；④若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则=．A．1个B．2个C．3个D．4个8．设函数f（x）=，给出以下三个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）为周期函数；③f（x+1）+f（x）=1，其中正确结论的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个9．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈时，f（x）=﹣x，则f+f=()A．﹣1B．0C．1D．210．若关于x的方程x3﹣3x+m=0在上有根，则实数m的取值范围是()A．B．C．D．11．如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为()A．B．C．D．-23-\n12．若函数f（x）的定义域为D内的某个区间I上是增函数，且F（x）=在I上也是增函数，则称y=f（x）是I上的“完美函数”，已知g（x）=ex+x﹣lnx+1，若函数g（x）是区间上单调递减，求a的取值范围；（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值．21．已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（Ⅰ）求g（x）=的单调区间与极大值；（Ⅱ）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=成立，求证：x1＜x0＜x2（Ⅲ）己知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+）an+（n∈N+），求证：an＜（e为自然对数的底数）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号22．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．-23-\n-23-\n2022-2022学年安徽省安庆市慧德中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（5*12=60分）1．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为()A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故选A．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力．2．已知集合A={﹣1，}，B={x|mx﹣1=0}，若A∩B=B，则所有实数m组成的集合是()A．{0，﹣1，2}B．{，0，1}C．{﹣1，2}D．{﹣1，0，}【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】集合．【分析】根据集合A∩B=B得到，B⊆A，即可得到结论．【解答】解：∵A∩B=B，∴B⊆A，若m=0，则B=∅，此时满足条件．若m≠0，则B={}，则=﹣1或=，解得m=﹣1或m=2，综上所有实数m组成的集合是{0，﹣1，2}，故选：A．-23-\n【点评】本题主要考查集合的基本关系的应用，将条件A∩B=B转化为B⊆A是解决本题的关键．3．已知p、q是两个命题，若“￢（p∨q）”是真命题，则()A．p、q都是真命题B．p、q都是假命题C．p是假命题且q是真命题D．p是真命题且q是假命题【考点】复合命题的真假．【专题】阅读型．【分析】由复合命题真值表判断命题“p∨q”为假命题，进而得到命题p、q都是假命题．【解答】解：由复合命题真值表得：若“￢（p∨q）”是真命题，则p∨q为假命题，则命题p、q都是假命题．故选B．【点评】本题考查了复合命题的真假判定规律，对复合命题真值表要熟练掌握．4．已知向量，若与平行，则实数x的值是()A．﹣2B．0C．1D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．【专题】计算题．【分析】由题意分别可得向量与的坐标，由向量平行的充要条件可建立关于x的方程，解之即可．【解答】解：由题意可得=（3，x+1），=（﹣1，1﹣x），因为与平行，所以3×（1﹣x）﹣（x+1）×（﹣1）=0，解得x=2故选D【点评】本题为向量平行的问题，熟练应用向量平行的充要条件是解决问题的关键，属基础题．-23-\n5．要得到函数y=2cos（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x+cos2x的图象()A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由两角差的余弦把y=sin2x+cos2x化积，然后看x发生如何变化得y=2cos（2x+）．【解答】解：y=sin2x+cos2x=．又数y=2cos（2x+）=2=，∴只需要将y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位，即可得到y=2cos（2x+）的图象．故选：A．【点评】本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象，考查了两角和与差的三角函数，是中档题．6．若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0且|φ|＜）在区间上是单调减函数，且函数值从1减小到﹣1，则f（）=()A．1B．C．D．0【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数的单调性和最值求出ω和φ的值即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0且|φ|＜）在区间上是单调减函数，且函数值从1减小到﹣1，∴，即函数的周期T=π，∵T=，∴ω=2，-23-\n则f（x）=sin（2x+φ），∵f（）=sin（2×+φ）=1，∴sin（+φ）=1，即+φ=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，即f（x）=sin（2x+），则f（）=sin（2×+）=sin（+）=cos=，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象的应用，根据条件求出ω和φ的值是解决本题的关键．