泸州市高2022级第一次教学质量诊断性考试数学（理工类）本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。第一部分1至2页，第二部分3至4页，共150分。考试时间120分钟。第一部分（选择题共50分）注意事项：用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。不能答在草稿子、试题卷上。一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1、设全集，集合，，则（）A、B、C、D、2、函数的图象可能是（）A、B、C、D、3、已知命题：，，命题：，，则下列说法中正确的是（）A、命题是假命题B、命题是真命题C、命题是假命题D、命题是真命题4、下列函数中，满足“对任意，都有”的是（）A、B、C、D、5、设函数，其图象在点处的切线与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A、B、C、D、6、已知为的边的中点，所在平面内有一个点，满足，则的值为（）A、B、C、D、7、设，，且，则下列结论中正确的是（）A、B、C、D、8、学校餐厅每天供应名学生用餐，每星期一有、两种菜可供选择。调查表明，凡是在这星期一10选菜的，下星期一会有改选菜；而选菜的，下星期一会有改选菜。用表示第个星期一选的人数，如果，则的值为（）A、B、C、D、9、已知实数满足，则的取值范围是（）A、B、C、D、10、已知函数，若存在，当时，，则的取值范围是（）A、B、C、D、第二部分（非选择题共100分）注意事项：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，答在试题卷上无效，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11、设复数满足（是虚数单位），则____________。12、已知点，，则与向量方向相同的单位向量的坐标为____________。13、已知数列为等差数列，，公差，、、成等比数列，则的值为____________。14、已知函数在上是减函数，那么的取值范围是____________。15、设非空集合，若对中任意两个元素，，通过某个法则“”，使中有唯一确定的元素与之对应，则称法则“”为集合上的一个代数运算。若上的代数运算“”还满足：（1）对，都有；（2）对，，使得，。称关于法则“”构成一个群。给出下列命题：①实数的除法是实数集上的一个代数运算；②自然数集关于自然数的加法不能构成一个群；③非零有理数集关于有理数的乘法构成一个群；④正整数集关于法则构成一个群。其中正确命题的序号是____________。（填上所有正确命题的序号）。10三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16、(本小题满分12分)在中，角的对边分别是，若。（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，的面积为，求的值。17、(本小题满分12分)某校校庆，各界校友纷至沓来，某班共来了位校友（且），其中女校友位，组委会对这位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出位校友代表，若选出的位校友代表是一男一女，则称为“友情搭档”。（Ⅰ）若随机选出的位校友代表为“友情搭档”的概率不小于，求的最大值；（Ⅱ）当时，设选出的位校友代表中女校友人数为，求的分布列和均值。18、(本小题满分12分)设为数列的前项和，且对任意时，点都在函数的图象上。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和的最大值。1019、(本小题满分12分)已知函数。（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明；（Ⅱ）若对于任意，不等式恒成立，求正实数的取值范围。20、(本小题满分13分)已知函数（，）图象的相邻两对称轴间的距离为，若将函数的图象向左平移个单位后图象关于轴对称。（Ⅰ）求使成立的的取值范围；（Ⅱ）设，其中是的导函数，若，且，求的值。21、(本小题满分14分)已知函数，。（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若函数有两个零点，且，求实数的取值范围并证明随的增大而减小。1012级一诊理科答案一、选择题题号12345678910答案ADDCBACBCB二、填空题11．；12．；13．；14．；15．②③．三、解答题16．解：（I）∵，由正弦定理得：，2分∵，∴，3分∴，即，5分又，∴；6分（II）∵，的面积为，∴，7分∴，8分，即，9分，10分∴11分.12分1017．解：（Ⅰ）由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率，3分则，4分化简得，解得，5分故的最大值为16；6分（Ⅱ）由题意得，的可能取值为，，，7分则8分9分，10分所以的分布列为01211分．12分18解：（Ⅰ）因为点都在函数的图象上．所以，1分当时，，，2分当时，，3分所以，4分，是公比为，首项为的等比数列，；5分（Ⅱ）因为是公比为，首项为的等比数列，所以，6分10∴，7分∵，∴数列是以为首项，公差为的等差数列，且单调递减，8分由，9分所以，即，因为，，∴，11分数列的前项和的最大值为．12分19．解：（Ⅰ）由，得且，∴函数的定义域为，1分当时，，2分，3分所以，4分∴f(x)在定义域上是奇函数；5分(Ⅱ)由于，当或时，恒成立，所以在上是减函数，6分因为x∈[2,4]且m>0，所以，7分由及在上是减函数，所以，8分因为x∈[2,4]，所以m<(x＋1)(x－1)(7－x)在恒成立．9分设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，，则g(x)＝－x3＋7x2＋x－7，10分所以g′(x)＝－3x2＋14x＋1＝－32＋，所以当时，g′(x)>0．所以y＝g(x)在上是增函数，g(x)min＝g(2)＝15．11分综上知符合条件的m的取值范围是．12分1020.解：（Ⅰ）函数图象的相邻两对称轴间的距离，∴函数的周期，，1分∴，将的图象向左平移个单位后得到的函数为，2分∵图象关于y轴对称，∴，又，3分∴，即，4分由得：，即，5分∴使的的取值范围是；6分（Ⅱ）∵，∴，7分令得，解得，8分∴，9分∵，∴，10分∵，∴，11分∴，12分∴.13分21.解：（Ⅰ）∵，所以定义域为且，1分因为,（1）当，又，即时，对恒成立，∴的单调递增区间为；2分（2）当，又，即时，10由得：，或，3分所以的单调递增区间为，；4分（Ⅱ）当时，由，得.当变化时，，的变化情况如下表：1＋0－↗↘这时，的单调递增区间是，单调递减区间是.5分当x大于0且无限趋近于0时，的值无限趋近于；当x无限趋近于0时，的值无限趋近于，6分所以有两个零点，须满足>0，即，所以的取值范围是.7分因为是函数的两个零点，即，.故.8分设，则，且解得，.所以.9分令，，则.令，得.当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，，由此可得，故在上单调递增.因此，由①可得随着的增大而增大.10分因为是函数的两个零点，即，，则，，因为且，则，.11分设，则，10所以在上单调递增，在上单调递减.12分对于任意的，设，故，其中；，其中.因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得，13分由，则，所以.所以，x=随着的增大而减小.即随a增大而减小.14分6.如图，四边形是平行四边形，D为边BC的中点，所以D为边的中点，的值为1．7.．因为，，所以．8.依题意有：，即，．因此．9.由得：，即，所以a，b是一元二次方程的两实根，且，令，因此，解之得：，所以的取值范围是．10.当时，因为，由或，得到的取值范围是，所以即的范围是.15.①因为没有意义，故命题错误；②自然数的加法是一个代数运算，加法满足结合律(1)、(2)有单位元0、但不满足使，故命题正确；③有理数集的乘法是一个代数运算，满足（1）、（2），有单位元1、存在逆元使，故命题正确；④是代数运算，运算不满足（1）.如10
