2022—2022学年度上学期质量监测高一数学第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.每小题只有一项是符合题目要求的．1．集合的非空真子集的个数是A.7B.8C.6D.42．已知集合，，则A.B.C.D.3．长方体中，，，，则长方体 的外接球的直径为A.B.C.D.4．将写为根式，则正确的是A.B.C.D.5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A.B.C.D.6．一个三角形的直观图是一个边长为的等边三角形，则原三角形的面积等于A.B.C.D.7．在正方体中，异面直线与所成的角为A.75°B.60°C.30°D.45°8．已知，，则A.B.C.D.9．已知，则的大小关系是A.B.-8-C.D.10．过正方体的顶点作直线，使直线分别与三条棱所成的角都相等，则这样的直线有A.条B.条C.条D.无数条11．已知函数是奇函数，，且与图像的交点为，，，，则A.B.C.D.12．设方程的两个根分别为，则A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共72分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数的单调增区间为．14．已知幂函数的图象过点，则这个函数的解析式是．15．函数的零点大于的有个．16．在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的重心，分别为侧棱的中点，有下列结论：①∥平面；②平面∥平面；③；④直线与直线所成角的大小为．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：解答应写出详细的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在三棱柱中，底面，，，，是棱上一点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若、分别是、的中点，求证：平面．-8-18．（本小题满分10分）已知函数．（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明；（Ⅱ）利用函数单调性的定义证明：是其定义域上的增函数．19．（本小题满分10分）在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）证明：平面．20．（本小题满分10分）已知函数为偶函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程有且只有一个根，求实数的取值范围．21．（本小题满分12分）已知为奇函数，为偶函数，且．-8-（Ⅰ）求及的解析式及定义域；（Ⅱ）如函数在区间上为单调函数，求实数的范围；（Ⅲ）若关于的方程有解，求实数的取值范围．-8-2022—2022学年度上学期质量监测高一数学参考答案及评分标准1．C2．B3．D4．A5．B6．C7．D8．B9．C10．A11．D12．B13．14．15．16．①②③17．解析：（Ⅰ）∵平面，平面，∴．（1分）∵，，∴中，，∴．（3分）∵，∴面．∵面，∴．（5分）（Ⅱ）连接交于点．∵四边形是平行四边形，∴是的中点．又∵，分别是，的中点，∴，（7分）且，∴四边形是平行四边形，（8分）∴．又平面，面，∴平面．（10分）18．解析：（Ⅰ）∵为奇函数且的定义域为，（1分），（3分）∴为奇函数．（4分）（Ⅱ）任取、，且，（5分）（6分）．（7分）,又，（8分）-8-．（9分）在其定义域上是增函数．（10分）19．解析：（Ⅰ）证明：∵在矩形中，，（1分）平面，（2分）平面，∴平面．（3分）（Ⅱ）∵在等腰中，是边中点，∴，（4分）又∵，平面，（5分）∴，（6分），，平面，∴平面，（7分）平面，∴，（8分）∵点，（9分）、平面，∴平面．（10分）20．解析：（Ⅰ）由题意得，即．（1分）化简得，（2分）从而，（3分）此式在恒成立，∴．（4分）（Ⅱ）依题意知：，-8-．（5分）令，则式变为．只需其有一个正根即可满足题意．①当时，，不符合题意，舍去．（6分）②若式有一正一负根，令，，经验证满足，所以．（8分）③若式有两相等实根，则，当时，则，此时方程无正根，故舍去．当时，则，且，所以．（9分）综上所述：或．（10分）21．解析：（Ⅰ）因为是奇函数，是偶函数，所以，，因为①（1分）令取代入上式得，即②（2分）联立①②可得，，（3分）．（4分）（Ⅱ）因为，所以，（5分）因为函数在区间上为单调函数，所以或，（6分）所以所求实数的取值范围为：或．（7分）-8-（Ⅲ）因为，所以，（8分）设，则，（9分）因为的定义域为，，所以，，，．（10分）即，则，（11分）因为关于的方程有解，则，故的取值范围为．（12分）-8-
