2022-2022学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．数1与9的等差中项是______．2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是______．3．行列式中元素8的代数余子式的值为______．4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=______．5．等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，an=9，则n=______．6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为______．7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为______．8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为______．9．关于x的方程=0的解为______．10．若无穷等比数列{an}的各项和为3，则首项a1的取值范围为______．11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是______．12．定义=（n∈N*）为向量=（xn，yn）到向量=（xn+1，yn+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=______． 二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13/1413．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3C．1+aD．114．下列命题正确的是（ ）A．若（an•bn）=a≠0，则an≠0且bn≠0B．若（an•bn）=0，则an=0或bn=0C．若无穷数列{an}有极限，且它的前n项和为Sn，则=a1+a2+…+anD．若无穷数列{an}有极限，则an=an+115．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）A．+=+B．+=+C．+=+D．+=+16．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（ ）①S7是所有Sn（n∈N*）中的最大值；②a7是所有an（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个B．2个C．3个D．4个 三、解答题17．已知，x，y的方程组．（1）求D，Dx，Dy；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．18．已知等比数列{an}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为Sn，且Tn=，求Tn的值．19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．13/1420．已知无穷等数列{an}中，首项a1=1000，公比q=，数列{bn}满足bn=（lga1+lga2+…+lgan）．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和的最大值．21．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围． 13/142022-2022学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．数1与9的等差中项是 5 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9，解之可得．【解答】解：解：设1与9两数的等差中项为a，则可得2a=1+9，解得a=5，故答案为：5． 2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是 ．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式∴故答案为 3．行列式中元素8的代数余子式的值为 ﹣1 ．【考点】三阶矩阵．【分析】由代数余子式的定义A12=﹣=﹣1即可求得答案．【解答】解：设A=，元素8的代数余子式A12=﹣=﹣1；13/14故答案为：﹣1． 4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量= （，）或（﹣，﹣） ．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用平面向量坐标运算公式求解．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，∴=（3，6）﹣（﹣1，3）=（4，3），∴向量的单位向量==±=±（，）．故答案为：（，）或（﹣，﹣）． 5．等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，an=9，则n= 6 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的通项公式先求出d，然后在利用等差数列的通项公式求解即可．【解答】解：等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，∴a3=﹣1+2d=3，∴d=2，∵an=9=﹣1+（n﹣1）×2，解得n=6，故答案为6． 6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由⊥，可得•=0，即可得出．【解答】解：∵⊥，∴•=（1+x）+2x=1+3x=0，解得x=，故答案为：﹣． 7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为 ﹣3 ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据向量关系作出平面图形，由线段长度比值可得出答案．13/14【解答】解：∵=﹣，∴P，P1，P2三点共线，且P2在线段P1P的反向延长线上，P2P1=P2P，∴=﹣3，故答案为：﹣3． 8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为 1320 ．【考点】程序框图．【分析】框图首先先给i赋值12，给s赋值1，然后判断判断框中的条件是否满足，满足则执行s=s×i，i=i﹣1，不满足则跳出循环输出s的值．【解答】解：框图首先给i赋值12，给s赋值1．判断12≥10成立，执行s=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10成立，执行s=12×11=132，i=11﹣1=10判断10≥10成立，执行s=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9≥10不成立，跳出循环，输出s的值为1320．故答案为：1320． 9．关于x的方程=0的解为 x=2或x=3 ．【考点】三阶矩阵．【分析】将行列式展开，整理得=x2﹣5x+6，由x2﹣5x+6=0，即可求得x的值．13/14【解答】解：=1×2×9+x×4×1+1×3×x2﹣2×1×x2﹣1×9×x﹣1×3×4=x2﹣5x+6，∴x2﹣5x+6=0，解得：x=2或x=3，故答案为：x=2或x=3． 10．若无穷等比数列{an}的各项和为3，则首项a1的取值范围为 （0，3）∪（3，6） ．【考点】数列的极限．【分析】依题意知|q|＜1且q≠0，由Sn==3⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a1的取值范围．【解答】解：设等比数列的公比为q，依题意知|q|＜1且q≠0，∴Sn=，∴Sn==3，可得q=1﹣∈（﹣1，1），即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，解得0＜a1＜3或3＜a1＜6．