石嘴山市三中高二年级第一学期期中数学(理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形2、已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则﹁p为A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e≤1C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤13已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于A．－1B．1C．3D．74、“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为A.B.C.D.5.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝A．2 B．3C．4D．96．抛物线的焦点到直线的距离是A．B．2C．D．17、命题：若，则；命题：．下列命题为假命题的是A．B．C．D．8、已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为A．B．2C．或2D．或-12-\n9.已知数列是各项均为正数的等差数列，其前9项和，则的最小值为A．B．C．D．10、在焦距为的椭圆中，是椭圆的两个焦点，则“”是“椭圆上至少存在一点，使得”的A.充分而不必要条件B．必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.12．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．(1，＋∞)B．(1,2]C．D．(1,3]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的标准方程是____．14.若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．15.已知为椭圆是椭圆的两个焦点，则：的最小值为_________16、下列四种说法：①命题“∀x∈R，都有x2－2<3x”的否定是“∃x∈R，使得x2－2≥3x”；②命题“在数列中，若数列为等比数列,则”的逆命题为真命题；-12-\n③若“”为真命题，则“”也为真命题④设，且(其中，，为正实数)，则的取值范围是其中正确的说法是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知a>0，a≠1，设p：函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．18.(12分)已知点,,直线相交于点,且它们的斜率之积为.（Ⅰ）求点的轨迹方程;（Ⅱ）若点,求的最小值.19.(12分)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列.(1)求数列{an}的通项；(2)令，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.20．（12分）已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5．（1）求抛物线的方程；（2）设l为过点(4,0)的任意一条直线，若l交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆必过原点．21.(12分)在等比数列{an}中，an>0(),公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；-12-\n(2)设，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值.22.(12分)设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，且点，均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．-12-\n石嘴山市三中高二年级第一学期期中数学(理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( )A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形答案：C 2、已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则﹁p为A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e≤1C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤1答案：B 3已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于A．－1B．1C．3D．7答案B.∵a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，∴a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝33－35＝－2，∴a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1.4、“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为A.B.C.D.【答案】D5.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝A．2 B．3C．4D．9答案：B6．抛物线的焦点到直线的距离是A．B．2C．D．1【答案】D【解析】由可得其焦点坐标，根据点到直线的距离公式可得-12-\n．故选D．7、已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为A．B．2C．或2D．或【答案】【解析】C故答案为：或2．8、命题：若，则；命题：．下列命题为假命题的是A．B．C．D．【答案】B9.已知数列是各项均为正数的等差数列，其前9项和，则的最小值为A．B．C．D．【答案】B10、在焦距为的椭圆中，是椭圆的两个焦点，则“”是“椭圆上至少存在一点，使得”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A11.已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，则为奇函数且在-12-\n上单调递增，不等式对任意实数恒成立，则在恒成立，分离参数，又因为（当且仅当时，取等号），则，故选D.12．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．(1,3]B．(1,2]C．D．(1，＋∞)【答案】A【解析】，当且仅当，即时取等号．这时．由，得，即，得，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的标准方程是________．【答案】【解析】由双曲线的渐近线方程为，知，它的一个焦点是，知，因此，，故双曲线的方程是．14.若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．(－∞，－1] 15.已知为椭圆是椭圆的两个焦点，则：的最小值为_________解故的最小值是8-12-\n16、下列四种说法：①命题“∀x∈R，都有x2－2<3x”的否定是“∃x∈R，使得x2－2≥3x”；②命题“在数列中，若数列为等比数列,则”的逆命题为真命题；③若“”为真命题，则“”也为真命题④设，且(其中，，为正实数)，则的取值范围是其中正确的说法是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知a>0，a≠1，设p：函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．解 对于命题p：当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减．当a>1时，函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p为真命题，那么0<a<1.如果p为假命题，那么a>1.对于命题q：如果函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，那么Δ＝(2a－3)2－4>0，即4a2－12a＋5>0⇔a<，或a>.又∵a>0，所以如果q为真命题，那么0<a<或a>.如果q为假命题，那么≤a<1，或1<a≤.∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假．如果p真q假，那么⇔≤a<1.如果p假q真，那么⇔a>.∴a的取值范围是[，1)∪(，＋∞)．-12-\n18．已知点,,直线相交于点,且它们的斜率之积为.（Ⅰ）求点的轨迹方程;（Ⅱ）若点,求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.解析：（Ⅰ）设,则,且因为,即,且所以点的轨迹方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,点的轨迹方程是双曲线所以.所以为双曲线的右焦点,设双曲线的左焦点为,因为在第一象限，所以若最小,则在双曲线的右支上.由双曲线的定义知,则,所以因为两点之间线段最短,所以连接,则直线与双曲线的交点即为所以.所以的最小值为.19．（12分）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列.(1)求数列{an}的通项；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.解 (1)由已知得解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，-12-\n又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝.由题意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln2.故Tn＝ln2.20．（12分）已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5．（1）求抛物线的方程；（2）设l为过点(4,0)的任意一条直线，若l交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆必过原点．【答案】（1）y2＝4x；【解析】（1）由题意得|MF|＝4＋＝5，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝4．由，得y＝±4．∴|AB|＝8，∴＝4，∴以AB为直径的圆过原点．当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)(k≠0)．设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由，得k2x2－(4＋8k2)x＋16k2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝16．，∴．又，∴OA⊥OB，∴以AB为直径的圆必过原点．综上可知，以AB为直径的圆必过原点．21.（12分）在等比数列{an}中，an>0(n∈N)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25-12-\n，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值.解 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25，又an>0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.∴q＝，a1＝16，∴an＝16×n－1＝25－n.(2)bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴Sn＝，∴＝，∴当n≤8时，>0；当n＝9时，＝0；当n>9时，<0.∴当n＝8或9时，＋＋＋…＋最大.22．（12分）设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，且点，均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．【答案】（1）；（2）．-12-\n【解析】（1）设椭圆的焦距为，由已知得，又由，可得．由,从而，．所以，椭圆的方程为．（2）设点的坐标为，点的坐标为，由题意，，点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，从而，即．易知直线的方程为，由方程组消去，可得．由方程组，消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．所以，的值为．-12-
