成都市龙泉第一中学校高二上数学竞赛考试时间：2022年10月28日16:15-17:45总分100分说明：（1-20题每小题3分，21-40题每小题2分）.1、已知集合，，则＝*答案：2、已知，则的值为*.答案：3、已知向量，，若向量与向量共线（R，且，则的值为*.答案：4、设是两个非空数集，定义集合,若，，则中元素的个数是*答案：85、如果,那么=*答案：6、已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为*答案：7、在中，内角所对边分别为,若，则是*答案：钝角三角形8、若圆有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径-10-的取值范围是*答案：（4,6）8、等比数列的前项和为，若，则等于*答案：1509、已知是函数图像上不同的两点，若的中点落在轴上，则的取值范围为*答案：10、已知，那么的值是*答案：0.511、已知函数，则=*答案：312、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足,则的轨迹一定通过的*答案：重心13、对任意的恒成立，则的取值范围是*答案：14、已知直线，直线和坐标轴围成的四边形有外接圆，则的值等于答案：16、Giventhatthetoppointsofrectanglearerespectively.PointisamovingpointonsegmentBD,suppose,thentheexpressionofis.-10-答案：17、正方体中，二面角的度数是__*__.答案：6018、一个几何体的三视图如图1所示，则此几何体的全面积是*.答案：19、联想祖暅原理（夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等），请计算：由曲线和两直线所围成的平面几何图形的面积等于*答案：620、在等差数列则最大值是*．答案：21、定义运算，则函数的最大值为*答案：22、三棱锥的所有棱长均为,顶点在底面上的正投影为点,点在上,且使,则的长为*.-10-答案：23、已知函数，若，且，则的取值范围是*.答案：24、对于任意两个正数,定义运算“”如下：，其中为常数.已知，并且存在一个非零实数，使得对于任意实数都有，则的值为*.答案：325、直线过点P(1,3)且和两坐标轴围成的三角形的面积为6，则满足条件的直线有___条.答案：326、在中，角所对的边分别为．若，，过作的垂线，垂足为，设，则=*答案：27、已知是正数，且，则的最小值为*答案：2528、函数在区间上的值域是，则点所在轨迹的长度为*答案：29、在正方体中，过的直线与所成角都等于，则的取值范围为*答案：30、为数列前项和，若且对所有的（）都有，则*答案：31、已知数列，，前ｎ项部分和满足，则 。-10-答案：。32、方程的解集合为 。答案：。33、函数的值域为答案：34、长方体中，已知，，则对角线的取值范围是*答案：35、棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为,则的最大值为*_答案：36、在△ABC中，已知，过边AC上一点D作直线DE，与边AB或者BC相交于点E，使得，且DE将△ABC的面积两等分，则*答案：37、已知，且，则*答案：1038、在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于*答案：39、定义在上的函数满足，当时，，则函数在上的零点个数是 ．答案：60440、平面上三点，（，）．若点满足，-10-且．则这样的三角形的个数为*答案：6高2022级高二上数学竞赛参考答案部分解析1-9、略10、，得，所以所以又11-14、略15、如图：情况一：两直线垂直；情况而：16、略17、略18、-10-直观图如图所示19、的长度始终为3，根据原理可得20、，所以，当时，有最大值21、如图22、可得，可知为等腰直角三角形，则，设，则23、易得则，由得24、略25、略-10-26、设，则,则，27、由平均值不等式及题设条件知，即，……当且仅当时取等号．这时由便得，…………又由条件和柯西不等式可得，……当且仅当时取等号，结合条件便知此时．由便得．当时，取最小值25．28、由图像可知：29、将移到，问题等价于过与成等角的直线，又成角。答案易得30、所以-10-31、，所以32、，只有取等号时相等。33、因为，令所以34、则35、如图：取该四面体两对对棱的中点,容易证明这四个点构成一个正方形,边长为,由于投影保持直线的平行关系不变,故正方形的投影图形要么为平行四边形（当光线不与面平行时）,此时四面体的投影四边形的面积是面积的二倍（当四面体的投影是三角形时结论不变）,要么是一条线段（当光线与面平行时）要使四面体投影面积最大,根据面积射影定理,只须投影光线与面垂直（即投影光线与异面直线的公垂线平行,最大投影面积为36、设，则-10-37、易知与均为负，则可以直接去掉绝对值号，讨论的正负即可38、12条棱对应的体积为，8个定点凑成一个立方体加一个内切圆，则体积为，所求体积为39、中，令，则得，函数是10为周期的周期函数又函数在上无零点，在上3个零点，所以有零点604个40、易知点是三角形的外心，第二个等式要求三角形是以为底边的等腰三角形，满足条件的三角形如图，共计6个-10-
