北京市清华附中高一期末数学试卷（理科）

2022-2022学年北京市清华附中高一（下）期末数学试卷（理科）　一、选择题1．已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，则集合（∁UA）∪B=（　　）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}2．x2＞0是x＞0的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件3．在等比数列{an}中，a2=6，a3=﹣18，则a1+a2+a3+a4=（　　）A．26B．40C．54D．804．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn．若a1=d=1，则的最小值为（　　）A．10B．C．D．+25．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（　　）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．已知平面向量，满足||==2，（+2）•（﹣）=﹣6，则与的夹角为（　　）A．B．C．D．7．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1对，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（　　）A．0B．0或C．0或D．或8．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（　　）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=ACD．AC=BC　二、填空题9．已知两点A（1，1），B（﹣1，2），若=，则C点坐标是______．10．在等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则此数列的前13项之和等于______．11．设函数，则实数a的取值范围是______．14/1512．若正数a，b满足a+b=10，则+的最大值为______．13．在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=ex的图象与y轴的交点为B，P为函数y=ex图象上的任意一点，则的最小值______．14．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点都在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的所有取值的集合为______．　三、解答题.15．已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．16．已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）若函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，求正数m的最小值．17．如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．（1）若点A的坐标为，求cos∠BOC的值；（2）若∠AOC=x（0＜x＜），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值．18．已知函数f（x）=（x2+ax+a）e﹣x，其中a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在m，n∈（2，3），且m≠n，使得f（m）=f（n），求实数a的取值范围．19．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R．（1）当a=0时，求证：f（x）＜x，对任意的x∈（0，+∞）成立；（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（3）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．20．设集合S={x|x=，k∈N*}．（1）请写出S的一个4元素，使得子集中的4个元素恰好构成等差数列；（2）若无穷递减等比数列{an}中的每一项都在S中，且公比为q，求证：q∈（0，）；14/15（3）设正整数n＞1，若S的n元子集A满足：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥，求证：n≤15．　14/152022-2022学年北京市清华附中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题1．已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，则集合（∁UA）∪B=（　　）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与并集的定义，进行计算即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，A={1，3，4}，B={2，4}，∴∁UA={2}，∴（∁UA）∪B={2，4}．故选：D．　2．x2＞0是x＞0的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据x2＞0，得到x的范围和x＞0比较即可．【解答】解：由x2＞0得到：x≠0，而x≠0推不出x＞0，不是充分条件，由x＞0能推出x≠0，是必要条件，∴x2＞0是x＞0的必要不充分条件，故选：B．　3．在等比数列{an}中，a2=6，a3=﹣18，则a1+a2+a3+a4=（　　）A．26B．40C．54D．80【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列{an}中，a2=6，a3=﹣18，求得数列的首项与公比，即可求和．【解答】解：∵等比数列{an}中，a2=6，a3=﹣18，∴=﹣3，=﹣2∴a1+a2+a3+a4=﹣2+6﹣18+54=40故选B．　4．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn．若a1=d=1，则的最小值为（　　）14/15A．10B．C．D．+2【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知条件推导出==，由此利用均值定理取最小值．【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn．a1=d=1，∴==1++=≥+=，当且仅当，即n=4时，取最小值．故选：B．　5．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（　　）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．　6．已知平面向量，满足||==2，（+2）•（﹣）=﹣6，则与的夹角为（　　）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．14/15【分析】根据条件进行向量数量积的运算即可得出，从而可求出的值，进而便可得出向量的夹角．【解答】解：；∴===﹣6；∴；∵；∴．故选：C．　7．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1对，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（　　）A．0B．0或C．0或D．