四川省达州市大竹县文星中学2022-2022学年高二数学下学期开学调研考试试题考试时间：120分钟；满分150分第I卷（选择题）一、选择题：共12题每题5分共60分1．在ΔABC中，a=3,b=1,B=π6,则A=A.π3B.或5π6C.2π3D.或2π3【答案】D【解析】根据正弦定理可知，asinA=bsinB，结合已知条件a=3,b=1,B=π6,则sinA=asinBb=3×121=32,因为a>b,∴A>B，故可知答案为D.2．若等比数列{an}的前项和Sn=3n+r，则 =A.0B.-1C.1D.3【答案】B【解析】∵Sn=3n+r，Sn-1=3n-1+r，(n≥2，n∈N+)，∴an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1，由通项得a2=6，公比为3，∴a1=2，又a1=3+r，∴r=-1.故选B3．下列函数中,最小值为2是A.y=x5+5x,x∈R且x≠0B.y=lgx+1lgx,1<x<10C.y=3x+3-x,x∈RD.y=sinx+1sinx,0<x<π2【答案】C【解析】选项A:y没有最小值;选项B:∵1<x<10,∴0<lgx<1.∴y≥2,当且仅当lgx=1,即x=10时,ymin=2.此时不满足1<x<10;选项C:∵3x>0,∴y=3x+≥2,当且仅当x=0时,ymin=2;选项D:∵0<x<,∴sinx>0.∴y≥2,当且仅当sinx=1sinx,即sinx=1,即x=时等号成立,但不满足0<x<.4．设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1}.若A∪B=R,则a的取值范围为A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【答案】B【解析】当a≥1时,集合A={x|x≤1或x≥a}.因为A∪B=R,且集合B={x|x≥a-1},所以a-1≤1,解得a9\n≤2,即1≤a≤2;当a<1时,集合A={x|x≤a或x≥1},且a-1≤a,从而A∪B=R恒成立.综上可得a≤2.5．椭圆x216+y28=1 的离心率为A.13B.12C.33D.22【答案】D【解析】本题主要考查椭圆的离心率的计算。因为a2=16,b2=8,所以c2=a2-b2=16-8=8,离心率e==226．抛物线y=2ax2(a≠0)焦点坐标是A.(a2,0)B.(0,a2)C.(18a,0)D.(0,18a)【答案】D【解析】本题主要考查抛物线的焦点坐标。先化成标准形x2=y2a(a≠0),F(0,18a)即为所求。7．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为A.x28+y22=1B.x212+y26=1C.x216+y24=1D.x220+y25=1【答案】D【解析】本题主要考查椭圆、双曲线的几何性质。由题意，双曲线x²-y²=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得(2，2)在椭圆C：x2a²+y2b²=1.利用e=32，即可求得椭圆方程.由题意，双曲线x²-y²=1的渐近线方程为y=±x，∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴(2，2)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，∴4a²+4b²=1，∵e=32，∴a²-b²a²=34，∴a2=4b2，∴a2=20，b2=5，∴椭圆方程为x220+y25=1A.与是异面直线B.平面9\nC.，为异面直线，且D.平面【答案】C【解析】本题考查了线面位置关系的判断.选项C：三棱柱中，底面是互相平行的，又E在边BC上，所以，无交点，故是异面直线，又底面三角形是正三角形，是中点，所以AE⊥BC，BC//B1C1AE⊥B1C1，显然选项C正确；选项A：是中点,显然与是共面的直线；此选项错误；选项B：若平面，则AC⊥AB,而∠CAB=60°，显然是矛盾的，此选项错误；9．如图所示，正方体的棱长为1，，是线段上的动点，过点做平面的垂线交平面于点，则点到点距离的最小值为( )A.B.C.D.1【答案】B【解析】本题考查了四点共面；棱柱的结构特征.连接,由是正方体，得面.因为面，所以,所以与共面因为都在平面，所以点在线段上，则点到点距离的最小值为由向作垂线，即为的一条高是以边长为的等边三角形，所以高为9\n故选B10．下列结论中错误的是A.1.72.5<1.73B.log0.31.8<log0.31.7C.32<log23D.32>log23【答案】D【解析】本题主要考查指数函数与对数函数的性质.由题意，y=1.7x在R上递增，故1.72.5<1.73成立，而y=log0.3x在定义域内递减，故log0.31.8<log0.31.7成立，对于32=log222<log23成立，故选D.11．不等式2x2-x≤1的解集为A.[-12,1]B.[0,12]C.