2022学年第二学期阶段检测试卷高二年级数学学科考试时间120分钟满分150分一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．双曲线的渐近线方程为．2．计算（为虚数单位）．3．过点且与直线垂直的直线方程为．4．若圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的全面积是．5．设直角三角形的两直角边，，则它绕旋转一周得到的旋转体的体积为．6．已知球的半径为，是球面上两点，，则两点的球面距离为.7．过点的抛物线的标准方程是．8．若一个球的体积为，则它的表面积等于．9．在空间四边形中，分别是的中点，当对角线满足时，四边形的形状是菱形．10．若双曲线与圆恰有三个不同的公共点，则．11．在下列命题中，所有正确命题的序号是．图1①三点确定一个平面；②两个不同的平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行；③过高的中点且平行于底面的平面截一棱锥，把棱锥分成上下两部分的体积之比为；④平行圆锥轴的截面是一个等腰三角形．图212．如图1，设线段的长度为1，端点在边长为2的正方形的四边上滑动．当沿着正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹为，若围成的面积为，则．1013．如图2，设边长为1的正方形纸片，以为圆心，为半径画圆弧，裁剪的扇形围成一个圆锥的侧面，余下的部分裁剪出它的底面．当圆锥的侧面积最大时，圆锥底面的半径．图314．如图3，设椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数的”（）．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件16．若直线与圆相切，则的值为（）．．．．或17．在棱长为的正方体中，错误的是（）．直线和直线所成角的大小为图4．直线平面．二面角的大小是．直线到平面的距离为18．如图4，设正方体的棱长为，是底面上的动点，是线段上的动点，且四面体的体积为，则的轨迹为（）10三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）在直角坐标系中，设动点到定点的距离与到定直线的距离相等，记的轨迹为．又直线的一个方向向量且过点，与交于两点，求的长．1020．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．设是方程的一个根．（1）求；（2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设正四棱锥的侧面积为，若．（1）求四棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小．1022．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分．定义：设分别为曲线和上的点，把两点距离的最小值称为曲线到的距离．（1）求曲线到直线的距离；（2）若曲线到直线的距离为，求实数的值；（3）求圆到曲线的距离．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分，第3小题满分4分．如图，已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，联结，交椭圆于点．（1）当，时，设，求的值；（2）若为常数，探究满足的条件？并说明理由；（3）直接写出为常数的一个不同于（2）结论类型的几何条件．10高二数学参考答案一、填空题1．2．3．4．5．6．7．或8．9．10．11．③12．13．14．二、选择题15-18．BCDA三、解答题19．（本题满分12分）在直角坐标系中，设动点到定点的距离与到定直线的距离相等，记的轨迹为．又直线的一个方向向量且过点，若直线与交于两点，求的长．解由抛物线的定义知，动点的轨迹是抛物线，方程．…3分直线的方程为，即．…6分设、，代入，整理，得．…8分所以．…12分20．（本题满分14分）设是方程的一个根．（1）求；（2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求．解（1）因为，所以或．……4分（2）由，得，．……10分当时，；……12分当时，．……14分1021．（本题满分14分）设正四棱锥的侧面积为，若．（1）求四棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小．解（1）联结交于，取的中点，联结，，，则，，．……4分所以四棱锥的体积．……6分（2）在正四棱锥中，平面，所以就是直线与平面所成的角．……11分在中，，所以直线与平面所成角的大小为．……14分22．（本题满分16分）定义：设分别为曲线和上的点，把两点距离的最小值称为曲线到的距离．（1）求曲线到直线的距离；（2）已知曲线到直线的距离为，求实数的值；（3）求圆到曲线的距离．解（1）设曲线的点，则，所以曲线到直线的距离为．……5分（2）由题意，得，．……10分10（3）因为，所以曲线是中心在的双曲线的一支．……13分如图，由图形的对称性知，当、是直线和圆、双曲线的交点时，有最小值．此时，解方程组得，于是，所以圆到曲线的距离为．……16分另解令，，当且仅当时等号成立．（相应给分）1023．（本题满分18分）如图，已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，联结，交椭圆于点．（1）当，时，设，求的值；（2）若为常数，探究满足的条件？并说明理由；（3）直接写出为常数的一个不同于（2）结论类型的几何条件．解（1）直线，解方程组，得．所以．…5分（2）设，，因为三点共线，于是，即．……7分又，即．……9分所以．所以当时，为常数．……14分另解设，解方程组得．10要使为定值，有，即．（相应给分）（3）若考生给出“设为椭圆的焦点，为短轴的顶点，当为等腰三角形时，为常数或．”……16分若考生给出“当时，为常数或．”……18分（注：本小题分层评分）10
