2022届高三第四次模拟考试数学（理科）一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，m∈R，复数z=（﹣m2+2m+8）+（m2﹣8m）i，若z为负实数，则m的取值集合为（ ）A．{0}B．{8}C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）2．（5分）已知集合，集合B={y|y=1﹣x2}，则集合{x|x∈A∪B且x∉A∩B}为（ ）A．[﹣2，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪[1，2）D．（﹣∞，﹣2]∪（1，2）3．（5分）在（x﹣2）6展开式中，二项式系数的最大值为a，含x5项的系数为b，则=（ ）A．B．C．D．4．（5分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，且|AB|=8，M为抛物线C准线上一点，则△ABM的面积为（ ）A．16B．18C．24D．325．（5分）给出下列四个命题：①“若x0为y=f（x）的极值点，则f′（x0）=0”的逆命题为真命题；②“平面向量，的夹角是钝角”的充分不必要条件是③若命题，则；④命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”．其中不正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4-20-6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为（ ）A．B．C．D．7．（5分）若执行如图所示的程序框图，输出S的值为4，则判断框中应填入的条件是（ ）A．k＜18B．k＜17C．k＜16D．k＜158．（5分）已知，，则（ ）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A．136πB．144πC．36πD．34π10．（5分）若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2022”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2022的“完美四位数”有（ ）个．-20-A．53B．59C．66D．7111．（5分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且双曲线C2的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，，则双曲线C2的实轴长为（ ）A．4B．C．8D．12．（5分）已知定义在（﹣∞，4]上的函数f（x）与其导函数f'（x）满足（x﹣1）（x﹣4）[f'（x）﹣f（x）]＜0，若，则点（x，y）所在区域的面积为（ ）A．12B．6C．18D．9二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13．（5分）已知=（x，1），=（1，2），=（﹣1，5），若（+2）∥，则||= ．14．（5分）若正实数m，n满足，则log2（m+2n）的最小值为 ．15．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且a2=2，S5=15，数列{bn}满足，记集合，若M的子集个数为16，则实数λ的取值范围为 ．16．（5分）已知动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，且PA=r（0＜r＜），记点P的轨迹长度为f（r）给出以下四个命题：①f（1）=π;②f（）=π;③f（）=π;④函数f（r）在（0，1）上是增函数，f（r）在（，）上是减函数.其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．-20-17．（12分）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）求sin（+B）﹣2sin2的取值范围．18．（12分）继共享单车之后，又一种新型的出行方式——“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ”，每次租车收费按行驶里程加用车时间，标准是“1元/公里+0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：时间（分钟）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65]次数814882以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为[15，65]分钟．（Ⅰ）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设ξ是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求ξ的分布列和期望．（Ⅱ）若李先生每天上下班使用共享汽车2次，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）．-20-19．（12分）如图，多面体EF﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB=4，∠BAD=60°，AC，BD相交于O，EF∥AC，点E在平面ABCD上的射影恰好是线段AO的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACF；（Ⅱ）若直线AE与平面ABCD所成的角为45°，求平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值．20．（12分）如图所示，在△ABC中，AB的中点为O，且OA=1，点D在AB的延长线上，且．固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设动直线l交曲线Γ于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△OEF面积的取值范围．-20-21．（12分）已知函数，h（x）=ex﹣1．（Ⅰ）当x≥0时，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）当x＜0时，研究函数F（x）=h（x）﹣g（x）的零点个数；（Ⅲ）求证：（参考数据：ln1.1≈0.0953）． 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），定点P（1，1）．（Ⅰ）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l与圆C相交于A，B两点，求||PA|﹣|PB||的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣1|+|x+3|≤m的解集不是空集，记m的最小值为t．