浦东新区2022学年度第二学期质量抽测高三数学试卷2022.4注意：1.答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1、已知集合，集合，则=____________.2、若直线的参数方程为，则直线在轴上的截距是___________.3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的侧面积为__________.4、抛物线的焦点到准线的距离为______2_______.5、已知关于的二元一次方程组的增广矩阵为，则=___5_______.6、若三个数的方差为，则的方差为9.7、已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是___0.98________.8、函数的单调递减区间是_______________.9、已知等差数列的公差为2，前项和为，则=_________.10、已知定义在上的函数满足：①；②；③在上的表达式为，则函数与函数的图象在区间上的交点的个数为6.11、已知各项均为正数的数列满足：，且,则首项所有可能取值中的最大值为16.11/1112、已知平面上三个不同的单位向量满足，若为平面内的任意单位向量，则的最大值为_________________.二、选择题(本大题共有4小题，满分20分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13、若复数满足，则复数在复平面上所对应的图形是（D）A、椭圆；B、双曲线；C、直线；D、线段.14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：（1）（2）（3）（4）则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（C）A、(1)(3)(4)；B、(2)(4)(3)；C、(1)(3)(2)；D、(2)(4)(1).15、已知，则=（C）A、2；B、2或；C、2或0；D、或0.16、已知等比数列满足，，，则的取值范围是（D）A、；B、；C、；D、.11/11三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系的原点，半径为1，且球O分别与轴的正半轴交于三点.已知球面上一点.（1）求两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．解：（1）由题意：则，……………………………………………………2分所以，即为等边三角形，所以，…………4分则…………………………6分（2）设直线CD与平面ABC所成角为，易得平面的一个法向量，…………………………11分则，…………………………13分即直线CD与平面ABC所成角…………………………14分11/1118、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场.OABPQ（1）如图，射线为海岸线，，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个的养殖场，问如何选取点，才能使养殖场的面积最大，并求其最大面积.（2）如图，直线为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形（点在直线上），使三角形面积最大，设其为；方案二：围成弓形（点在直线上，是优弧所在圆的圆心且），其面积为；试求出的最大值和（均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.ABOCED解：（1）设由余弦定理得，…4分则，（平方千米）即选取时养殖场的面积最大.…………6分11/11（2）方案一：围成三角形设，由，当且仅当时取等号.所以，（平方千米），当且仅当时取等号.……………9分方案二：围成弓形设弓形中扇形所在圆的半径为，而扇形圆心角为、弧长为1千米，故.…………10分于是…………11分（平方千米）…………13分即，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好.……………14分11/1119、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线，其右顶点为.（1）求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值.解：（1）由题意，，渐近线方程：，即……………2分则半径，……………4分所以圆方程为：……………6分（2）若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，则其中一点必定是与直线平行的直线与双曲线其中一支的切点……………8分设直线与双曲线C相切，并且与直线平行，则，即有，消去，得到……………10分则，解得，所以…………12分又是与之间的距离，所以或者……………14分11/1120、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列对任意的，都有，且，则称数列为“级创新数列”.（1）已知数列满足，且，试判断数列是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列为“级创新数列”且，若，求数列的前项积；（3）设是方程的两个实根（），令，在（2）的条件下，记数列的通项，求证：，.解：（1）由，∴，即，……………………2分且，………………………3分∴是“2级创新数列”………………………4分（2）由正数数列是“级创新数列”，得，且∴，………………………6分∴是等比数列，且首项，公比；∴；………………………7分由………………………9分，∴……………………10分11/11（3）由，；……………………12分由是方程的两根，∴；……………………14分∴.…………………16分11/1121、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为的函数，若函数是奇函数，则称为正弦奇函数.已知是单调递增的正弦奇函数，其值域为，.（1）已知是正弦奇函数，证明：“为方程的解”的充要条件是“为方程的解”；（2）若，求的值；（3）证明：是奇函数.证明：（1）必要性：为方程的解，即，故，即为方程的解.…………………………………………………2分充分性：为方程的解，即，故，，即为方程的解.………………………………4分（2）因为，由单调递增，可知.……………………5分由（1）可知，若函数是正弦奇函数，则当为方程的解，必有为方程的解，，即，而，故，从而，即；……………………7分11/11同理，故，即；…………………………9分综上，.…………………………10分（3）的值域为且单调递增，故对任意，存在唯一的使得.…………11分可设，下证.当时，由（2）知,命题成立；………………………………12分假设时命题成立，即，而由的单调性知，知，则当时，为方程的解，故为方程的解，且由单调性知，故，得；同理，故.……………………………………………14分要证是奇函数，只需证：对任意，都有.记，若，则，；……………………………………………………15分若，则，，而正弦函数在上单调递增，故由得.若，同理可证得.…………………17分11/11综上，对任意，都有.故是奇函数.……………18分11/11
