石室中学高2022届2022～2022学年度上期期中考试数学（文）试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集，集合，，则Venn图中阴影部分表示的集合是(B)A.{5}B.{1,3}C.{2,4}D.{2,3,4}2．用二分法求方程近似解的过程中，已知在区间上，，并计算得到，那么下一步要计算的函数值为（A）A．B．C.D．3．函数的零点所在区间是（B）A.B.C.（1,2）D.4．设，，，则（A）.A．B．C．D．5．函数的递减区间为（A）A．B．C．D．6.已知，则函数的解析式为（C）A．B．C．D．7.幂函数在第一象限的图象如右图所示，则的大小关系是(D)A．B．C．D．8．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为（A）A．95元B．100元C．105元D．110元9．若，规定：，例如：，则函数的图像（D）-6-\nA.关于原点对称B.关于直线y=x对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称10．若函数在上有，则（C）A.在上是增函数B.在上是减函数C.在上是增函数D.在上是减函数11.对于给定的正数K，定义函。已知函数，对其定义域内的任意，恒有，则(C)A．K的最小值为B．K的最大值为C．K的最小值为81D．K的最大值为8112．已知是定义在R上的奇函数，对任意恒有，且当时，，则=(C)A．35B．C．D．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．函数恒过定点，则点的坐标为______14．已知是上的减函数，那么的取值范围是__15．已知函数，其中、为常数，，则=_____16．若函数及的图象分别如下图所示,方程、的实根个数分别为，则=10-6-\n三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.（10分）（1）计算：；（2）已知，，试用表示。解：（1）；............5分（2）.............5分18.(12分)已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.（1）求的值；（2）求函数的值域；（3）设的定义域为集合，若，求实数的取值范围.解：.....4分(2)......4分（3）......4分19．（12分）已知函数.(1)若的定义域和值域均是，求实数的值；(2)若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围．解：（1）∵（）,∴在上是减函数，又定义域和值域均为，∴，即，解得.…………………………………6分（2）∵在区间上是减函数，∴，…………………………………8分对称轴，又，∴，，……………………………10分∵对任意的，总有，即有，解得……………………………11分又，∴.…………………………………………………….12分-6-\n20.（12分）已知函数.（1）当时，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）讨论函数的零点个数．解：（1）且时，关键步骤：………………………4分（2）恒成立，参变分离后，可变形为恒成立令换元可得………………………8分（3）令可转化为：的根的情况……………………9分作出的图像，可得：当时，有1个零点；当，有2个零点；当时，有3个零点.………………………12分21.（12分）某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品2010200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，是待定常数，其值由生产产品的原材料决定，预计，另外，年销售件B产品时需上交万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润与生产相应产品的件数之间[的函数关系，并求出其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案.-6-\n解：（Ⅰ）设年销售量为件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润分别为：且………3分 ……5分（Ⅱ），，，为增函数，时，生产A产品有最大利润为（万美元）………………7分又时，生产B产品有最大利润为460（万美）9分作差比较：所以：当时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；当时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；当时，投资生产B产品100件可获得最大年利润.12分22.（12分）已知函数()是偶函数．(1)求的值；(2)若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围；(3)设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．解：(1)因为为偶函数，所以，-6-\n即对于恒成立.于是恒成立,而x不恒为零，所以.---------------4分(2)由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.因为任取、R，且，则，从而.于是，即，所以在上是单调减函数.因为，所以.所以b的取值范围是-----------------------8分(3)由题意知方程有且只有一个实数根．令，则关于t的方程(记为(*))有且只有一个正根.若a=1，则，不合,舍去；若，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.由或－3；但，不合，舍去；而；方程(*)的两根异号综上所述，实数的取值范围是．-----------------------12分-6-