（Ⅰ）求t的值；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+3|＞|x﹣a|的解集包含[﹣1，0]，求实数a的取值范围． -20-【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵复数z=（﹣m2+2m+8）+（m2﹣8m）i，为负实数，则m2﹣8m=0且﹣m2+2m+8＜0，解得m=8，故选B．2．D【解析】∵集合={x|﹣2＜x＜2}，集合B={y|y=1﹣x2}={y|y≤1}，∴集合{x|x∈A∪B且x∉A∩B}=（﹣∞，﹣2]∪（1，2）．故选：D．3．B【解析】在（x﹣2）6展开式中，二项式系数的最大值为a，∴a==20．展开式中的通项公式：Tr+1=x6﹣r（﹣2）r，令6﹣r=5，可得r=1．∴含x5项的系数为b==﹣12，则==﹣．故选：B．4．A【解析】由题意，不妨设抛物线方程为y2=2px（p＞0）．则焦点F（，0），准线方程为x=﹣．在由题意可知|AB|=8即为抛物线的通径长等于8，即2p=8．所以p=4，由N为C的准线上一点，则M到AB所在直线的距离等于p=4．则△ABM的面积为=16．故选：A．5．C【解析】对于①，“若x0为y=f（x）的极值点，则f′（x0）=0”的逆命题为“若f′（x0-20-）=0，则x0为y=f（x）的极值点”不正确，比如f（x）=x3，f′（x）=3x2，f′（x0）=0，可得x0=0，不为极值点，故①错；对于②，“平面向量，的夹角是钝角”⇔“•＜0，且，不共线”，则“平面向量，的夹角是钝角”的必要不充分条件是，故②错；对于③，若命题，则，或x=1．故③错；对于④，命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”．故④正确．其中不正确的个数为3．故选：C．6．B【解析】由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{an}，a1=5（尺），S31=9×40+30=390（尺），设公差为d（尺），则31×5+d=390，解得d=．则==•=•=．故选：B．7．C【解析】根据程序框图，运行结果如下：Sk第一次循环log233第二次循环log23•log344第三次循环log23•log34•log455第四次循环log23•log34•log45•log566第五次循环log23•log34•log45•log56•log677第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log788第七次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78•log899-20-…第十三次循环log23•log34•log45•log56•…•log141515第十四次循环log23•log34•log45•log56••…•log1415•log1516=log216=416故如果输出S=4，那么只能进行十四次循环，故判断框内应填入的条件是k＜16．故选：C．8．A【解析】设y=2lnt﹣t2，令t=∈（1，2）则y′=＜0，∴y=2lnt﹣t2在（1，2）上是减函数，所以y=2ln﹣（）2在（1，2）上是减函数，∵＜＜，∴a＞b＞c．故选：A．9．D【解析】由三视图可知几何体为四棱锥E﹣ABCD，直观图如图所示：其中，BE⊥平面ABCD，BE=4，AB⊥AD，AB=，C到AB的距离为2，C到AD的距离为2，以A为原点，以AB，AD，及平面ABCD过A的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（0，，0），C（2，2，0），D（4，0，0），E（0，，4）．设外接球的球心为M（x，y，z），则MA=MB=MC=MD=ME，∴x2+y2+z2=x2+（y﹣）2+z2=（x﹣2）2+（y﹣2）2+z2=（x﹣4）2+y2+z2=x2+（y﹣）2+（z﹣4）2，-20-解得x=2，y=，z=2．∴外接球的半径r=MA==，∴外接球的表面积S=4πr2=34π．故选：D．10．D【解析】根据题意，四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况，则分5种情况讨论：①四个数字为0、1、3、6时，千位数字可以为3或6，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A33=6种情况，此时有2×6=12个“完美四位数”，②四个数字为0、1、4、5时，千位数字可以为4或5，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A33=6种情况，此时有2×6=12个“完美四位数”，③四个数字为0、1、2、7时，千位数字为7时，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A33=6种情况，千位数字为2时，有2071、2107、2170、2701、2710，共5种情况，此时有6+5=11个“完美四位数”，④四个数字为0、2、3、5时，千位数字可以为2或3或5，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A33=6种情况，此时有3×6=18个“完美四位数”，⑤四个数字为1、2、3、4时，千位数字可以为3或4或2，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A33=6种情况，此时有3×6=18个“完美四位数”，则一共有12+12+11+18+18=71个“完美四位数”，故选：D．-20-11．D【解析】双曲线中，a1=，c1==2，则离心率e===，即c=a，则b2=c2﹣a2=a2，得b=a，即=，设双曲线的渐近线为y=x，即bx﹣ay=0，则右焦点F2，∵OM⊥MF2，∴MF2==，则渐近线y=x=x，则渐近线的倾斜角∠MOF2=30°，∠OF2M=60°，则OF2=2MF2，即c=2b，则三角形的面积=OF2MF2sin60°=×b•2b•=b2，则b2=16，则a2=3b2=48，则a=4，则2a=，即双曲线C2的实轴长为，故选：D．12．A【解析】构造函数g（x）=，则g′（x）==，又（x﹣1）（x﹣4）[f'（x）﹣f（x）]＜0，当x＜1时，f'（x）﹣f（x）＜0，当1＜x＜4时，f'（x）﹣f（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在[1，4]上单调递增，-20-∵，∴f（|x|+|y|+1）＜f（|x|+|y|+2），同除以e|x|+|y|+1，∴＜，∴g（|x|+|y|+1）＜g（|x|+|y|+2），∵|x|+|y|+1≥1，|x|+|y|+2≥2，∴|x|+|y|+1＜|x|+|y|+2，即|x|＜1，∴|x|＜2，①又定义域限制∴|x|+|y|+1≤4，②|x|+|y|+2≤4，③，∴，画出如图所比表示的可行域，∴S阴影=2S梯形=2××（2+4）×2=12，故选：A二、填空题13．【解析】根据题意，=（x，1），=（1，2），=（﹣1，5），则+2=（x+2，5），-20-若（+2）∥，则有x+2=﹣1，解可得x=﹣3；即=（﹣3，1），则||==；故答案为：．14．2【解析】（x+）dx=xdx+dx=+×=2．∴=2（n，m＞0）．∴2≥，化为：mn≥2．当且仅当m=2n=2时取等号．∴log2（m+2n）≥=2．故答案为：2．15．＜λ≤1 【解析】设数列{an}的公差为d，∵等差数列{an|的前n项和为Sn，并且a2=2，S5=15，由题意得，解得，∴an=n，∴Sn=n+=．