北京市东城区（南片）2022－2022学年下学期高一期末考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.直线l经过原点和点(－，1)，则它的斜率为A.－B.C.D.2.不等式2x－x－1>0的解集是A.(，1)B.(1，+∞)C.(－∞，1)∪(2，+∞)D.(－∞，)∪(1，+∞)3.在ΔABC中，已知D是AB边上一点，，则实数λ=A.－B.－C.D.4.已知点A(1，1，1)，点B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为A.4B.2C.4D.35.A.－B.－C.D.6.直线l：y=kx－3k与圆C：x+y－4x=0的位置关系是A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能7.已知等比数列{a}的公比为正数，且a·a=2a，a=1，则a=A.B.C.D.28.设，则sin2θ=A.－B.－C.D.7\n9.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则A.8B.4C.2D.110.设a，b为正实数，下列结论正确的是①若a－b=1，则a－b<1；②若，则a－b<1；③若，则|a－b|<1；④若|a－b|=1，则|a－b|<1.A.①②B.②④C.①③D.①④二、填空题共6小题，每小题3分，共18分．11.过点(－3，－1)，且与直线x－2y=0平行的直线方程为________．12.若x>0，则函数的最小值是________．13.已知{a}为等差数列，S为其前n项和，若a=，a+a+a，则S=________．14.过点(－1，6)与圆x+y+6x－4y+9=0相切的直线方程是________．15.等比数列｛a}中，a+a=5，a+a=4，则a+a=________．16.已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．三、解答题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.(本小题共9分)已知向量a=(1，2)，b=(－2，m)，m∈R．(Ⅰ)若a∥b，求m的值；(Ⅱ)若a⊥b，求m的值．18.(本小题共9分)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．求该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润．7\n19.(本小题共9分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)求的最大值，并求取得最大值时角A的大小．20.(本小题共9分)已知O为平面直角坐标系的原点，过点M(－2，0)的直线l与圆x+y=1交于P、Q两点，且(Ⅰ)求∠PDQ的大小；(Ⅱ)求直线l的方程．21.(本小题共8分)已知数列{a}的前n项和为S，且S=－n+20n，n∈N．(Ⅰ)求通项a；(Ⅱ)设{b－a}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b}的通项公式及其前n项和T．22.(本小题共8分)在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x－6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．7\n参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.1.B2.D3.D4.A5.C6.A7.B8.A9.C10.D二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.11.x－2y+1=012.213.14.3x－4y+27=0或x=－1.15.16.三、解答题：本大题共6小题，共52分.17.(共9分)解(Ⅰ)因为a∥b，所以1·m－2(－2)=0，m=－4.……………………………5分(Ⅱ)因为a⊥b，所以a·b=0，所以1·(－2)+2m=0，m=1.…………………………………9分18.(共9分)解：设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元/天，则由已知，得z=300x+400y．且画可行域如图所示，目标函数z=300x+400y可变形为7\n解方程组得，即A(4，4).所以，Z=1200+1600=2800.所以，该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润为2800元.………9分19.(共9分)解：(Ⅰ)由正弦定理得．因为0<A<π，0<C<π．所以sinA>0.从而sinC=cosC.又cosC≠0，所以tanC=1，则．…………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知B=－A.于是===因为0<A<，所以，所以当，即A=时，取最大值2.综上所述，的最大值为2，此时A=．………………………9分20.(共分)解：(Ⅰ)因为P、Q两点在圆x+y=1上，所以，因为，所以．所以∠POQ=120°．…………………………………………………………………………5分(Ⅱ)依题意，直线l的斜率存在，因为直线l过点M(－2，0)，可设直线l：y=k(x+2)．7\n由(Ⅰ)可知O到直线l的距离等于．7\n7
