宁夏银川一中2022-2022学年高二下学期期末考试数学（文）一、选择题：共12题1．函数f(x)＝＋的定义域为A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1]【答案】A【解析】本题主要考查的是函数定义域的求法,意在考查学生的运算求解能力.由题意可得,解得,故函数的定义域为(-3,0],故选A. 2．复数满足,其中为虚数单位,则在复平面上复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】本题主要考查的是复数的定义,意在考查学生的运算求解能力.由可得,,所对应的点为(1,-1),故复数对应的点位于第四象限,选D. 3．设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是A.f(x)g(x)是偶函数B.f(x)|g(x)|是奇函数C.|f(x)|g(x)是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数【答案】B【解析】本题主要考查函数的奇偶性,意在考查考生对函数性质的灵活运用能力. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故f(x)g(x)为奇函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,|f(x)g(x)|为偶函数,故选B.12/13\n【备注】【方法技巧】判断函数奇偶性一般有以下三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数,奇函数的和、差仍为奇函数,奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为0)为奇(偶)函数. 4．已知函数的图象与的图象关于直线对称,则A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查的是反函数的图象和性质,意在考查学生的运算求解能力.因为函数的图象与的图象关于直线对称,所以,有,故选C. 5．三个数70.8,0.87,log0.87的大小顺序是A.0.87＜log0.87＜70.8B.0.87＜70.8＜log0.87C.log0.87＜70.8＜0.87D.log0.87＜0.87＜70.8【答案】D【解析】本题主要考查的是对数函数和指数函数的图象和性质,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.根据指数函数的单调性可得:70.8,7,再由对数函数的单调性可得,故log0.87＜0.87＜70.8,故选D. 6．设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则使的x的取值范围为A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(1,+∞)【答案】A12/13\n【解析】本题主要考查的是函数的奇偶性和单调性的综合运用,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.由f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,所以当时,的解为;又函数为奇函数,图象关于原点对称,故当时,的解为.,当时,即,当时,即,故不等式的解为,故选A. 7．执行如图所示的程序框图,若输出结果为3,则可输入的实数x的个数为A.1B.2 C.3D.4【答案】C【解析】本题主要考查的是程序框图和分段函数的应用,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.若时,解得;若,则,故满足条件的的个数为3个,选C. 8．下列有关命正确的是A.命题“若”的否命题为“若”B.命题“”的否定是:“”C.“是”必要不充分条件12/13\nD.命题“已知”为真命题【答案】B【解析】本题主要考查的是命题的真假,意在考查学生的逻辑推理能力.根据特称命题的否定是全称,可知B选项是正确的. 9．已知为正实数,则A.B.C.D.【答案】D【解析】因为,(为正实数),所以,满足上述两个公式,故选D. 10．在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为A. QUOTE *MERGEFORMATB. QUOTE *MERGEFORMATC. QUOTE *MERGEFORMATD. QUOTE *MERGEFORMAT【答案】C【解析】本题主要考查的是零点存在性定理,意在考查学生的运算求解能力.连续函数f(x)=ex+4x-3中,,故数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为,选C. 11．函数的图象为12/13\n【答案】C【解析】本题主要考查的是函数的图象和性质,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.当时,,当时,;当时,;当时,,结合图象只有C正确. 12．已知函数f(x)＝,若关于x的方程f(x)＋2x-k＝0有且只有两个不同的实根,则实数k的取值范围为A.(-1,2]B.(-∞,1]∪(2,＋∞)C.(0,1]D.[1,＋∞)【答案】A【解析】本题主要考查的是函数的零点与方程根的关系,意在考查学生数形结合的能力,以及分析问题、解决问题的能力.