上海市金山中学2022-2022学年高二上学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若线性方程组的增广矩阵为，则其对应的线性方程组是．2．直线，，则直线与的夹角为．3．若复数是虚数，则实数满足.4．一条直线的倾斜角的正弦值为，则此直线的斜率为．5．如图所示，程序框图输出的值为.6．若直线与直线平行，则实数．7．行列式所有可能的值中，最大的是．8．圆关于直线对称的圆的方程为．9．是实系数方程的两个虚根，且，则实数_______．10．已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为．11．若点分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比是．12．已知曲线与直线仅有一个公共点，则的取值范围是．-11-\n13．已知，则与的面积之比为．14．下列命题中，正确的是．①平面向量与的夹角为，，，则；②已知，是平面内两个非零向量，则平面内任一向量都可表示为，其中；③已知，，其中，则；④是所在平面上一定点，动点满足：，，则直线一定通过的内心．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．D．16．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（）A.无论如何，总是无解B.无论如何，总有唯一解C.存在，使之恰有两解D.存在，使之有无穷多解17．已知平面上两点和，若直线上存在点使，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是（）①；②；③；④．A．①③B．①②C．②③D．③④18．在边长为的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为-11-\n；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为．若分别为的最小值、最大值，其中，，则满足（）A．B．C．D．三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．已知．（1）求的值；（2）若，求的值．-11-\n20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．已知是复数，若为实数（为虚数单位），且为纯虚数．（1）求复数；（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．已知椭圆与双曲线共焦点，且过（1）求椭圆的标准方程；（2）求斜率为的椭圆的一组平行弦的中点轨迹方程．22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分7分.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点的坐标为．(1)求抛物线的标准方程；(2)若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率；(3)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为试求满足成等差数列的充要条件．[来源:Zxxk.Com]-11-\n23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分.已知圆经过第一象限，与轴相切于点，且圆上的点到轴的最大距离为，过点作直线．（1）求圆的标准方程；（2）当直线与圆相切时，求直线的方程；（3）当直线与圆相交于两点，且满足向量，，求的取值范围．-11-\n金山中学2022学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若线性方程组的增广矩阵为，则其对应的线性方程组是．2．直线，，则直线与的夹角为．3．若复数是虚数，则实数满足.且4．一条直线的倾斜角的正弦值为，则此直线的斜率为．5．如图所示，程序框图输出的值为.6．若直线与直线平行，则实数．7．行列式所有可能的值中，最大的是．8．圆关于直线对称的圆的方程为．9．是实系数方程的两个虚根，且，则实数_______．10．已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点，则-11-\n的最小值为．11．若点分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比是．12．已知曲线与直线仅有一个公共点，则的取值范围是．或13．已知，则与的面积之比为．14．下列命题中，正确的是．①③④①平面向量与的夹角为，，，则；②已知，是平面内两个非零向量，则平面内任一向量都可表示为，其中；③已知，，其中，则；④是所在平面上一定点，动点满足：，，则直线一定通过的内心．18．在边长为的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为-11-\n；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为．若分别为的最小值、最大值，其中，，则满足（）A．B．C．D．三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．已知．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）由，可得．∵，∴，4分∴.6分（2）由，可得，8分即，10分由（1）及,得，解得.12分20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．已知是复数，若为实数（为虚数单位），且为纯虚数．（1）求复数；（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围解：（1）设．1分由为实数，得，即．3分-11-\n由为纯虚数，得．5分∴．6分（2）∵，10分根据条件，可知12分解得，∴实数的取值范围是．14分∴平行弦得中点轨迹方程为：14分22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分7分.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点的坐标为．(1)求抛物线的标准方程；-11-\n(2)若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率；(3)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为试求满足成等差数列的充要条件．解：(1)（3分）(2)设,由,得（5分）由方程组,得得（7分）联立上述方程求得:．（9分）(3)设直线的方程为,代入,得:,设,则（11分）若，即有，即：由此得：，，（15分）所以当直线的方程为时，也就是成立的充要条件是直线与轴相垂直．（16分）23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分.已知圆经过第一象限，与轴相切于点，且圆上的点到轴的最大距离为-11-\n，过点作直线．（1）求圆的标准方程；（2）当直线与圆相切时，求直线的方程；（3）当直线与圆相交于两点，且满足向量，，求的取值范围．解：（1）因为圆经过第一象限，与轴相切于点，得知圆的圆心在的正半轴上；1分由圆上的点到轴的最大距离为2，得知圆的圆心为，，半径为2．2分所以圆的标准方程为．4分（2）设直线的方程为，即6分因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径得，或；8分所以，直线的方程为或．10分（3）由直线与圆相交于两点知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，点、，则直线的方程为，由得，12分即，，，14分由向量，得，由，，消去、得，即，，化简得．16分且，即．所以的取值范围是．18分-11-