或【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】由题意可得函数的图象，属性结合可得当直线为图中的m，或n是满足题意，求出其对应的a值即可．【解答】解：由对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）可知，函数的周期为T=2，结合函数为偶函数，且当0≤x≤1对，f（x）=x2可作出函数y=f（x）和直线y=x+a的图象，当直线为图中的直线m，n时，满足题意，易知当直线为m时，过原点，a=0，当直线为n时，直线与曲线相切，联立，消y可得x2﹣x﹣a=0，14/15由△=1+4a=0可得a=，故a的值为0，或，故选C　8．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（　　）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=ACD．AC=BC【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC．【解答】解：设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，=||•||=||2﹣（a+1）||，•=﹣a，于是•≥••恒成立，整理得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC．故选：D．　二、填空题9．已知两点A（1，1），B（﹣1，2），若=，则C点坐标是　　．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算即可得出．【解答】解：∵=，14/15∴===．故答案为：．　10．在等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则此数列的前13项之和等于　26　．【考点】数列的函数特性．【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．【解答】解：等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，∴6a4+6a10=24，∴2a7=4，即a7=2．则此数列的前13项之和S13==13a7=26．故答案为：26．　11．设函数，则实数a的取值范围是　﹣3＜a＜1　．【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的单调性与特殊点．【分析】由于函数为分段函数，可分别讨论当a≥0和a＜0两种情况，进而求出实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）为分段函数，当a≥0时，＜1，得0≤a＜1．当a＜0时，＜1，解得a＞﹣3，即﹣3＜a＜0，故答案为：﹣3＜a＜1．　12．若正数a，b满足a+b=10，则+的最大值为　　．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】对无理数可以先求平方，再利用均值定理求出最值，最后得出原表达式的最大值．【解答】解：正数a，b满足a+b=10，令y=+，则y2=a+2+b+3+2，∵a+b=10，14/15∴15=a+2+b+3≥2（当a+2=b+3时等号成立），∴y2≤30，∴+的最大值为．故答案为：．　13．在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=ex的图象与y轴的交点为B，P为函数y=ex图象上的任意一点，则的最小值　1　．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得向量的坐标，进而可得=﹣x0+，构造函数g（x）=﹣x+ex，通过求导数可得其极值，进而可得函数的最小值，进而可得答案．【解答】解：由题意可知A（1，0），B（0，1），故=（0，1）﹣（1，0）=（﹣1，1），设P（x0，），所以=（x0，），故=﹣x0+，构造函数g（x）=﹣x+ex，则g′（x）=﹣1+ex，令其等于0可得x=0，且当x＜0时，g′（x）＜0，当x＞0时，g′（x）＞0，故函数g（x）在x=0处取到极小值，故gmin（x）=g（0）=1，故的最小值为：1故答案为：1　14．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点都在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的所有取值的集合为　{ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．　．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的值，从而得出结论．【解答】解：若三个点都在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=1，sinω•=0，则，即，14/15求得正数ω的所有取值的集合为：{ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．故答案为：{ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．　三、解答题.15．已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得d===3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）．∴数列{an}的通项公式为：an=3n；设等比数列{bn﹣an}的公比为q，由题意得：q3===8，解得q=2．∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1．从而bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∴数列{bn}的通项公式为：bn=3n+2n﹣1；（2）由（1）知bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1．∴数列{bn}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．　16．已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）若函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，求正数m的最小值．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）根据二倍角及辅助角公式求得f（x）的解析式，利用周期公式即可求得f（x）的最小正周期；（2）令2kπ+≤2x+≤2kπ+，函数f（x）单调递减，解得f（x）的单调递减区间；14/15（3）根据正弦函数图象，f（x）=0，sin（2x+）=0，解得2x+=kπ，（k∈Z），当k=10，为f（x）的第10个零点，求得m的最小值．【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx+cos2x﹣．=sin2x+cos2x+﹣，=sin（2x+）最小正周期T===π，f（x）的最小正周期π；（2）令2kπ+≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），解得：kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），∴函数的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（3）函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，由正弦函数周期性，可知：f（x）=0，sin（2x+）=0，解得：2x+=kπ，（k∈Z），∴x=﹣，∴当k=10，x=，正数m的最小值．　