17.5实践与探索第1课时 一次函数与方程组和一元一次不等式的关系第3页共4页1．掌握一次函数与方程、不等式的关系；(重点)2．综合应用一次函数与方程、不等式的关系解决问题．(难点) 一、情境导入1．下面三个方程有什么共同点和不同点？你能进行解释吗？(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.能从函数的角度解这三个方程吗？2．下面三个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对这三个不等式进行解释吗？(1)3x＋2＞2；(2)3x＋2＜0；(3)3x＋2＜－1.二、合作探究探究点一：一次函数与一元一次方程的关系直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关于x的方程2x＋b＝0的解是x＝________．解析：∵直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)，则x＝2时，y＝0，∴关于x的方程2x＋b＝0的解是x＝2.故答案为2.方法总结：直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解，反之亦然．所以在解题时，常需作出一次函数的草图，结合图形分析更加直观、方便．探究点二：一次函数与二元一次方程(组)的关系直角坐标系中有两条直线：y＝x＋，y＝－x＋6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B.(1)求A、B两点的坐标；(2)用图象法解方程组(3)求△PAB的面积．解析：(1)分别令y＝0，求出x的值即可得到点A、B的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．第3页共4页
解：(1)令y＝0，则x＋＝0，解得x＝－3，所以点A的坐标为(－3，0)．令－x＋6＝0，解得x＝4，所以点B的坐标为(4，0)；(2)如图所示，方程组的解是(3)AB＝4－(－3)＝4＋3＝7，S△PAB＝×7×3＝.方法总结：本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．探究点三：一次函数与一元一次不等式的关系【类型一】利用一次函数的图象解一元一次不等式已知一次函数的图象过点A(1，4)、B(－1，0)，求该函数的关系式并画出它的图象，利用图象求：(1)当x为何值时，y＞0和y＜0；(2)当－3＜x＜0时，y的取值范围；(3)当－2≤y≤2时，x的取值范围．解析：首先利用待定系数法求出一次函数的关系式，然后在直角坐标系中描出A(1，4)、B(－1，0)两点，过这两点画直线，再结合图象解答各问题．解：设一次函数的关系式为y＝kx＋b，代入(1，4)、(－1，0)得解得所以y＝2x＋2.一次函数y＝2x＋2的图象如图所示．由图可得(1)当x＞－1时，y＞0；当x＜－1时，y＜0；(2)当－3＜x＜0时，－4＜y＜2；(3)当－2≤y≤2时，－2≤x≤0.方法总结：从图象上看，kx＋b＞0的解集是直线y＝kx＋b(k≠0)位于x轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围；kx＋b＜0的解集是直线y＝kx＋b(k≠0)位于x轴下方的部分所对应的自变量x的取值范围．【类型二】利用一次函数的交点解一元一次不等式第3页共4页
对照图象，请回答下列问题：(1)当x取何值时，2x－5＝－x＋1?(2)当x取何值时，2x－5＞－x＋1?(3)当x取何值时，2x－5＜－x＋1?解析：(1)直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点横坐标的值即为方程2x－5＝－x＋1的解；(2)直线y＝2x－5在直线y＝－x＋1上方的部分对应的x的取值范围即为不等式2x－5＞－x＋1的解集；(3)直线y＝2x－5在直线y＝－x＋1下方的部分对应的x的取值范围即为不等式2x－5＜－x＋1的解集．解：(1)由图象可知，直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点的横坐标是2，所以当x=2时，2x－5＝－x＋1；(2)由图象可知，当x＞2时，直线y＝2x－5在直线y＝－x＋1的上方，即2x－5＞－x＋1；(3)由图象可知，当x＜2时，直线y＝2x－5在直线y＝－x＋1的下方，即2x－5＜－x＋1.方法总结：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．探究点四：运用一次函数与方程、不等式解决实际问题某销售公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：第3页共4页
(1)求每种付酬方案y关于x的函数表达式；(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x的取值范围．解析：(1)由图已知两点，可根据待定系数法列方程组，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的交点的坐标，即可得选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x的取值范围．解：(1)设方案一的关系式为y＝kx，把(40，1600)代入关系式，可得k＝40，∴方案一y关于x的关系式为y＝40x；设方案二的关系式为y＝ax＋b，把(40，1400)和(0，600)代入关系式，可得解得∴方案二y关于x的关系式为y＝20x＋600；(2)根据两直线相交可得40x＝20x＋600，解得x＝30，故两直线交点的横坐标为30.当x＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．方法总结：解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．三、板书设计1．一次函数与一元一次方程的关系2．一次函数与一元一次不等式的关系3．用图象法求二元一次方程组的解4．应用一次函数与方程、不等式解决实际问题数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的生活经验基础之上，教师应帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．在对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式进行整合的教学时，利用学生已掌握的知识，设计有层次、有关联的问题，不断深入，力求从题目所提供的图形及已知条件中提取相关信息，结合函数图象的几何意义运用数形结合法解答问题．
