\n\n\n\n湘豫名校联考!"!!年#月高三秋季入学摸底考试数学!理科"参考答案一#选择题$本题共!#小题%每小题$分%共%&分$在每小题给出的四个选项中%只有一项符合题目要求$!#'($%)"*!&!!!#+,-.,.,-++.,!!+!&解析'因为集合"/!#""#0!"#!"#所以$$"/!#""#0!"%!"/!#"&%#%#"!又因为%/!#"0#%#&!"#所以$$$"%'%/!#"0#%#%#"!故选+1#!,!&解析'若两条平行线中的一条垂直于一个平面#则另一条也垂直于该平面!所以由&&(!'可得&'(!'#充分性成立(反之亦成立!所以&&(!'是&'(!'成立的充要条件!故选,!#%#及正态分布的对称性#知($!%%/($#%%/&!'#'!-!&解析'由随机变量"!%$###"&#"&'所以($"&!%/&!$0($!%"&#%/&!#!故选-!#0#(!.!&解析'由函数)$#%/2023456#3*#可得)$0#%3)$#%/#*!!!因为)!76"/)$076'%/'#)$76'%/!#所以)$76'%3)!76"/!3'/(/#*!所以*/#!故选.1''&&$!,!&解析'由题可知$!35%/'#5#两边取模#得$槡#%/'#!所以&/!&!!&#,,!&0$,所以!槡#0"的展开式的通项为+,3!/+!&$0#%##!##令!&0$,/&#解得,/#!所以展开式中的常数项是+#$0#%#/!"&!故选,1!&8#!%!.!&解析'由题意可知#函数)$#%/#76#30#的定义域为$'%!###!!因为)-$#%/0#0!/0!0!"%&恒成立#所以)$#%在$'%上单调递减!#####0!#&#*#则由)$##0!%&)$!0#%可得)!0##&#解得&#&!!故选.!'+##0!#!0##)!,!&解析'因为数列!*&"是递增的等差数列#所以数列!*&"的公差.#&!*!3./$#由题意得#%#解得*!/##./'或*!/$#./&$舍去%!$*%#!3#./*!$*!3!&.所以*&/#3'$&0!%/'&0!!!!!!!所以/&//$'&0!%$'&3#%/!0"!*&*&3!''&0!'&3#!!!!!!!&所以0&//!3/#3/'3)3/&/!0303)30"/!故选,!'#$$"'&0!'&3#%&3(+$""""!-!&解析'设)$#%/1456$$#3!%$1#&#$#&#"!"&"%#由函数图象#知1/##/0!0"/##!#!##数学!理科"参考答案!第!页!共"页"\n#"所以+/"#$//#!所以)$#%/#456$##3!%!+$"$"又函数图象过点!#0#"#所以#456!#83!"/0#!!#!#$"'"#"所以3!/#2"3#2,!#解得!/#2"3#2,!!%#'#"#""!"因为"!"&"#所以!/!所以)$#%/#456!##3"/#456#!#3"!所以'/#&/##%/!故选-!'''#'#!!*!+!&解析'根据题意#可先把(名&熟手'分为人数为##!#!的三组#再分配到'个检测点#共有+(+#+!*,'#',##!!种分法#然后把#名&生手'分配到'个检测点中的#个#有,#种分法#所以共有+(+#+!*,'*,#种'#''/#!%,#不同的分配方案!故选+!##!&!+!&解析'令3$#%/)$#%#则3-$#%/)-$#%*20)$#%*2/)-$#%0)$#%!####222因为)-$#%0)$#%#&#所以3-$#%#&#函数3$#%在"上单调递增!对于##因为3$#%#3$!%#即)$#%#)$!%#整理得)$#%#2*)$!%##恒成立(对于$#因为!#76##所以#!223$!%#3$76#%#即)$!%#)$76#%/)$76#%#整理得#)$!%#2*)$76#%#$恒成立(对于%#因为!#76槡##!76##22所以3$!%#3$76槡#%#即)$!%#)$76槡#%/)$76槡#%#整理得槡#)$!%#2*)$76槡#%#%错误!所以恒成立的2!276槡#槡#不等式有#和$#共#个!故选+!!!!.!&解析'如图#-145所在圆6!即为-145的外接圆!设圆6的半径为,#则",#!/%"#解得,/槡%!因为-145为等边三角形#所以1/4/5/%&7#14/45/15!14由正弦定理可得/#,#解得14/'槡#!456%&7所以0!!#槡'*槡'-145/14*15*4561/8$'槡#%8/!####如图#当6!#6#8三点共线时#三棱锥80145的体积最大#最大值为*槡'#此时86!(平面145#三棱锥的!*槡'高9最大#且有889/*槡'#解得9/%!'#设球6的半径为:#在:;-66中#$%0:%#3,#/:##解得:/)!!1#'('()'('所以球6的体积;/":/8!""/"!故选.!''#%!#!,!&解析'如图#设8为"%的中点#连接<#8!易知</#."3</#.%/#</#.8#所以$</#."3</#.