17．如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．（1）若点A的坐标为，求cos∠BOC的值；（2）若∠AOC=x（0＜x＜），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值．14/15【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值；平面直角坐标系与曲线方程．【分析】（1）根据△ABO为正三角形求得∠BOA，利用点A的坐标求得sin∠AOC和cos∠AOC，进而利用两角和公式求得cos∠BOC．（2）利用余弦定理分别求得AC和BD，进而根据△ABO为正三角形求得AB，CD可知，四边相加得到y的函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用x的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值．【解答】解：（1）∵△ABO为正三角形，∴∠BOA=60°，∵点A的坐标为，∴tan∠AOC=，∴sin∠AOC=，cos∠AOC=，∴cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°﹣sin∠AOCsin60°=．（2）由余弦定理可知AC==2sin，BD==2sin（﹣），AB=OB=1，CD=2，∴===，0＜x＜∴当x=时，ymax=5．　18．已知函数f（x）=（x2+ax+a）e﹣x，其中a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在m，n∈（2，3），且m≠n，使得f（m）=f（n），求实数a的取值范围．14/15【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）结合（1）得到f（x）在（0，2﹣a）递增，在（2﹣a，+∞）递减，满足条件，从而得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵f（x）=（x2+ax+a）e﹣x，∴f′（x）=﹣，①a﹣2＞0即a＞2时，2﹣a＜0，令f′（x）＞0，解得：2﹣a＜x＜0，令f′（x）＜0，x＞0或x＜2﹣a，∴f（x）在（﹣∞，2﹣a）递减，在（2﹣a，0）递增，在（0，+∞）递减；②a﹣2=0即a=2时，f′（x）=﹣＜0，f（x）在R递减；③a﹣2＜0即a＜2时，2﹣a＞0，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2﹣a，令f′（x）＜0，x＞2﹣a或x＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，2﹣a，）递增，在（2﹣a，+∞）递减；（2）由（1）得：2＜2﹣a＜3，解得：﹣1＜a＜0．　19．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R．（1）当a=0时，求证：f（x）＜x，对任意的x∈（0，+∞）成立；（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（3）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出f（x）的表达式，令g（x）=ln（x+1）﹣x，根据函数的单调性求出g（x）＜g（0）=0，从而证出结论；（2）求出f（x）的导数，令g（x）=2ax2+ax﹣a+1，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出函数的极值的个数；（3）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出满足题意的a的范围即可．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=ln（x+1），定义域是（﹣1，+∞），令g（x）=ln（x+1）﹣x，g′（x）=﹣1=﹣＜0，∴g（x）在（0，+∞）递减，∴g（x）＜g（0）=0，故f（x）＜x，对任意的x∈（0，+∞）成立；（2）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．f′（x）=，令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（i）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．14/15（ii）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当0＜a≤时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a＞时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=﹣，∴x1＜﹣，x2＞﹣．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1＜﹣，∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（iii）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a≤时，函数f（x）无极值点；当a＞时，函数f（x）有两个极值点．（3）由（2）可知：①当0≤a≤时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．②当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．③当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；④当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，14/15当x＞1﹣时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．综上所述，a的取值范围为[0，1]．　20．设集合S={x|x=，k∈N*}．（1）请写出S的一个4元素，使得子集中的4个元素恰好构成等差数列；（2）若无穷递减等比数列{an}中的每一项都在S中，且公比为q，求证：q∈（0，）；（3）设正整数n＞1，若S的n元子集A满足：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥，求证：n≤15．【考点】数列的应用．【分析】（1）由题设，一个4元素恰好构成等差数列；4个元素通分后具有分母相同，分子成等差关系的特点．（2）由题设，公比为q，q是有理数，设，（a，b互质），构造无穷递减等比数列证明．（3）在（0，）∪S中，对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥，满足条件有7个数．在（，1）∪S中，最多有1，，，…，满足条件有8个数，即可得到答案．【解答】解：（1）S的一个4元素恰好构成等差数列，S={}（2）由题意，数列{an}是无穷递减等比数列，q是有理数，设，（a，b互质），∴为S中的数（k∈N*），则b必为1；∴，（a∈N+），∴q∈（0，]；（3）证明：在（0，）∪S中，对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥，∴在（0，）∪S中的元素个数不超过．最多有7个数．在（，1）∪S中，满足条件有1，，，…，最多8个数，∴7+8≤15，即n≤15．得证．　14/15