成都七中实验学校高二（上）期中考试文科数学试题一、选择题：（本大共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．）1．若方程表示圆，则实数的取值范围是A．B．C．D．2．直线与直线垂直，则的值是 A．－1或 B．1或C．－或－1D．－或13．已知，则直线通过A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限4．下列四个命题中，其中真命题的是A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合B．两条直线可以确定一个平面C．若D．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内5．与两条异面直线分别相交的两条直线A．可能是平行直线 B．一定是异面直线C．可能是相交直线 D．一定是相交直线6.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为A.96B.136C.152D.192-9-\n7．已知圆：，：，那么两圆的位置关系是A．内含B．内切C．相交D．外切8.给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题，其中正确命题的个数是（1）,点则与m不共面；（2）是异面直线，且则；（3）若则；（4）若，则，（5）若，，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9.是圆上任意一点，若不等式恒成立，则c的取值范围是A．B．C．D．10．直线：与圆：的位置关系是 A相离B相切C相交D有公共点11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为A.B.C.D.12.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中点，动点P在底面ABCD内，且PA1＝A1E，则点P运动形成的图形是A.线段B.圆弧-9-\nC.椭圆的一部分D.抛物线的一部分二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中正确的是 (只填序号).①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.14.把一个半径为5错误！未找到引用源。cm的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的3倍,则这个圆锥的高为 .15．直线的倾斜角的范围是____.16．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为____.三．解答题：本大题满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．本小题满分(10分)(1)求与直线垂直，且与原点的距离为6的直线方程；(2)求经过直线：与：的交点，且平行于直线的直线方程．18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACM；(2)证明：AD⊥平面PAC.-9-\n19．(本小题满分12分)已知点(0,5)及圆：.(1)若直线过且被圆C截得的线段长为4，求的方程；(2)求过点的圆的弦的中点的轨迹方程．20.((本小题满分12分)如图,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线BD把△ABD折起,使A移到A1点,且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.(1)求证:BC⊥A1D.(2)求证:平面A1BC⊥平面A1BD.(3)求三棱锥A1-BCD的体积.21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．22．(本小题满分12分)已知以点为圆心的圆与轴交于点O、A，与轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△AOB的面积为定值；(2)设直线与圆交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆的方程；(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线：和圆上的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．-9-\n成都七中实验学校高二（上）期中考试文科数学试题答案一、选择题：1．A2．D 3．C4．C 5．C6.C7．C8.C9.B10．D 11．D 12.B二、填空题：13.:①②④14.20cm15．16．三．解答题：17．本小题满分(10分)(1)求与直线垂直，且与原点的距离为6的直线方程；(2)求经过直线：与：的交点，且平行于直线的直线方程．解 (1)设所求的直线方程为4x－3y＋c＝0.由已知：＝6，解得c＝±30，故所求的直线方程为4x－3y±30＝0.(2)设所求的直线方程为2x＋3y－5＋λ(7x＋15y＋1)＝0，即(2＋7λ)x＋(3＋15λ)y＋λ－5＝0，由已知－＝－，解得λ＝1.故所求的直线方程为9x＋18y－4＝0.18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．-9-\n(1)证明：PB∥平面ACM；(2)证明：AD⊥平面PAC.解析 (1)连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.19．(本小题满分12分)已知点(0,5)及圆：.(1)若直线过且被圆C截得的线段长为4，求的方程；(2)求过点的圆的弦的中点的轨迹方程．【解析】 (1)解法一：如图所示，AB＝4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2.设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式：＝2，得k＝.k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，即·＝0，(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.20.((本小题满分12分)如图,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线BD把△-9-\nABD折起,使A移到A1点,且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.(1)求证:BC⊥A1D.(2)求证:平面A1BC⊥平面A1BD.(3)求三棱锥A1-BCD的体积.【解析】(1)连接A1O,因为A1在平面BCD上的射影O在CD上,所以A1O⊥平面BCD,又BC⊂平面BCD,所以BC⊥A1O,又BC⊥CO,A1O∩CO=O,所以BC⊥平面A1CD,又A1D⊂平面A1CD,所以BC⊥A1D.(2)因为ABCD为矩形,所以A1D⊥A1B.由(1)知A1D⊥BC,A1B∩BC=B,所以A1D⊥平面A1BC,又A1D⊂平面A1BD,所以平面A1BC⊥平面A1BD.(3)因为A1D⊥平面A1BC,所以A1D⊥A1C.因为A1D=6,CD=10,所以A1C=8,所以==××6=48.故所求三棱锥A1-BCD的体积为48.21．(本小题满分12分)(2022·北京理)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．解析 (1)因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD，-9-\n所以PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0，)C(0，，0)，所以＝(1，，－2)，＝(0,2，0)．设PB与AC所成角为θ，则cosθ＝＝＝.(3)由(2)知＝(－1，，0)．设P(0，－，t)(t>0)，则＝(－1，－，t)，设平面PBC的一个法向量m＝(x，y，z)，则·m＝0，·m＝0，所以令y＝，则x＝3，z＝.所以m＝(3，，)．同理，平面PDC的一个法向量n＝(－3，，)．因为平面PBC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋＝0.解得t＝，所以PA＝.22．已知以点为圆心的圆与轴交于点O、A，与轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△AOB的面积为定值；-9-\n(2)设直线与圆交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆的方程；(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线：和圆上的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．22．(1)证明 由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；当x＝0时，y＝0或，则B，∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值．(2)解 ∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(3)解 点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝－＝3－＝2.所以|PB|＋|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为.-9-