7．有以下四个命题，其中真命题的个数为()①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；②若命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＜1；③函数y=3sin（2x﹣）+2的单调递减区间是（k∈z）；④若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则=．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；导数的综合应用；三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】根据正弦定理，可判断①；写出原命题的否定，可判断②；求出函数的单调区间，可判断③，求出a值，进而求出积分，可判断④【解答】解：①△ABC中，“A＞B”⇔“a＞b”⇔“2RsinA＞2RsinB”⇔“sinA＞sinB”，故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，即①是真命题；-23-\n②若命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＞1，故②是假命题；③由2x﹣∈（k∈z）得：x∈（k∈z）；即函数y=3sin（2x﹣）+2的单调递减区间是（k∈z），故③是假命题；④若函数f（x）=x2+2x+2a的最小值为：2a﹣1，函数g（x）=|x﹣1|+|x+a|的最小值为：|a+1|，由2a﹣1=|a+1|得：a=2，则==﹣=，故④是真命题；故真命题的个数为2个，故选：B．【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了正弦定理，全称命题的否定，正弦函数的单调性，函数的最值，积分等知识点，难度中档．8．设函数f（x）=，给出以下三个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）为周期函数；③f（x+1）+f（x）=1，其中正确结论的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型；函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】由题意可得f（x）==，检验f（﹣x）=f（x），即可判断①，由于f（x）的函数值是1，0交替出现，故函数是以2为周期的周期函数，可判断②，由于x+1，x中必定一个是奇数，一个是偶数，则f（x+1）与f（x）的值一个是1，一个是0，可判断③．【解答】解：∵f（x）==，-23-\n∴f（﹣x）====f（x），故f（x）为偶函数，①正确．由于f（x）的函数值是1，0交替出现，故函数是以2为周期的周期函数，②正确．由于x+1，x中必定一个是奇数，一个是偶数，则f（x+1）与f（x）的值一个是1，一个是0，则f（x+1）+f（x）=1，③正确．∴正确结论的个数为：3．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的定义、周期性的定义的应用，解题的关键是对已知函数的化简，是基础题．9．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈时，f（x）=﹣x，则f+f=()A．﹣1B．0C．1D．2【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由函数的对称性可得f（x）=f（2﹣x），再由奇偶性可得f（x）=﹣f（x﹣2），由此可推得函数的周期，根据周期性可把f，f转化为已知区间上求解【解答】解：因为f（x）图象关于x=1对称，所以f（x）=f（2﹣x），又f（x）为奇函数，所以f（2﹣x）=﹣f（x﹣2），即f（x）=﹣f（x﹣2），则f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣=f（x），故4为函数f（x）的一个周期，从而f+f=f（﹣1）+f（0），而f（0）=0，f（﹣1），故f（﹣1）+f（0）=1，即f+f=1，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．-23-\n10．若关于x的方程x3﹣3x+m=0在上有根，则实数m的取值范围是()A．B．C．D．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值域；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；函数思想；构造法．【分析】分离参数m=﹣x3+3x，记f（x）=﹣x3+3x，x∈，要使原方程有解，则m∈．【解答】解：分离参数m得，m=﹣x3+3x，x∈，记f（x）=﹣x3+3x，x∈，要使原方程有解，则m∈，令f'（x）=﹣3x2+3=0，解得x=±1，分析可知，函数f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递减，（﹣1，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，所以，当x∈时，f（x）先增后减，在x=1取得最大值，即：f（x）max=f（1）=2，f（x）min=min{f（0），f（）}=0，因此，m∈，故选：B．【点评】本题主要考查了应用导数研究函数的单调性，单调区间和最值，以及函数零点与方程的判断，属于中档题．11．如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为()A．B．C．D．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sin∠ACB的值，即可求出sinθ的值．