作出的图象如图所示,12/13\n与轴的交点分别为,由f(x)＋2x-k＝0可得,构造函数,由图象可知,关于x的方程f(x)＋2x-k＝0有且只有两个不同的实根,则实数k的取值范围为(-1,2],故选A.二、填空题：共4题13．用表示两个数中的较小值．设,则的最大值为__________.【答案】1【解析】本题主要考查的是分段函数的应用,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.由题意可得,因为时,当时,,所以的最大值为1. 14．已知复数,则=__________.【答案】2【解析】本题主要考查的是复数的定义,意在考查学生的运算能力.复数,,故. 15．设函数f(x)＝mx＋2,g(x)＝x2-2x,∀x0∈[-1,2],∃x1∈[-1,2],使得f(x0)＞g(x1),则实数m的取值范围是________.12/13\n【答案】【解析】本题主要考查的是函数最值的运用以及函数单调性的判断应用,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.要使命题成立须,故;当时,f(x)＝mx＋2,[-1,2],所以,故,由,解得 当时,f(x)＝mx＋2,[-1,2],所以,故,由,解得,综上可得的取值范围是 16．若X是一个集合,τ是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:①X属于τ,∅属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a,b,c},对于下面给出的四个集合τ:(1)τ={∅,{a},{c},{a,b,c}}(2)τ={∅,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}(3)τ={∅,{a},{a,b},{a,c}}(4)τ={∅,{a,c}{b,c},{c},{a,b,c}}其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是 .【答案】(2)(4)【解析】(1)τ={∅,{a},{c},{a,b,c}},而{a}∪{c}={a,c}∉τ,故(1)不是集合X上的拓扑的集合τ;(2)满足:①X属于τ,∅属于τ,②τ中任意多个元素的并集属于τ,③τ中任意多个元素的交集属于τ,因此(2)是集合X上的拓扑的集合τ;(3){a,b}∪{a,c}={a,b,c}∉τ,故(3)不是集合X上的拓扑的集合τ;(4)满足:①X属于τ,∅属于τ,②τ中任意多个元素的并集属于τ,③τ中任意多个元素的交集属于τ,因此(4)是集合X上的拓扑的集合τ.故答案为(2)(4).三、解答题：共8题17．设是定义在R上的奇函数,且对于任意实数x,恒有.当时,.(1)求的最小正周期;(2)时,求的解析式;(3)计算的值.12/13\n【答案】(1)的最小正周期是4(2)时,,时,又,.(3),∴==【解析】本题主要考查的是函数的性质,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.(1)利用周期函数的定义证明;(2)利用函数的周期性,求出答案;(3)分别求出,根据函数的周期性求解. 18．已知函数f(x)=loga(x+3)-loga(3-x),a>0且a≠1.(1)求函数f(x)的定义域.(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性.(3)若a>1,指出函数的单调性,并求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.【答案】(1)由题得 QUOTE *MERGEFORMAT解得-3<x<3,故函数f(x)的定义域为(-3,3).(2)函数f(x)为奇函数,由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称,f(-x)=loga(-x+3)-loga(3+x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.12/13\n(3)当a>1时,函数f(x)为增函数,从而函数f(x)在区间[0,1]上也为增函数,最大值为f(1)=loga4-loga2=loga2.【解析】本题主要考查的是对数函数的性质,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.(1)根据对数函数的定义,列式计算即可;(2)根据奇函数的定义进行证明;(3)根据对数函数的单调性求得最值. 19．某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下:其中年固定成本与生产的件数无关,a为常数,且4≤a≤8.另外年销售x件乙产品时需上交0.05x2的特别关税.(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数解析式;(2)分别求出投资生产这两种产品的最大利润;(3)如何决定投资可获得最大年利润.【答案】(1)根据题意,y1=(10-a)x-30,0≤x≤200,x∈N,y2=10x-50-0.05x2,0≤x≤120,x∈N.(2)因为4≤a≤8,所以10-a>0,故y1=(10-a)x-30,0≤x≤200,x∈N为定义域上的增函数,所以x=200时,y1取得最大值1970-200a.y2=10x-50-0.05x2,0≤x≤120,x∈N则x=100时,y2取得最大值450.