(-∞,-12)∪[1,+∞)D.(-∞,-12]∪[1,+∞)【答案】A【解析】本题考查一元二次不等式的求解.2x2-x≤1⇒2x2-x-1≤0⇒(x-1)(2x+1)≤0⇒-12≤x≤1.选A.12．函数f(x)={2x, x≤1, x2-4x+5, x>1,若f(a)≥1，则实数a的取值范围为A.[0,1]B.[1,+∞)C.[0,3]D.[0,+∞)【答案】D【解析】本题考查一元二次不等式的求解，指数的运算.由题意得{a≤12a≥1或{a>1 a2-4a+5≥1，所以{a≤1a≥0或{a>1x∈R，解得0≤a≤1或a>1，所以a≥0.选D.第II卷（非选择题）二、填空题：共5题每题5分共25分13．在△ABC中，A=60°，b=4,a=23,则△ABC的面积等于_____.【答案】【解析】本题考查正弦定理的应用及三角形面积的求解.由正弦定理可得,故,故B=90°,则C=30°,△ABC的面积为.14．已知数列{an}前项n和为Sn，a1=1,an+1=3Sn，则__________.9\n【答案】1(n=1)3×4n-2(n≥2)【解析】根据题意，由于a1=1,an+1=3Sn∵Sn+1-Sn=an+1,∴Sn+1-Sn=3Sn，则可知Sn+1=4Sn，则可知Sn=1×4n-1=4n-1，则当n=1时，a1=1,；当n≥2时，则可知an=Sn-Sn-1=4n-1-4n-2=3×4n-2，那么可知an=1(n=1)3×4n-2(n≥2)15．已知抛物线y2=4x与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 .【答案】2+116．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：①面DBC是等边三角形； ②AC⊥BD； ③三棱锥D-ABC的体积是26.其中正确命题的序号是 .(写出所有正确命题的序号)【答案】①②三、解答题：共6题共74分18．(本题12分)已知直线经过点(0，－2)，其倾斜角是60°．(1)求直线l的方程；(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．【答案】(1)根据题意，直线l经过点l，其倾斜角是60°．∵直线l的斜率k=tan60∘=3，且直线l过点(0，－2)，由直线l的点斜式方程有：y-(-2)=3(x-0)化简得直线l的方程为：3x-y-2=0令x=0,y=-2,令y=0,x=233,即直线l在y轴、x轴的截距分别为-2，233.(2)设直线l与两坐标轴围成三角形的面积为s，所以直线与两坐标轴围成三角形的面积s=12⋅|-2|⋅|233|=233【解析】本题主要考查直线方程以及直线与坐标轴围成的面积.19．(本题12分)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=log2an，求数列{an+bn}的前n项和Tn.9\n【答案】(1)设等比数列的公比为，有，解得，所以；(2)由(1)知，有，从而.【解析】本题考查等比数列的通项公式与等差数列的求和.解题思路如下:(1)根据已知条件建立公比与首项的方程组即可;(2)先求出bn的通项公式,再利用等差数列的求和公式即可.20．(本题12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB,求的值.【答案】(Ⅰ)根据题意，由于曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为3+22,0),(3-22,0).因为曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.利用对称性，故可设C的圆心为(3，t)，则有32+(t-1)2=(22)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为32+(t-1)2=3.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，其坐标满足方程组：x-y+a=0(x-3)2+(y-1)2=9消去y，得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得，判别式Δ=56-16a-4a2>0.由韦达定理可知……①因为x2+x1=4-a,x2x1=a2-2a+12,故有x2x1+y2y1=0……②又y1=x1+a，y2=x2+a∴y2y1=(x1+a)(x2+a)……③将式①③代入②式得a=-1，并且经过验证可知满足题意，故a=-19\n【解析】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型。21．(本题12分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为.(1)若点P运动到( 1 , 3 )处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程.