大兴区2022~2022学年高三期末检测数学（理科）一、选择题，共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则等于（A）（B）（C）（D）（2）如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则等于（A） （B）（C）（D）（3）在中，，，，则A等于（A）（B）（C）（D）或（4）下列函数中，既是偶函数，又在上是单调减函数的是（A）（B）（C）（D）（5）已知等比数列，则“”是“为递增数列”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（6）已知直线平面，直线平面，有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.以上命题中，正确命题的序号是（A）①②（B）①③-12-\n（C）②④（D）③④（7）已知不等式组表示的平面区域为D，若函数的图像上存在区域D上的点，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（8）已知集合，集合，若，则不同集合A的个数是（A）12（B）27（C）42（D）63二、填空题，共6小题，每小题5分，共30分。（9）若函数，则______．（10）已知向量，，则向量在向量方向上的投影是 ．（11）已知数列为等差数列，若，，则的前项和_____．（12）已知圆：，在圆周上随机取一点P，则P到直线的距离大于的概率为．（13）在中，，，，，设，则的取值范围是．（14）设抛物线，双曲线的焦点均在轴上，的顶点与的中心均为原点，从每条曲线上至少取一个点，将其坐标记录于下表中：1-12-\n则的方程是；的方程是．三、解答题，共6小题，共80分。（15）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调减区间；（Ⅱ）若，，求的值.（16）2022年5月，北京市提出地铁分段计价的相关意见，针对“你能接受的最高票价是多少？”这个问题，在某地铁站口随机对50人进行调查，调查数据的频率分布直方图及被调查者中35岁以下的人数与统计结果如下：（Ⅰ）根据频率分布直方图,求a的值，并估计众数，说明此众数的实际意义；（Ⅱ）从“能接受的最高票价”落在[8，10)，[10，12]的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中35岁以上（含35岁）的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．最高票价35岁以下人数[2，4)2[4，6)8[6，8)12[8，10)5[10，12]3频率组距0.2a0.060.06120.04210864最高票价(元)（17）在如图所示的几何体中，四边形是正方形,,,且,,.（Ⅰ）若与交于点,求证:；（Ⅱ）求证：；-12-\n（Ⅲ）求二面角的余弦值.（18）已知.（Ⅰ）若，求在处的切线方程；（Ⅱ）确定函数的单调区间，并指出函数是否存在最大值或最小值．（19）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过原点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交椭圆于点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：为定值，并求面积的最小值．（20）已知，函数的零点从小到大依次为，.（Ⅰ）若（），试写出所有的值；（Ⅱ）若，，，求证：；（Ⅲ）若，，，试把数列的前项及按从小到大的顺序排列。（只要求写出结果）.理科参考答案与评分标准-12-\n一、选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案ACBDCBDD二、填空题（每小题5分，共30分）（9）（10）（11）（12）（13）（14）；（第一个空3分，第二个空2分）三、解答题（共80分）（15）（本题满分13分）解：（Ⅰ）………..4分所以，………..6分由………..7分化简得所以，函数的单调递减区间为………..9分（Ⅱ）因为，所以-12-\n即………..2分又因为所以………..3分则，………..4分(16)（本题满分13分）（Ⅰ）由题意得：…………2分由频率分布直方图估计众数为7，…………3分说明在被调查的50人中，能接受最高票价为7元的人数比能接受最高票价为其他值得人数多。………4分（Ⅱ）由题意知，50名被调查者中：选择最高票价在[8，10)的人数为人。选择最高票价在[10，12]的人数为人…………2分故X的可能取值为0，1，2，………3分………6分所以，的分布列为：012……9分-12-\n（17）（本题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，取中点，连，，在中，因为分别是的中点，所以，且，又由已知得，，且，所以，所以四边形是平行四边形，所以………3分又，所以………4分（Ⅱ）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系则，，，，………2分所以，，所以，且所以，；………4分又，所以………5分（Ⅲ）设平面的法向量为由（Ⅱ）知，所以，令，得………2分-12-\n又平面的法向量为………3分设二面角的大小为，是锐角则所以二面角的余弦值为………5分（18）（本题满分13分）（Ⅰ）当时，，…………2分，…………3分所以直线方程为，即…………4分（Ⅱ）=其中，…………2分令，得当，即时，小于0等于0大于0小于0递减极小值递增递减-12-\n的增区间是，减区间是和，当时，取得极小值。又时，，所以有最小值；…………6分当时，的减区间是和，无最大值和最小值。…………7分3）当时，的增区间是，减区间是和，当时，取得极大值。又时，，所以有最大值。…………9分（19）（本题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，因为，所以，………2分所以所以椭圆的方程为………4分（Ⅱ）当直线垂直于坐标轴时，易得，的面积…1分当直线与坐标轴不垂直时，设直线的方程为，则由消元得，-12-\n所以，………3分所以………4分又是线段的垂直平分线，故方程为，同理可得………5分从而为定值。…7分方法一：由，所以，当且仅当时，即，时，等号成立，所以的面积。………9分所以，当时，的面积有最小值。………10分方法二：的面积所以9………9分所以，当且仅当时，即时，的面积有最小值。………10分（20）（本题满分13分）解：（Ⅰ），，，，-12-\n所以…………3分（Ⅱ），在上单调递增，当时，，…………1分由（Ⅰ）知，，，即…………2分所以①下面用数学归纳法证明由式①知，，所以，即，所以，当时，命题成立假设时命题成立，即②当时，由式②得即当时，命题也成立，所以…7分（Ⅲ），在R上单调递减，由于，所以，即，可推出，即进而可得，-12-\n即，又可得即，所以用数学归纳法易证…………3分-12-
