2022届安庆一中、安师大附中统一考试试卷数学（理）试卷一、选择题(每小题5分，计50分)1、若，则=（）A、B、C、D、2、复数满足，则等于（）A、B、C、D、3、已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为（）A、B、C、D、4、=（）A、B、C、D、5、已知满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A、或B、2或C、2或1D、2或6、为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A、向右平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左平移个单位7、数列是正项等比数列，是等差数列，且，则有（）A、B、C、D、大小不确定8、已知，若的必要条件是，则之间的关系是（）-9-A、B、C、D、9、已知球O是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球O的截面面积为（）A、B、C、D、10、现有16张不同卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为（）A、232种B、252种C、472种D、484种二、填空题：(每小题5分，计25分)11、命题“存在，使”的否定是12、已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是。13、设为正整数，，计算得，，，观察上述结果，可推测一般的结论为。14、双曲线C的左右焦点分别为、，且恰为抛物线的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为15、若函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是。三、解答题16、（12分）在锐角中，（1）求角；（2）若，求的取值范围。17、（12分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数（万人）与时间（天）的函数关系近似满足，日人均消费（元）与时间-9-（天）的函数关系近似满足。（1）求该城市的旅游日收益（万元）与时间的函数关系式；（2）求该城市旅游日收益的最小值（万元）18、（13分）如图，棱锥的底面ABCD是矩形，平面ABCD，。求证：（1）平面（2）求二面角的余弦值（3）在线段上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由。19、（13分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点。（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点A、B分别是椭圆E的左、右顶点，直线经过点B且垂直于轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交于点M。（1）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明的定值；（2）设过点M垂直于PB的直线为，证明：直线过定点，并求出定点的坐标。20、（13分）已知函数（1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；-9-（2）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值。21、（13分）已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：且，求证：；（3）求证：2022届安庆一中、安师大附中统一考试试卷数学（理）参考答案题号12345678910答案DBCCDDBADC9、D截面为等边三角形，边长，10、C11、对任意，使12、13、14、（提示设求出））15、，设切点但当时切线与重合-9-即且16、（1）由且（2）又17、（1）（2）当时等号即时取到。时在[15，30]上单减，-9-时，取最小值为。综上：最小值为（万元）。18、（1）由勾股定理得，余略（2）以AB、AD、AP为建系易求面的法向量面PBD的法向量故所求值为（3）在DP上，可设面PBD的法向量，记所求角为，即19、（1）（2）（i）得由，（定值）(ii)-9-由(i)知直线过定点。20、（1）（2）即对任意恒成立。令则令则在上单增。存在使即当时即时即在上单减，在上单增。令即-9-且即21、（1）①②①-②得①中令综上（2）当时，，不等式成立；假设时，不等式那么当时（由归设）命题真；综合、知当时，（3）设在上单减即又时由（2）知-9-即原不等式获证。-9-