%%*"/.%/#</#.8*"/.%/&#所以<#8("%!因为8为"%的中点#所以"<#""/"<#%"!设"<#""/"<#%"/=#因为""<#"0""<!"/#*#所以""<!"/=0#*!因为"%<!"0"%<#"/#*#所以"%<!"/=3#*!所以""%"/"%<!"0""<!"/(*!因为8是"%的中点#"<!8"/"<!""3""8"#数学!理科"参考答案!第!#页!共"页"\n所以""8"/"%8"/#*#"<!8"/=!在:;-<中#"<##(!<#8#8"/槡(>0=在:;-"<中#"<###8#8"/槡=0(*!所以(>#####解得=###槡0=/槡=0(*/#*3#>!所以"<###"<###8"/槡#>0#*!8"/=/槡#*3#>!因为直线?的斜率为槡'#'####所以;<608<"<#8"/槡#>0#*/槡'#所以>0*/!#>#/#*#!!<#/##"<!8"槡#*#3#>#'*3>'所以离心率为槡#!故选,!二#填空题$本题共(小题%每小题$分%共#&分!!'!槡!&!&解析'因为!1"#所以'8#0&/&#解得&/%!所以"/$%##%#!0"/$0'#0!%#所以"!0""/$0'%##槡3$0!%/槡!&!!(!%!&解析'方法一+过点1#4#"分别向抛物线的准线作垂线#垂足分别为1!#4!#"!#因为点"的横坐标为##所以"""!"/'!所以"14"/"1<"3"4<"/"11!"3"44!"/#"""!"/%!方法二+设点1#4的横坐标分别为#!####则#!3##/##"/(#由过抛物线的焦点的弦长公式#知"14"/#!3##3@/##"3#/%!!!$!!&解析'将*'/#0#3!与*(/#0'3!作差#可得*(0*'/#*'#即*(/'*'!!%*(所以等比数列!*&"的公比A//'!*'因为*#A/'#所以*&0!&0!!/!&/!8'/'!所以/&0!/&3!&!&/7=>'*&/7=>''/&0!!所以$&3*%$/&3#%/$&3*%$&3!%/*!&33!&&因为&,#2#所以&3*3%#当且仅当&/'时&/'成立!&/&3!!!!所以/%!故2的最小值为!$&3*%$/&3#%*!%!%&33!&&#*#**76#!%!$,!&解析'不等式23*76#3#3#可变形为20#3#0*76#/20*76#!因为*#&且##!#所以*76##&!令)$B%/2BB0B$B#&%#则)-$B%/20!#&!所以函数)$B%在$'%上单调递增!不等式2#*76#0#320*76#等价于)$#%3)$*76#%#所以#3*76#!#因为##!#所以*%!76##76#0!设3$#%/$##!%#则3-$#%/!76#$76#%#当#,$!#2%时#3-$#%&&#函数3$#%在$!#2%上单调递减(当#,$2#39%时#3-$#%#&#函数3$#%在$2#39%上单调递增!所以3$#%?56/3$2%/2#所以&&*%2!故正实数*的取值范围是$,!数学!理科"参考答案!第!'页!共"页"\n三#解答题$共)&分$解答应写出文字说明#证明过程或演算步骤$第!)!#!题为必考题%每个试题考生都必须作答$第##$#'题为选考题%考生根据要求作答$!一"必考题$共%&分$##!)!&解析'$!%)$#%/'3#槡'456#@=4#0%@=4#/0'$#@=4#0!%3槡'456##/"0'@=4##3槡'456##/#槡'456!##0"!…………………………………………………………………'分'"""#""因为#,%#&#所以##0,%&#&#所以&%456!##0"%!!%#'''"所以&%#槡'456!##0"%#槡'#即&%)$#%%#槡'!'所以函数)$#%的值域为-&##槡',!……………………………………………………………………………%分$#%因为)$4%/#槡'456!#40""/'#所以456!#40""/槡'!''#"""#"""因为&&4&#所以0(&#所以#40/!#'''''"所以4/!…………………………………………………………………………………………………"分'在-145中#因为4/"#所以/#/*#3>#0#*>@=44/$*3>%#0'*>!'因为//槡)#*3>/$#所以)/$#0'*>#解得*>/%!!!"'槡'所以0-145/*>4564/8%8456/!…………………………………………………………!#分##'#!"!&解析'$!%在直三棱柱14501!4!5!中#因为-145为正三角形#分别取15#1!5!的中点6#6!#连接64#66!!则64(65#66!(65#66!(64!如图#以6为原点#分别以64#65和66!所在直线为#轴.C轴和D轴#建立空间直角坐标系60#CD!因为14/15/11!/##6为15的中点#所以1$�!#&%#4$槡'#&#&%#5$&#!#&%#1!$�!##%#4!$槡'#&##%#5!