∵数列{bn}满足，集合，得=≥λ，n∈N*；令f（n）=，n∈N*，-20-则f（1）=1，f（2）=，f（3）=，f（4）=，f（5）=．下面研究数列f（n）=的单调性，∵f（n+1）﹣f（n）=﹣=，∴n≥3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减．∵M的子集个数为16，∴2n=16，解得n=4，∴集合M的元素个数为4；∴不等式≥λ，n∈N*解的个数为4，∴λ的取值范围是．故答案为：＜λ≤1．16．①④【解析】如图所示：①当0＜r≤1时，f（r）=3××r=r，f（）=，此时，由一次函数的单调性可得：0＜f（r）≤＜5，②当1＜r≤时，在平面ABCD内，设以点A为圆心，r为半径的圆弧与BC、CD分别交于点E、F，则cos∠DAF=，∠EAF=﹣2∠DAF，∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2=，cos∠EAG=，∴f（r）=3rarccos+3rarccos；③当＜r≤时，∵CM=，∴，-20-∴cos∠MAN==，∴f（r）=3rarccos，综上，当0＜r≤1时，f（r）=r，当1＜r≤时，f（r）=3rarccos+3rarccos；当＜r≤时，f（r）=3rarccos，故只有①④正确．故答案为：①④．三、解答题17．解：（Ⅰ）因为（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理有（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即有b2+c2﹣a2=bc由余弦定理得，又A为锐角，∴A=（Ⅱ）由题，=又在锐角△ABC中，有，所以，所以，∴的取值范围是.．-20-18．解：（Ⅰ）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率依题意ξ的值可能为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），，，，，，∴ξ的分布列为：ξ01234P（或）．（Ⅱ）每次用车路上平均花的时间（分钟）每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元．一个月的平均用车费用约为542元．19．解：（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD又菱形ABCD中，AC⊥BD且EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF内∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H为原点，如图所示建立空间直角坐标系H﹣xyz∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，即∠EAH=45°，又菱形ABCD的边长为4，则各点坐标分别为，E（0，0，）易知为平面ABCD的一个法向量，记=，=，=-20-∵EF∥AC，∴=设平面DEF的一个法向量为（注意：此处可以用替代）即=，令，则，∴∴平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为．20．解：（Ⅰ）依题意得AB=2，BD=1，设动圆M与边AC的延长线相切于T1，与边BC相切于T2，则AD=AT1，BD=BT2，CT1=CT2所以AD+BD=AT1+BT2=AC+CT1+BT2=AC+CT1+CT2=AC+BC=AB+2BD=4＞AB=2.所以点C轨迹Γ是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，且挖去长轴的两个顶点．则曲线Γ的方程为．（Ⅱ）由于曲线Γ要挖去长轴两个顶点，所以直线OE，OF斜率存在且不为0，所以可设直线由得，，同理可得：，；-20-所以，又OE⊥OF，所以令t=k2+1，则t＞1且k2=t﹣1，所以=又，所以，所以，所以，所以，所以△OEF面积的取值范围为．21．解：（Ⅰ）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0）则①若a≤1，则，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）递增，H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，满足，a≤1，a的取值范围（﹣∞，1]；②若a＞1，在[0，+∞）递增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a且1﹣a＜0，且x→+∞时，H'（x）→+∞，则∃x0∈（0，+∞）使H'（x0）=0进而H（x）在[0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，-20-所以当x∈（0，x0）时H（x）＜H（0）=0，即当x∈（0，x0）时，f（x）＞h（x），不满足题意，舍去；综合①，②知a的取值范围为（﹣∞，1]；（Ⅱ）依题意得，则F'（x）=ex﹣x2+a，则F''（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）递增，所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞时，F'（x）→﹣∞；①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，故F（x）在（﹣∞，0）递减，∴F（x）＞F（0）=0，F（x）在（﹣∞，0）无零点；②若1+a＞0，即a＞﹣1，则使，进而F（x）在递减，在递增，且x→﹣∞时，，F（x）在上有一个零点，在无零点，故F（x）在（﹣∞，0）有一个零点．综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a＞1时有一个公共点．（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，令，则即；由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，令，则，∴；故有．22．解：（Ⅰ）依题意得圆C的一般方程为（x﹣1）2+y2=4，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0，所以圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0．（Ⅱ）依题意得点P（1，1）在直线l上，-20-所以直线l的参数方程又可以表示为（t为参数），代入圆C的一般方程为（x﹣1）2+y2=4，得5t2﹣2t﹣3=0，设点A，B分别对应的参数为t1，t2，则，所以t1，t2异号，不妨设t1＞0，t2＜0，所以，所以．23．解：（Ⅰ）因为|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|=4，当且仅当﹣3≤x≤1时取等号，故m≥4，即t=4．（Ⅱ）x∈[﹣1，0]．则x﹣1＜0．x+3＞0．由已知得1﹣x+x+3＞|x﹣a|在x∈[﹣1，0]上恒成立，∴x﹣4＜a＜x+4在x∈[﹣1，0]上恒成立，∴﹣4＜a＜3．∴实数a的取值范围是（﹣4，3）.-20-