故答案为：（0，3）∪（3，6）． 11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是 [0，1] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时，•取得最小值；当点M位于边BC时，•取得最大值．即可得出．【解答】解：如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时，•取得最小值0；当点M位于边BC时，•取得最大值：1．∴•的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．13/14 12．定义=（n∈N*）为向量=（xn，yn）到向量=（xn+1，yn+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||= （）n﹣1 ．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意可知，分别求得||，代入求得=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），及||，进而求得，，，及||，||，||，即可求得||=（）n﹣1．【解答】解：由=，∴，当n=1，=（cosα，sinα），||=cos2α+sin2α=1=（）0，∴，=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），||===（），=2（﹣sinx，cosx），||==2=（）2，=2（﹣sinx﹣cosx，sinx﹣cosx），13/14||=2=2=（）3，=4（﹣sinx，﹣cosx），||=4=4=（）4，…∴||=（）n﹣1，故答案为：（）n﹣1． 二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3C．1+aD．1【考点】数学归纳法．【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”，在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：A． 14．下列命题正确的是（ ）A．若（an•bn）=a≠0，则an≠0且bn≠0B．若（an•bn）=0，则an=0或bn=0C．若无穷数列{an}有极限，且它的前n项和为Sn，则=a1+a2+…+anD．若无穷数列{an}有极限，则an=an+1【考点】数列的极限．【分析】对于A，可举an=n，bn=，由数列极限的公式即可判断；对于B，可举an=n，bn=，运用数列极限的公式即可判断；对于C，可举an=（）n﹣1，Sn=，求出极限即可判断；对于D，可举an=，求出极限，结合n，n+1趋向于无穷，即可判断．13/14【解答】解：对于A，若（an•bn）=a≠0，可举an=n，bn=，即有an不存在，=0，故A错；对于B，若（an•bn）=0，可举an=n，bn=，则an不存在，bn=0，故B错；对于C，若无穷数列{an}有极限，且它的前n项和为Sn，可举an=（）n﹣1，Sn=，即有an=0，Sn=2，显然=a1+a2+…+an不成立，故C错；对于D，若无穷数列{an}有极限，可举an=，=0，显然=0，故D正确．故选：D． 15．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（ ）A．+=+B．+=+C．+=+D．+=+【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．【解答】解：∵=，，∴，∴．故选：B． 16．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（ ）①S7是所有Sn（n∈N*）中的最大值；②a7是所有an（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】数列的函数特性．【分析】利用等差数列的性质求解．【解答】解：∵a7＞0，a8＜0，∴S7最大，故①正确；∵d＜0，∴a1最大，故②错误；由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0∴a8﹣a7=d＜0，故③正确；S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，故④正确．13/14故选：C． 三、解答题17．已知，x，y的方程组．（1）求D，Dx，Dy；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．【分析】（1）根据方程组得解法求得D=m﹣4，Dx=﹣2，Dy=m﹣2；（2）由线性方程组解得存在性，当丨A丨=0时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m的值；（3）由当≠0，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解．【解答】解：（1）=，D=m﹣4，Dx=﹣2，Dy=m﹣2（2）由A=，当丨A丨=0，即=m﹣4=0，解得：m=4，∴当m=4，方程组无解（3）当≠0，解得：m≠4，方程组有唯一解，由，①﹣4×②解得：y=，代入求得x=，∴方程的解集为：． 18．已知等比数列{an}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为Sn，且Tn=，求Tn的值．【考点】数列的极限．【分析】对q讨论，分q=1，0＜q＜1，运用等比数列的求和公式，以及数列极限的公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）当；（2）当，13/14由．综上得． 19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】（1）点P是直线OC上的一个动点．可设=（2x，x）．利用向量坐标运算、向量共线定理，即可得出．（2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出．【解答】解：（1）∵点P是直线OC上的一个动点．∴可设=（2x，x），==（1﹣2x，7﹣x），=﹣=（5﹣2x，1﹣x），∵∥，∴（1﹣2x）（1﹣x）﹣（7﹣x）（5﹣2x）=0，解得x=．∴=．（2），∴k=2时，•取的最小值﹣8，此时，∴． 20．已知无穷等数列{an}中，首项a1=1000，公比q=，数列{bn}满足bn=（lga1+lga2+…+lgan）．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和的最大值．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得an，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用等差数列的前n项和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）an=1000×=104﹣n，=，13/14∴lgan=4﹣n，∴．（2）设数列{bn}的前n项之和为Tn，则=﹣+，当n=6，7时，Tn取得最大值． 21．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题意列关于p，q的方程组，求解方程组得p，q的值；（2）把（1）中求得的p，q值代入Sn+1=pSn+q，取n=n﹣1得另一递推式，作差后可得数列{an}是等比数列，进一步得到通项公式；（3）求出数列{an}的前n项和，代入λ≥，构造函数，利用作差法判断函数单调性，由单调性求得实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意，得，即，解得；（2）由（1）知，，①当n≥2时，，②①﹣②，得（n≥2），又，∴数列{an}是首项为2，公比为的等比数列．∴{an}的通项公式为（n∈N*）；（3）由，得，13/14得，令，∵，∴f（n）为递增数列，且，∴f（3）≤λ＜f（4）即可，即． 13/14
