第二十八章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．sin30°的值为( )A．B．C．D．2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinB的值是( )A．B．C．D．3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为( )A．B．C．D．14．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的长是( )A．3B．6C．8D．95．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为( )A．B．C．D．11
6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为( )A．B．C．D．7．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则( )A．S1＝S2B．S1＝S2C．S1＝S2D．S1＝S28．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )A．2mB．2mC．(2－2)mD．(2－2)m9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是12，则等腰三角形顶角的度数为( )A．30°B．50°C．60°或120°D．30°或150°10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是( )A．B．C．D．二、填空题(每题3分，共30分)11．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝________．12．计算：－|－2＋tan45°|＋(－1.41)0＝________.11
13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.14．已知锐角∠A的正弦sinA是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sinA＝________．15．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，DE＝6cm，sinA＝，则菱形ABCD的面积是________cm2.16．如图，在高度是21m的小山山顶A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝____________.(结果保留根号)17．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′等于________．18．一次函数的图象经过点(tan45°，tan60°)和(－cos60°，－6tan30°)，则此一次函数的解析式为________．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝6，CD＝5，则sinA等于________．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且＝.连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE.若CF＝2，AF＝3.下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tanE＝；④S△DEF＝4，其中正确的是________．三、解答题(21题12分，23题8分，其余每题10分，共60分)21．计算：11
(1)(2cos45°－sin60°)＋；(2)(－2)0－3tan30°－|－2|.22．在△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝3，∠A＝45°，求∠B，b，c.11
23．如图，已知▱ABCD，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC．(1)求证：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB＝13，DF＝14，tanA＝，求CF的长．24．如图，大海中某岛C的周围25km范围内有暗礁．一艘海轮向正东方向航行，在A处望见C在其北偏东60°的方向上，前进20km后到达B处，测得C在其北偏东45°的方向上．如果该海轮继续向正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．(参考数据：≈1.41，≈1.73)11
25．如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．26．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα＝，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°.设∠BAC＝α，则sinα＝＝.易得∠BOC＝2α.设BC＝x，则AB＝3x，AC＝2x.作CD⊥AB于D，求出CD＝________(用含x的式子表示)，可求得sin2α＝＝________.【问题解决】已知，如图②，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sinβ＝，求sin2β的值．11
答案一、1.C 2.D 3.B4．B 点拨：因为AD＝DC，所以∠DAC＝∠DCA.又因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB，所以∠DCA＝∠ACB.在Rt△ACB中，AC＝BC·cos∠ACB＝10×＝8，则AB＝＝6.5．A 6.D7．D 点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥EF，交FE的延长线于点N.在Rt△ABM中，∵sinB＝，∴AM＝3×sin50°，∴S1＝BC·AM＝×7×3×sin50°＝sin50°.在Rt△DEN中，∠DEN＝180°－130°＝50°.∵sin∠DEN＝，∴DN＝7×sin50°，∴S2＝EF·DN＝×3×7×sin50°＝sin50°，∴S1＝S2.故选D.8．B 点拨：在Rt△ABD中，∵∠ABD＝60°，∴AD＝4sin60°＝2(m)．在Rt△ACD中，∵∠ACD＝45°，∴AC＝AD＝×2＝2(m)． 9．D 点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sinA＝，则∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin(180°－∠BAC)＝，则180°－∠BAC＝30°，所以∠BAC＝150°.10．B 点拨：如图所示，设BC＝x.在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝＝x.根据题意，得AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x，过点E作EM⊥AD11
于点M，则AM＝AD＝x.在Rt△AEM中，cos∠EAD＝＝＝，故选B.二、11.60° 点拨：∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sinA＝，cosB＝，∴∠A＝∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°.12．2＋ 点拨：原式＝3－|－2＋|＋1＝4－2＋＝2＋.13.14.15．60 点拨：在Rt△ADE中，sinA＝＝，DE＝6cm，∴AD＝10cm，∴AB＝AD＝10cm，∴S菱形ABCD＝AB·DE＝10×6＝60(cm2)．16．(7＋21)m17. 点拨：由题意知BD′＝BD＝2.在Rt△ABD′中，tan∠BAD′＝＝＝.18．y＝2x－ 点拨：tan45°＝1，tan60°＝，－cos60°＝－，－6tan30°＝－2.设y＝kx＋b的图象经过点(1，)，，则用待定系数法可求出k＝2，b＝－.19. 点拨：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴AB＝2CD＝2×5＝10，∴BC＝＝＝8，∴sinA＝＝＝.20．①②④三、21.解：(1)原式＝×＋＝2－＋＝2.11
(2)原式＝1－＋－2＝－1.22．解：(1)∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°.∵sinA＝，sinB＝，∴a＝c·sinA＝8×＝12.b＝c·sinB＝8×＝4.(2)∵∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝45°.∴b＝a＝3.∴c＝＝6.23．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BC.∴∠ADE＝∠DEC.又∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE，∴DE∥FC.∴四边形DECF是平行四边形．(2)解：过点D作DH⊥BC于点H，如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13.又∵tanA＝＝tan∠DCH＝，∴DH＝12，CH＝5.∵DF＝14，∴CE＝14.∴EH＝9.∴DE＝＝15.∴CF＝DE＝15.24．解：该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．理由如下：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，11
∴∠BCD＝∠CBM＝45°.设BD＝xkm，则CD＝xkm.∵∠CAN＝60°，∴∠CAD＝30°.在Rt△CAD中，tan∠CAD＝tan30°＝＝，∴AD＝CD＝x(km)．∵AB＝20km，AB＋BD＝AD，∴20＋x＝x，解得x＝10＋10，∴CD＝10＋10≈27.3(km)＞25km，∴该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．25．解：由题意得BG＝3.2m，MN＝EF＝3.2＋2＝5.2(m)，ME＝NF＝BC＝6m．在Rt△DEF中，＝，∴FD＝2EF＝2×5.2＝10.4(m)．在Rt△HMN中，＝，∴HN＝2.5MN＝13(m)．∴HD＝HN＋NF＋FD＝13＋6＋10.4＝29.4(m)．∴加高后的坝底HD的长为29.4m.26．解：；如图，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R.11
在⊙O中，易知∠NMQ＝90°.∵∠Q＝∠P＝β，∴∠MON＝2∠Q＝2β.在Rt△QMN中，∵sinβ＝＝，∴设MN＝3k，则NQ＝5k，∴MQ＝＝4k，OM＝NQ＝k.∵S△NMQ＝MN·MQ＝NQ·MR，∴3k·4k＝5k·MR.∴MR＝k.在Rt△MRO中，sin2β＝sin∠MOR＝＝＝.11
