内蒙古包头市第四中学2022-2022学年高二数学下学期期中试题理第I卷（选择题）一、选择题（每题5分共60分每小题只有一个正确选项）1．已知空间向量，且，则（）A．B.C.D.2．已知为空间两两垂直的单位向量，且，则()A．－15B．－5C．－3D．－13设为正整数,，经计算得观察上述结果，可推测出一般结论()A．B．C．D．以上都不对4．如上图，第个图形是由正边形“扩展”而来，（），则在第个图形中共有（）个顶点.A．B．C．D．5．设函数的导函数，则数列的前n项和是（）A．B．C．D．6．如图所示的是函数的大致图象，则等于（）A．B．CD．7．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）-8-\nA．B．C．D．8．函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．9．函数的最大值为（）ABCD10．一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．米/秒11．等于（）A．B.2C.-2D.+212．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为( )．A.a B.aC．aD.a-8-\n第II卷（非选择题）二、填空题（本题4道小题，每题5分共20分）13．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于．14．已知类比这些等式，若（a，b均为正实数），则______.15．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是．16．函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是_______.三、解答题（本题6道小题，共70分）17．（本小题满分12分）已知空间向量（1）求及的值；（2）设函数的最小正周期及取得最大值时x的值。18．（本题满分12分）-8-\n如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为中点，试用空间向量知识解下列问题：（1）求证面；（2）求二面角的余弦值。19．（本题满分12分）已知函数的图像与函数的图象相切，记（1）求实数b的值及函数F（x）的极值（2）若关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围。20．（本题满分12分）已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间(2)若对，不等式恒成立，求c的取值范围21（本题满分12分）．设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围。22．（本题满分10分）设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤(2).参考答案1．C2．A.3．C4．B5．A；6．C;7．A；8．C；9．A10．C11．D12．B13．214．15．16．5，-15-8-\n17．【解析】（1）∵∴①……………………2分∴∴②……………………4分联立①，②解得：……………………6分（2）……………………10分∴……………………11分当此时18【解析】取BC中点O，连AO，∵为正三角形，∴，∵在正三棱柱中，平面ABC平面,∴平面，取中点为,以O为原点，,,的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.∴-8-\n,∵,。∴，,∴面。……6分（2）设平面的法向量为,。，∴，∴，，令，得为平面的一个法向量，由（1）知面，∴为平面的法向量，，∴二面角的余弦值为。…………12分19．⑴极大值，极小值0，⑵（0，）【解析】（1）依题意，令，得列表如下：－1+0－0+↗极大值↘极小值0↗从上表可知处取得极小值0．-8-\n…………………6分（2）由（1）可知函数作函数的图象，当的图象与函数的图象有三个交点时，关于x的方程……………12分20．【解析】（1）由，得，函数的单调区间如下表：极大值¯极小值所以函数的递增区间是与,递减区间是；（2），当时，为极大值，而，则为最大值，要使恒成立，则只需要，得21．（1）或（2）或【解析】（1）当时，不等式为，所以或或，解得或．4分-8-\n故不等式的解集为或．5分．（2）因为（当时等号成立），8分所以．由题意得，解得或．10分22．【解析】(1)由得.由题设得,即.所以3(ab+bc+ca)≤1,即.(2)因为+b≥2a,+c≥2b，+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即≥a+b+c，所以.-8-