【解答】解：连接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120°-23-\n根据余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700，∴BC=10海里，根据正弦定理得，即，∴sin∠ACB=，∴sinθ=．故选：A．【点评】解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．12．若函数f（x）的定义域为D内的某个区间I上是增函数，且F（x）=在I上也是增函数，则称y=f（x）是I上的“完美函数”，已知g（x）=ex+x﹣lnx+1，若函数g（x）是区间【点评】本题以新定义的形式考查函数的单调性，考查运用所学知识分析解决新问题的能力，多次构造函数，求解导数，判断单调递增，属于难题．二、填空题：（5*4=20分）13．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=﹣2．【考点】对数的运算性质；函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利于抑制投机求出f（）的值，然后求解所求表达式的值．【解答】解：∵函数，∴f（）=2+=4．-23-\n=f（4）==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，指数以及对数的运算法则，解题方法是由里及外逐步求解，考查计算能力．14．已知cos（）=，则sin（）=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】观察得，（﹣α）+（α﹣）=﹣，结合题意，利用诱导公式即可求得sin（α﹣）．【解答】解：∵cos（﹣α）=，且（﹣α）+（α﹣）=﹣，∴sin（α﹣）=sin=﹣sin=﹣cos（﹣α）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查诱导公式，观察得到（﹣α）+（α﹣）=﹣是关键，考查观察与转化的能力，属于中档题．15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再由余弦定理可得A=，利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．【解答】解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，-23-\n∴cosA===，∴A=．再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为=×2×2×=，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．16．已知函数，在下列四个命题中：①f（x）是奇函数；②对定义域内任意x，f（x）＜1恒成立；③当时，f（x）取极小值；④f（2）＞f（3），正确的是：②④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】判断出函数的奇偶性，可判断①，求出函数的值域，可判断②；判断出函数的极值点，可判断③；利用函数的单调性，比较两个函数值，可判断④．【解答】解：①∵函数，∴===f（x），故f（x）是偶函数，故①错误；②∵根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|，∴≤1，∵x≠0，∴＜1成立，故②正确；③∵f′（x）=，-23-\n∵f′（）=≠0，∴x=不是极值点，∴③错误；④∵＜2＜3＜π，∴sin2＞sin3＞0，∴＞，∴④正确，故答案为：②④．【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的奇偶性，值域，极值，单调性是三角函数图象和性质的综合应用，难度较大．三、解答题：（12+12+12+12+12+10=70分）17．已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，（1）当a=3时，求A∩B，A∪（∁RB）；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】（1）当a=3时，求出集合A，B，然后求出CRB，即可求A∩B，A∪（CRB）；（2）若A∩B=Φ，只需2﹣a＞1，并且2+a＜4，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|x2﹣5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}，CRB={x|1＜x＜4}所以A∩B={x|﹣1≤x≤5}∩{x|x≤1或x≥4}={x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}，A∪（CRB）={x|﹣1≤x≤5}∪{x|1＜x＜4}={x|﹣1≤x≤5}；（2）A∩B=Φ所以或2﹣a＞2+a，解得a＜1或a＜0，所以a的取值范围是（﹣∞，1）【点评】本题考查集合的基本运算，不等式的解集的求法，注意等价变形的应用，常考题型．-23-\n18．已知函数，（1）求f（x）的最小正周期；（2）若在x=处取得最大值，求y=g（x）的单调递增区间；（3）求（2）中y=g（x）在上的值域．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出；（2）g（x）=f（x+ϕ）=2sin（2x+2ϕ）+1，当，k∈z时取得最大值，将代入上式，得ϕ，再利用正弦函数的单调性即可得出．（3）利用正弦函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）=2sin2x（1+sin2x）+cos4x=2sin2x+2sin22x+cos4x=2sin2x+1∴最小正周期为．（2）g（x）=f（x+ϕ）=2sin（2x+2ϕ）+1，当，k∈z时取得最大值，将代入上式，得，k∈z，∴，得，∴，k∈z，解得，k∈z，∴g（x）的单调增区间为，k∈z（3）由（2）得，由，得，-23-\n∴，得，∴g（x）∈．