内蒙古鄂尔多斯市2022年中考数学真题一、单选题1．如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）A．﹣2B．﹣C．2D．3【答案】C【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数【解析】【解答】解：点A表示的数为﹣2，﹣2的相反数为2，故答案为：C．【分析】根据数轴先求出点A表示的数为﹣2，再求解即可。2．下列几何体的三视图中没有矩形的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：A．该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，因此选项A不符合题意；B．该三棱柱的主视图、左视图是矩形，因此选项B不符合题意；C．该圆柱体的主视图、左视图是矩形，因此选项C不符合题意；D．该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形，因此选项D符合题意；故答案为：D．【分析】根据几何体的三视图对每个选项一一判断即可。3．一组数据2，4，5，6，5．对该组数据描述正确的是（ ）A．平均数是4.4B．中位数是4.5C．众数是4D．方差是9.2【答案】A【知识点】分析数据的集中趋势【解析】【解答】解：A、平均数为＝4.4，符合题意；B、中位数为5，不符合题意；C、将这组数据重新排列为2，4，5，5，6，所以这组数据的众数为5，不符合题意；D、方差为[（2﹣4.4）2+（4﹣4.4）2+2×（5﹣4.4）2+（6﹣4.4）2]＝1.84，不符合题意．故答案为：A．【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的定义计算求解即可。4．下列运算正确的是（ ）A．a3b2+2a2b3＝3a5b5B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3C．2﹣2＝﹣D．+＝【答案】D【知识点】负整数指数幂的运算性质；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方【解析】【解答】A.a3b2与2a2b3不是同类项，不能合并，故A不符合题意；B.（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故B不符合题意；C.，故C不符合题意；D.，故D符合题意．故答案为：D．【分析】利用合并同类项发展，幂的乘方，积的乘方，负整数指数幂，二次根式的性质计算求解即可。5．下列尺规作图不能得到平行线的是（ ）A．B．C．D．【答案】Dn【知识点】作图-平行线【解析】【解答】解：A.根据同位角相等两直线平行可知，能得到平行线，故A不符合题意；B.根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可知，能得到平行线，故B不符合题意；C.根据内错角相等两直线平行可知，能得到平行线，故C不符合题意；D.作一个角的平分线和这个角一边的垂线，不一定能够得到平行线，故D符合题意．故答案为：D．【分析】根据作平行线的方法对每个选项一一判断即可。6．如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ ）A．2B．2C．4D．4+2【答案】C【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故答案为：C．【分析】先求出∠AOC＝2∠AOE＝30°，再求出∠DEO＝15°，最后计算求解即可。7．下列说法正确的是（ ）①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．②7＜＜8．③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．④的平方根是±4．⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．A．①③⑤B．③⑤C．③④⑤D．①②④【答案】B【知识点】平方根；估算无理数的大小；二次根式有意义的条件；一元二次方程根的判别式及应用；多边形内角与外角【解析】【解答】解：①若二次根式有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．②8＜＜9，故题干的说法是错误的．③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．④＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．故答案为：B．n【分析】利用二次根式有意义的条件，多边形的内角和，平方根，实数根等对每个说法一一判断即可。8．实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米【答案】C【知识点】圆与圆的位置关系；弧长的计算【解析】【解答】解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，∵等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，∴△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，∴优弧所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，∴花坛的周长为2×＝8π（米），故答案为：C．【分析】先求出△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，再计算求解即可。9．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（ ）A．B．C．D．3【答案】B【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，∴∠MGN＝90°，∴四边形GMCN为矩形，∴GM＝CN，在△CDN中，∠D＝60°，CD＝，∴CN＝CD•sin60°＝，∴MG＝3，∵四边形BEFG为矩形，∴∠E＝90°，BG∥EF，∴∠BCE＝∠GBM，n又∵∠E＝∠BMG，∴△GBM∽△BCE，∴，∴，∴BE＝，故答案为：B．【分析】先求出四边形GMCN为矩形，再利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可。10．如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（ ）A．B．2C．D．【答案】A【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；动点问题的函数图象【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∵点M是AB的中点，∴N′是△ABC的重心，∴N′O=BO，∴N′D=BD，∵A、C关于BD对称，∴NA=NC，∴AN+MN=NC+MN，∵当M、N、C共线时，y的值最小，∴y的值最小就是MC的长，∴MC=2，设正方形的边长为m，则BM=m，在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2=BC2+MB2，∴20=m2+（m）2，∴m=4（负值已舍），∴BD=4，∴a=N′D=BD=×4＝，故答案为：A．【分析】先求出N′O=BO，再求出20=m2+（m）2，最后计算求解即可。n二、填空题11．截止2022年1月中国向120多个国家和国际组织提供超20亿剂新冠疫苗，是对外提供此疫苗最多的国家.20亿用科学记数法表示为 ．【答案】2×109【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109．故答案为：2×109．【分析】“科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。12．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 ．【答案】6【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．【分析】先求出BD＝CD，再根据AB＝3.7，AC＝2.3，计算求解即可。13．按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 ．【答案】【知识点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：∵，，，…，∴第n个数是，当n＝30时，==，故答案为：．【分析】先求出第n个数是，再计算求解即可。14．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 ．【答案】12【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）【解析】【解答】如图，延长BE交AD于点F，∵点E是DC的中点，∴DE＝CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴DF＝BC＝5，BE＝EF，∴BF＝2BE＝13，AF=5，在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．