【答案】把圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.讨论直线的斜率是否存在，分为两类：当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件.②当l的斜率存在时，设斜率为k，由点斜式方程得l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，结合直线与圆相切可知圆心到直线的距离等于圆的半径，则|-k-2+3-k|1+k2=2 解得k＝－34∴l的方程为y－3＝－34 (x－1)，即3x＋4y－15＝0.综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.(2)设P(x，y)，则根据|PM|=|PO|，利用切线段的长度与圆的半径以及圆心到点P的距离构成了勾股定理可知，|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|.∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，化简整理，得2x－4y＋1＝0，∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.【解析】本题主要考查用点斜式求直线的方程，注意分类讨论；直线和圆相切的性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，以及求轨迹方程的方法，属于中档题22．(本题12分)某人年初用98万元购买了一条渔船,第一年各种费用支出为12万元,以后每年都增加4万元,而每年捕鱼收益为50万元.(1)第几年他开始获利?(2)若干年后,船主准备处理这条渔船,有两种方案:①年平均获利最大时,以26万元出售这条渔船;②总收入最多时,以8万元出售这条渔船.9\n请你帮他做出决策.【答案】(1)每年的费用支出是以12为首项,4为公差的等差数列,纯收入与年数n的关系为f(n)=50n-[12+16+…+(8+4n)]-98=-2n2+40n-98.由题设知,f(n)>0,即-2n2+40n-98>0,解得10-51<n<10+51,又n∈N*,所以2<n<18,n=3,4,5,…,17,故第3年开始获利.(2)方案一 年平均获利为f(n)n=40-2(n+49n)≤40-2×14=12,当n=49n,即n=7时,等号成立,即前7年年平均获利最大,此时出售渔船,总收入为12×7+26=110(万元).方案二 f(n)=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102,当n=10时,f(n)取得最大值,为102,此时出售渔船,总收入为102+8=110(万元).这两种方案的总收入均为110万元,而方案一只要用7年时间,而方案二要用10年时间,所以建议船主选择方案一处理这条渔船.【解析】无23．(本题14分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=63，过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32.(1)求椭圆的方程.(2)已知定点E(-1,0)，是否存在k的值，使得直线y=kx+2 (k≠0)与椭圆交于C、D两点.且EC⊥ED,并说明理由.【答案】(1)因为直线过点A(0,-b)和B(a,0)，由截距式得AB方程为：xa-yb=1，整理得：bx-ay-ab=0.因为椭圆的离心率为e=63，原点到直线的距离为32，所以可得：ca=63aba2+b2=32 ，解得a=3b=1所以椭圆方程为x23+y2=1.(2)假设存在这样的k值，与椭圆方程联立y=kx+2x2+3y2-3=0，消去y得(1+3k2)x2+12kx+9=0.9\n因为直线和椭圆有两个交点，所以Δ=(12k)2-36(1+3k2)>0⇒k2>1设点C(x1，y1)、D(x2，y2)，由根与系数的关系得：x1+x2=-12k1+3k2x1⋅x2=91+3k2因为直线CE的斜率为kCE=y1x1+1，直线DE的斜率为kDE=y2x2+1当CE⊥DE时，有y1x1+1⋅y2x2+1=-1，即y1y2+(x1+1)(x2+1)=0.而y1⋅y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4.所以有：(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0.即(k2+1)91+3k2+(2k+1)-12k1+3k2+5=0整理解得k=76.经验证k=76满足题意.综上可知，存在k=76，使得CE⊥DE【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程、几何性质以及直线和椭圆的位置关系.9