(3)令1970-200a=450,解得a=7.6,所以4≤a<7.6时,投资甲产品;当7.6<a≤8时,投资乙产品;当a=7.6时,投资甲产品、乙产品均可.【解析】本题主要考查的是函数的性质和应用,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.12/13\n(1)根据条件,即可建立生产甲、乙两种产品的年利润与生产相应产品的件数x之间的函数解析式;(2)根据函数性质,分别求出投资生产这两种产品的最大利润;(3)比较两个函数的大小关系,即可决定投资可获得最大年利润. 20．已知p:不等式(a-2)x2＋2(a-2)x-4＜0,对∀x∈R恒成立;q:关于x的方程x2＋(a-1)x＋1＝0,一根在(0,1)上,另一根在(1,2)上.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.【答案】命题p:当a＝2时,-4＜0恒成立,符合题意,当a≠2时,须满足,解得-2＜a＜2.所以当命题p为真命题时,a的取值范围是(-2,2]．命题q:令f(x)＝x2＋(a-1)x＋1,由题意有,∴解得-＜a＜-1.∵p∨q为真命题,p∧q为假命题,∴p,q一真一假,当p真q假时有,解得-2＜a≤-或-1≤a≤2.当p假q真时有此不等式组解集为空集．综上所述,a的取值范围是∪[-1,2]．【解析】本题主要考查的是复合命题的真假,意在考查学生的逻辑推理能力和计算能力.由p∨q为真命题,p∧q为假命题,可得p,q一真一假,分情况求得的值. 21．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x,其中a,b满足a·b≠0.(1)若a·b>0,判断函数f(x)的单调性;(2)若a·b<0,求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．12/13\n【答案】(1)当a>0,b>0时,任意x1,x2∈R,x1<x2,则,∵⇒∴f(x1)-f(x2)<0,∴函数f(x)在R上是增函数．当a<0,b<0时,同理,函数f(x)在R上是减函数．(2)f(x＋1)-f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.当a<0,b>0时, x>-,则x>log1.5;当a>0,b<0时, x<-,则x<log1.5.【解析】本题主要考查的是指数函数的单调性及其应用,意在考查学生分类讨论的思想和计算能力.(1)分和两种情况,根据指数函数的单调性进行求解;(2)分a<0,b>0和a>0,b<0两种情况,根据指数函数的单调性进行求解. 22．如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点C,AD丄CE,垂足为D.(1)求证:AC平分∠BAD;(2)若AB=4AD,求∠BAD的大小．【答案】证明:(1)连接BC,∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=90°．12/13\n∴∠B+∠CAB=90°∵AD⊥CE,∴∠ACD+∠DAC=90°,∵AC是弦,且直线CE和圆O切于点C,∴∠ACD=∠B,∴∠DAC=∠CAB,即AC平分∠BAD.(2)由(1)知△ABC∽△ACD,∴,由此得AC2=AB•AD.∵AB=4AD,∴AC2=4AD•AD⇒AC=2AD,于是∠DAC=60°,故∠BAD的大小为120°．【解析】本题主要考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质,意在考查学生的逻辑推理能力.(1)利用切线的性质即可得出;(2)利用相似三角形的性质即可得出. 23．直角坐标系的原点和极坐标系的极点重合,轴正半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,已知曲线C的参数方程为为参数).(1)在极坐标系下,曲线C与射线和射线分别交于A,B两点,求的面积;(2)在直角坐标系下,直线的参数方程为为参数),求曲线C与直线的交点坐标.【答案】(1)曲线C在直角坐标系下的普通方程为,将其化为极坐标方程为,分别代入θ＝和θ＝-,得|OA|2＝|OB|2＝,因∠AOB＝,故△AOB的面积S＝|OA||OB|＝．(2)将l的参数方程代入曲线C的普通方程,得(t-2)2＝0,∴t＝2,代入l的参数方程,得x＝2,y＝,12/13\n所以曲线C与直线l的交点坐标为(2)．【解析】本题主要考查的是极坐标和直角坐标的互化以及直线参数方程中参数的几何意义,意在考查学生分析问题、解决问题的能力.(1)先消去参数得到直角坐标方程,再利用直角坐标与极坐标间的关系,将直角坐标方程化成极坐标方程,通过极坐标方程求出三角形的边长后求面积即可;(2)将l的参数方程代入曲线C的普通方程,得t的值,再代入l的参数方程,得到曲线C与直线l的交点坐标. 24．设函数,f(x)=|x-1|+|x-2|．(1)求证f(x)≥1;(2)若f(x)成立,求x的取值范围．【答案】(1)证明:由绝对值不等式得:f(x)=|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1.(2)∵,∴要使f(x)成立,需且只需|x-1|+|x-2|≥2,即,或,或,解得x≤,或x≥．【解析】本题主要考查的是含绝对值不等式的解法和基本不等式的应用,意在考查学生的计算能力.(1)利用绝对值不等式的性质,即可证得f(x)≥1;(2)利用基本不等式可求得,要使f(x)成立,需且只需即可. 12/13