$&#!##%!…………………………………………………………………………………………………………………'分因为点(#E分别为1!4!#45的中点#所以(!槡'#0!##"#E!槡'#!#&"!####数学!理科"参考答案!第!(页!共"页"\n所以1/.E/!槡'#'#&"#1/5.!/$&####%#(/5.!/!0槡'#'#&"!####设$/$##C#D%为平面1E5!的法向量#$*1/.E/&#*槡'#3'C/&#由#得)##/.#$*15!/&+#C3#D/&!不妨取#/槡'#可得C/0!#D/!!则$/$槡'#0!#!%!……………………………………………………$分设直线(5!与平面1E5!所成的角为'##$0"/"(/5.!*$"'槡!$则456'/"@=4/(/5.!/.*"$"//$!"(5!"槡'8槡$槡!$所以直线(5!与平面1E5!所成角的正弦值为!……………………………………………………)分$$#%因为1$�!#&%#4$槡'#&#&%#5!$&#!##%#所以1/.4/$槡'#!#&%#4/.5!/$0槡'#!##%!设%/$#!#C!#D!%为平面145!的法向量#/.%*14/&#*槡'#!3C!/&#由#得)/.#%*45!/&+0槡'#!3C!3#D!/&!不妨取#!/!#可得C!/0槡'#D!/槡'#则%/$!#0槡'#槡'%!……………………………………………!&分由$!%知$/$槡'#0!#!%为平面1E5!的一个法向量#%*$'槡!&$所以@=4/%#$0//!……………………………………………………………………!!分"%"*"$"'$由图知二面角4015!0E的平面角为锐角#'槡!&$故二面角4015!0E的余弦值为!………………………………………………………………!#分'$!*!&解析'$!%根据表中数据#计算可得+)4CF!3#3'3(3$3%3)F/!'&!#//(#C///('!………………………………………………………#分))))所以4$#%########F0#/$0'%3$0#%3$0!%3&3!3#3'/#"!F/!))4$#F0#%$CF0C%F/!!!#又因为4$#F0#%$CF0C%/!!##所以G//)//(!…………………………………(分F/!$#%##"4F0#F/!所以G*/C0G/#/('0(8(/#)!所以C关于#的线性回归方程为GC/(#3#)!当#/"时#得GC/(8"3#)/$*!所以预测该商超下周的利润为$*万元!……………………………………………………………………%分$#%该客户所获得的代金券总额H的所有可能取值有&##&#'&#(&#$&#%&!……………………………)分!!!!!!!!!($H/&%/8/#($H/#&%/#88/#($H/'&%/#88/#((!%#(((("!!!!!!!!!($H/(&%/8/#($H/$&%/#88/#($H/%&%/8/!##(#((((!%数学!理科"参考答案!第!$页!共"页"\n代金券总额H的分布列如下表+H&#&'&(&$&%&!!!!!!(!%("((!%!!!!!!所以I$H%/&83#&83'&83(&83$&83%&8/'$$元%!………………………!#分!%("((!%###相切##&!&解析'$!%由题意知#直线#0C0(/&与圆#3C//(所以圆心$&#&%到直线#0C0(/&的距离.//#槡#//#即//#槡#!槡#因为J/>/!#*#/>#3/##//#槡##*'所以*/'#>/!!###C故椭圆5的标准方程为3/!!………………………………………………………………………(分*"$#%因为直线?过点<#$!#&%且与#轴不重合#所以可设直线?的方程为#/'C3!!*#/'C3!#联立方程#得化简并整理得$"'##)###3*%C3!%'C0%(/&!3C/!#+*"!%'%(设"$#!#C!%#%$###C#%#则C!3C#/0##C!C#/0#!"'3*"'3*所以#!3##/'$C!3C#%3#/!"##!##/$'C!3!%$'C#3!%/'#C!C#3'$C!3C#%3!/#"'3*#0)#'3*#!……………………………………………………………………………………………………%分"'3*C!C#设存在点($=#&%#则直线("与(%的斜率分别为2("/#2(%/##!0=##0=%(0#C!C#C!C#"'3*所以2("*2(%/$#%$#%/#/#/!0=#0=#!##0=$#!3##%3=0)#'3*!"##0=*#3="'3*"'3*0%($"=#0)#%'#3*0!"=3*=#!令"=#0)#/&#解得=/0'或=/'!………………………………………………………………………!&分(当=/0'时#5',"#2("*2(%/0(*!%当=/'时#5',"#2("*2(%/0!*因此#满足条件的点(的坐标为$0'#&%和$'#&%!