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cosC+（cosB﹣sinB）cosA=0，（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【专题】方程思想；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（1）利用和差化积、诱导公式、三角函数求值即可得出．（2）利用三角形的面积计算公式、正弦定理余弦定理即可得出．【解答】解：（1）由验证可得：，化为，又sinB≠0，∴，又cosA≠0，∴，又0＜A＜π，故．（2）∵，得bc=20，又b=5，∴c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=21，故，又由正弦定理得．【点评】本题考查了和差化积、诱导公式、三角函数求值、三角形的面积计算公式、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=ax2﹣2x，g（x）=﹣（a，b∈R）（1）当b=0时，若f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，求a的取值范围；（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．-23-\n【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）当b=0时，f（x）=ax2﹣4x，讨论a的取值并结合二次函数的单调性，建立关于实数a的不等式即可解出实数a的取值范围；（2）当a=0时，易得一次函数f（x）没有最大值，不符合题意．因此（x）为二次函数，可得a＜0，函数f（x）取最大值时对应的x=，结合题意得到=a是一个整数，化简得a2=，即可得出满足条件的整数只有a=﹣1，从而得到b=﹣1或3，得到满足条件的所有整数对（a，b）．【解答】解：（1）当b=0，时，f（x）=ax2﹣4x，若a=0，f（x）=﹣4x，则f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，成立，故a≠0，要使f（x）在；（2）若a=0，f（x）=﹣2x，可得f（x）无最大值，故a≠0，∴f（x）为二次函数，要使f（x）有最大值，必须满足，即a＜0且≤b≤，此时，x=x0=时，f（x）有最大值．又∵g（x）取最小值时，x=x0=a，依题意，=a∈Z，可得a2=，∵a＜0且≤b≤，∴0，结合a为整数得a=﹣1，此时b=﹣1或b=3．综上所述，满足条件的实数对（a，b）是：（﹣1，﹣1），（﹣1，3）．【点评】本题给出含有根号和字母参数的二次函数，讨论函数的单调性与值域．着重考查了二次函数的图象与性质、方程整数解的讨论等知识，属于中档题．21．已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（Ⅰ）求g（x）=的单调区间与极大值；-23-\n（Ⅱ）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=成立，求证：x1＜x0＜x2（Ⅲ）己知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+）an+（n∈N+），求证：an＜（e为自然对数的底数）．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）由f（x）求出f（x+1），代入g（x），对函数g（x）求导后利用导函数的符号求出函数g（x）在定义域内的单调区间，从而求出函数的极大值；（Ⅱ）求出f′（x0），代入f′（x0）=后把lnx0用lnx1，lnx2表示，再把lnx0与lnx2作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最大值小于0，从而得到lnx0＜lnx2，运用同样的办法得到lnx1＜lnx0，最后得到要证的结论；（Ⅲ）由给出的递推式an+1=（1+）an+说明数列{an}是递增数列，根据a1=1，得到an≥1，由此把递推式an+1=（1+）an+放大得到，结合（Ⅰ）中的ln（1+x）＜x得到，分别取n=1，2，3，…，n﹣1，得到n个式子后累加即可证得结论．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））．∴f（x+1）=（x+1）ln（x+1）（x∈（﹣1，+∞））．则有==ln（x+1）﹣x，此函数的定义域为（﹣1，+∞）．．故当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0．所以g（x）的单调递增区间是（﹣1，0），单调递减区间是（0，+∞），故g（x）的极大值是g（0）=0；（Ⅱ）证明：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）），得f′（x）=lnx+1，-23-\n所以，于是==，令（t＞1），则，因为t﹣1＞0，只需证明lnt﹣t+1＜0．令s（t）=lnt﹣t+1，则，∴s（t）在t∈（1，+∞）上递减，所以s（t）＜s（1）=0，于是h（t）＜0，即lnx0＜lnx2，故x0＜x2．同理可证x1＜x0，故x1＜x0＜x2．（Ⅲ）证明：因为a1=1，，所以{an}单调递增，an≥1．于是=，所以（*）．由（Ⅰ）知当x＞0时，ln（1+x）＜x．所以（*）式变为．即（k∈N，k≥2），令k=2，3，…，n，这n﹣1个式子相加得-23-\n===．即，所以．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了通过构造函数，利用函数的单调性和极值证明不等式，训练了累加法求数列的通项公式，考查了利用放缩法证明不等式，是一道难度较大的综合题型．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号22．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．【解答】解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，-23-\n∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．-23-\n综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．-23-
