吉林省实验中学2022届高三数学上学期第三次模拟考试试题理一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）复数的共轭复数为（A）（B）（C）（D）（2）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（A）对任意x∈R，都有x2＜0（B）不存在x∈R，使得x2＜0（C）存在x0∈R，使得x≥0（D）存在x0∈R，使得x＜0（3）已知函数为奇函数，且当时，，则（A）（B）0（C）1（D）2（4）设等比数列中，前n项和为，已知，，则（A）（B）（C）（D）（5）已知向量，，且，则的值为（A）1（B）2（C）（D）3y=x311Oxy（6）如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到阴影区域内的概率是（A）（B）（C）（D）（7）设为平面，为直线，则的一个充分条件是（A）（B）（C）（D）（8）过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线方程是（A）y2＝4x（B）y2＝2x（C）y2＝8x（D）y2＝6x（9）已知两个实数，满足．-10-\n命题；命题，则下列命题正确的是（A）p真q假（B）p假q真（C）p真q真（D）p假q假（10）已知分别是矩形的边与的中点，且，现沿将平面折起，使平面⊥平面，则三棱锥外接球的体积为（A）（B）（C）（D）（11）若函数在区间是减函数，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（12）设双曲线的右焦点为F，过点F作x轴的垂线l交两条渐近线于A、B两点，l与双曲线的一个交点为P，设O为坐标原点，若，且，则该双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_______（结果用最简分数表示）．（14）在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为（结果用数字表示）．（15）已知函数f(x)＝|x－3|＋1，g(x)＝ax．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数的取值范围是．（16）设等差数列的前n项和为，且满足，，则，，，（）中最大的项是．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）-10-\n已知，其中，，．（Ⅰ）求的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且向量与共线，求边长b和c的值．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，ABCDPEFAD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（Ⅰ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；（Ⅱ）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小是45°？（19）（本小题满分12分）现有6名学生，按下列要求回答问题（列出算式，并计算出结果）：（Ⅰ）6人站成一排，甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数；（Ⅱ）6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；（Ⅲ）把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数；（Ⅳ）6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率．（20）（本小题满分12分）如图所示，抛物线C1：x2＝4y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭圆C2：相交于C，D两点．（Ⅰ）求抛物线C1的焦点F与椭圆C2的左焦点F1的距离；xyPOBDAC（Ⅱ）设点P到直线AB的距离为d，是否存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．-10-\n（21）（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）设，是曲线的一条切线，证明：曲线上的任意一点都不可能在直线的上方；（Ⅲ）求证：（其中e为自然对数的底数，n∈N*）．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲FBCADE已知△ABC中，，D为△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρcos2θ＝4sinθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|＝8，求α的值．-10-\n（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若对任意恒成立，求a的取值范围．-10-\n（Ⅱ）∵，∴，又，∴，即，∵，由余弦定理得．因为向量与共线，所以，由正弦定理得，∴．（18）解：（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，则．设，则，所以，即无论点E在边BC的何处，都有．（Ⅱ）设，平面PDE的法向量为，由得而，依题意得PA与平面PDE所成的角为45°，所以，即，解得或（舍）-10-\n（19）解：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）-10-\n于是点P(2k，－1)到直线AB：kx－y＋1＝0的距离d＝＝2.由得(1＋2k2)x2＋4kx－2＝0，从而|CD|＝＝，同理，|AB|＝4(1＋k2)．若|AB|，d，|CD|成等比数列，则d2＝|AB|·|CD|，即(2)2＝4(1＋k2)·，化简整理，得28k4＋36k2＋7＝0，此方程无实根，所以不存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列．（21）解：（Ⅰ）的定义域为，，令，得．当时，，∴在上是增函数，当时，，∴在上是减函数，故在处取得最大值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，-10-\n设是曲线上的一点，则在点M处的切线方程为，即，令则，∵，在上是减函数，∴在处取得最大值，即恒成立，故曲线上的任意一点不可能在直线l的上方．（Ⅲ）由（Ⅰ）知在上恒成立，当且仅当时，等号成立，故当且时，有，又因为，所以所以．-10-\n∴，∴，则或．（24）解：（Ⅰ）当时，不等式为，所以或或，解得或，故不等式的解集为{x|x≤0，或x≥5}．（Ⅱ）因为（当时等号成立），所以，由题意得，解得或．-10-
