2022届天津市“五校”联考数学(理科)试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B铅笔将答题卡涂黑。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人答题卡收回.祝各位考试考试顺利！一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，则集合=第2题图A．B．C．D．2.右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是A．B.C.D.3.下列叙述正确的个数是①若为假命题，则均为假命题；②若命题；则；③在中“”是“”的充要条件；④若向量满足，则与的夹角为钝角。A．1B.2C.3D.4-13-4．直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为A．B．C．D．45．已知的面积为，则的周长等于A．B．C．D．6．已知点的坐标满足条件记的最大值为，的最小值为，则＝A．4B．5C．D．7．设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为（）A．1006B．1007C．1008D．10098.已知函数，则下列关于函数（）的零点个数的判断正确的是A．当时，有个零点；当时，有个零点B．当时，有个零点；当时，有个零点C．无论为何值，均有个零点D．无论为何值，均有个零点正视图112222侧视图俯视图二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分,）9.复数的共轭复数为____________10.已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示,则该几何体的体积为____________11．若函数有最小值，则a-13-的取值范围是____________12.已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是____________13．在矩形中，已知，点E是BC的中点，点F在CD上，若则的值是.14．若实数满足，则的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。15.(本小题共13分)已知函数.（1）求的定义域及最小正周期；（2）当时，求函数的最值；（3）求的单调递减区间.16.(本小题共13分)甲袋中装有大小相同的白球1个，红球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．（1）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；（2）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量，求的分布列和数学期望．17.(本小题共13分)如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的一动点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）当时，二面角的-13-余弦值为，求实数的值18．（本小题共13分）已知椭圆的两焦点（-1，0）和（1，0），为椭圆上一点，且（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程。19．（本小题共14分）已知是数列的前项和，且，，数列中，，且。（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和；（3）证明：对一切，20．（本小题共14分）已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：．-13--13-2022届天津市“五校”联考数学(理科)试卷数学试卷（理科）评分标准一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、D2．C３．B4．D 5．A6．B7．C 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．10．11．12．13．14．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）求的定义域及最小正周期；（2）当时，求函数的最值；（3）求的单调递减区间.解：（1）由，得，，定义域为2分3分的最小正周期为4分（2）5分当时，即时，7分当时，即时，9分（3）又，的单调递减区间，13分16．甲袋中装有大小相同的白球1个，红球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．-13-（Ⅰ）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；（Ⅱ）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量，求的分布列和数学期望．16．解答（Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，分别记为事件A1、A2，且A1与A2互斥，则：∴故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为．6分（Ⅱ）＝0、1、2．，，,（取值1分，答对一个得1分）10分∴的分布列为012P∴=（分布列1分,期望2分；）13分17.(本小题共12分)如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的一动点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（3）当时，二面角的余弦值为，求实数的值F17（1）证明：设为的中点，连接-13-，则∵，，，∴四边形为正方形，∵为的中点，∴为的交点，∵，∴，………………………………..2分∵，∴，，在三角形中，，∴，……………………………3分∵，∴平面；……………………………4分(2)F由(Ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，5分由已知得：，，，，，，设平面的法向量为，直线与平面所成角，则，即，解得，令，则平面的一个法向量为，7分又令直线与平面所成角为-13-则，∴直线与平面所成角的正弦值为.………………………………8分(3)………………9分设平面的法向量为，直线与平面所成角，则，即令，，11分设平面的法向量为解得………………13分18．已知椭圆的两焦点（-1，0）和（1，0），为椭圆上一点，且（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程。（1）由已知得，即椭圆方程为………………3分-13-………………11分解得………………12分………………13分19．已知是数列的前项和，且，，数列中，，且。（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和；-13-（3）证明对一切，解：（1）,………………1分两式相减得………………2分的奇数项和偶数项分别构成以4为公差的等差数列………………3分当时，=当时，=………………5分（2）………………6分………………也适合……………8分错位相减得………………10分（3）……………12分==………………14分20．已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；-13-（3）设函数，求证：．答案（1）当时，，．……………1分令，得……………2分当时，；当时，.因此，的单调递减区间是，单调递增区间是.……………4分（2）由可知：是偶函数．于是，对任意恒成立等价于对任意恒成立．……………5分由，得．……………6分当时，，此时,在区间上单调递增．故，符合题意．……………7分当时，．当变化时，的变化情况如下表：极小值由上表可知：在区间上，.依题意，得.又．……………9分综上：实数的取值范围是……………10分（3），……………11分当，且时，-13-，即，……………12分，，…，，故．……………14分-13-