………………………………………………………!#分!#!!&解析'$!%)$#%的定义域为$'%#)-$#%/76#3!!令)-$#%/&#可得#/!2!!当&&#&时#)-$#%&&#)$#%单调递减(当##时#)-$#%#&#)$#%单调递增#所以)$#%的单调递增区22!间为%#39"!……………………………………………………………………………………………'分2数学!理科"参考答案!第!%页!共"页"\n!因为函数)$#%在$*#39%上单调递增#所以$*#39%6%#39"!2!!所以*3!故实数*的取值范围为%#39"!…………………………………………………………%分22$#%因为##&#所以要证#76#3!3##2!0##只需证明76#3!3#2!0#成立!…………………………)分#!!!#0!令3$#%/76#3#则3-$#%/0#/#!####令3-$#%/&#得#/!#当&&#&!时#3-$#%&$#%单调递减(当##!时#3-$#%#$#%单调递增#所以3$#%?56/3$!%/!!……………………………………………………………………………………………*分令9$#%/#2!0##则9-$#%/$!0#%2!0##令9-$#%/&#得#/!#当&&#&!时#9-$#%#	$#%单调递增(当##!时#9-$#%&	$#%单调递减#所以9$#%?<A/9$!%/!!因此3$#%39$#%#即)$#%3##!0##当且仅当#/!时等号成立!………………………………………!#分2!二"选考题$共!&分$请考生在第##$#'题中任选一题作答'如果多做'则按所做的第一题计分$*槡##/#3@=4!'###!(解析)!!"因为曲线5的参数方程为)!!为参数"'槡#C/#3456!+#所以消去!可得曲线5的普通方程为!#0#"##!3!C0#"/!…………………………………………#分#'因为直线?的斜率为2/;<6"/0!'且过点1!0!'&"'所以直线?的方程为C/0!#3!"'即#3C3!/&!(将#/(@=4''C/(456'代入上式'可得直线?的极坐标方程为(@=4'3(456'3!/&'"槡#即(456!'3"/0!(#因此'曲线5的普通方程为!#0#"#3!C0#"#/!'直线?的极坐标方程为(456!'3""/0槡#!…$分#(#!#"点5!#'#"到直线?的距离为./"#3#3!"/$#槡#'所以直线?与曲线5相离!如图'槡#槡##当(1与曲线5相切时'0(14最大'此时设直线(1的方程为C/2-!#3!"'即2-#0C32-/&'所以"#2-0#32-"/槡#'解得2-/!或2-/)!2-##!)槡3!)当2-/时'0(14最小'不满足条件'因此2-/!!……………………………"分!)又因为直线?的斜率为0!'所以(1(14!连接15'则"15"/槡!''"(5"/槡#'"15"#/"(5"#3"1("#'所以"1("/$槡#!##!$又因为4!&'0!"'所以"14"/槡#'所以-(14的面积为"14"*"1("/!………………………!&分##数学!理科"参考答案!第!)页!共"页"\n*0%'#%0!'#'!(解析)!!"由题意知)!#"/"#3!"0"#0$"/)##0('0!&#&$'……………………………………#分+%'#3$!当#%0!时')!#"/0%'不等式)!#"#'不成立*))当0!&#&$时'令##0(#''解得##'所以&#&$*##当#3$时')!#"/%'不等式)!#"#'恒成立!)综上所述'不等式)!#"#'的解集为##"##+!…………………………………………………………$分#!#"方法一,证明,由!!"知)!#"?<A/%'所以*3//%!因为!3!/!!*3/"!!3!"/!!/3*3#"3!8#/8*3#/#'当且仅当*///'*/%*/%*/%!槡*/"'时取等号'##!!!!!!##所以#3#3!3"38!"/'当且仅当*///'时取等号!*/#*/#'*!!#故有#3#3!…………………………………………………………………………………………!&分*/*方法二,证明,由!!"知)!#"?<A/%'所以*3//%!!!!!!!!!/*!###!因为*#3/#/%!*#3/#"!*3/"/%!*3/3*#3/#"3%!3"/'8'当且仅当*//槡*/槡*/槡*//'时取等号'#!###又因为838/'当且仅当*///'时取等号''槡*/'*3/*!!#所以#3#3!…………………………………………………………………………………………!&分*/*方法三,证明,由!!"知)!#"?<A/%'所以*3//%!###!!!!!*3/"!/*/*!"#所以#3#/!#3#"*/8!#83#83#3#3#"38!(3#3#"//'*/*/'%'%*/*/'%'%*当且仅当*///'时取等号!………………………………………………………………………………!&分数学!理科"参考答案!第!"页!共"页"