故答案为：12．【分析】先求出∠D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。n15．如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝ ．【答案】10【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质【解析】【解答】解：作EH⊥y轴于点H，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，∵∠ECF=45°，△ECF翻折得到，∴∠BCE+∠OCF=45°，∵∠DOC+∠OCF＝45°，∴∠BCE＝∠OCD，∵BC＝OC，∠B＝∠COD，∴△BCE≌△OCD（ASA），∴S△BCE＝S△COD＝5，∴S△CEH＝5，S矩形BCHE＝10，∴根据反比例函数系数k的几何意义得：k1﹣k2＝S矩形BCHE＝10，故答案为：10．【分析】先求出∠BCE＝∠OCD，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．【答案】4【知识点】三角形的综合；三角形-动点问题【解析】【解答】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4，n∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案为：．【分析】先求出∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，再求出PF＝，最后利用锐角三角函数计算求解即可。三、解答题17．（1）解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解．（2）先化简，再求值：（+1）÷，其中a＝4sin30°﹣（π﹣3）0．【答案】（1）解：由①得：x＜1，由②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，∴该不等式组的最小整数解为x＝﹣2．（2）解：原式＝，当a＝4sin30°﹣（π﹣3）0＝4×﹣1＝2﹣1＝1时，原式＝4．【知识点】利用分式运算化简求值；解一元一次不等式组【解析】【分析】（1）先求出不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，再求解即可；（2）先化简分式，再将a的值代入计算求解即可。18．为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图“平均每天观看冬奥会时长”频数分布表观看时长（分）频数（人）频率0＜x≤1520.0515＜x≤3060.1530＜x≤4518a45＜x≤60 0.2560＜x≤7540.1（1）频数分布表中，a＝▲，请将频数分布直方图补充完整；（2）九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的有 人；（3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用树状图或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．【答案】（1）解：调查的总人数有：2÷0.05＝40（人），a＝＝0.45，45＜x≤60的人数有：40×0.25＝10（人），补全统计图如下：（2）52（3）解：画树状图得：n∵共有12种情况，恰好抽到甲、乙两名同学的是2种，∴P（恰好抽到甲、乙两名同学）＝＝．【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；列表法与树状图法【解析】【解答】解：（2）解：估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的有：520×0.1＝52（人）；故答案为：52．【分析】（1）根据统计图中的数据计算求解即可；（2）根据题意求出520×0.1＝52（人）即可作答；（3）先画树状图，再求出共有12种等可能的情况，恰好抽到甲、乙两名同学的是2种，最后求概率即可。19．旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）【答案】解：如图，设MN为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，ME为标杆影子，长为0.25m，作DF⊥CD交AE于点F，作FH⊥AB于点H，∵DFMN，∴＝，∴＝，∴DF＝5.6，∴BH＝DF＝5.6，在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°，tan∠AFH＝，∴tan80.5°＝≈6，∴AH≈7.2，∴旗杆AB的高度为5.6+7.2＝12.8（m）．所以，旗杆AB的高度为12.8m．【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。20．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图像交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．n（1）根据图像直接写出不等式＜ax+b的解集；（2）求反比例函数与一次函数的解析式；（3）点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．【答案】（1）解：当y＝的图像在y＝ax+b图像的下方时，＜ax+b成立，∴；（2）解：将A（﹣2，4）代入y＝得：﹣8＝m，∴反比例函数为：y＝﹣．将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝x+6；（3）解：在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，∴C（﹣6，0）．∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC＝OC×（yA﹣yB）＝×6×2＝6，∴S△AOP＝×6＝3，∵P在y轴上，∴OP×|xA|＝3，∴OP＝3．∴P（0，3）或（0，﹣3）．【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）根据函数图象求解集即可；（2）先求出反比例函数为：y＝﹣，再利用待定系数法求函数解析式即可；（3）结合题意，利用三角形的面积公式计算求解即可。21．如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长．【答案】（1）证明：如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC＝，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，∴n∠C＝∠ABD，在Rt△ABC中，AC＝＝，∵OA＝OB，BE＝CE，∴OE＝．【知识点】切线的判定；解直角三角形【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；（2）先求出∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，再利用锐角三角函数计算求解即可。22．某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．（1）求第二批每个挂件的进价；（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）解：设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，根据题意可得，，解得x＝40．经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，∴1.1x＝44．∴第二批每个挂件的进价为40元．（2）解：设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10+1440，∵﹣10＞0，∴当x≥52时，y随x的增大而减小，∵40+10（60﹣y）≤90，∴y≥55，∴当y＝55时，w取最大，此时w＝﹣10+1440＝1350．∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）先求出，再解方程即可；（2）先求出w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10+1440，再利用函数解析式计算求解即可。23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为．（2）解：设点，对于二次函数，当时，，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，，，轴，轴，，∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，解得或或或，则点的横坐标为1或2或或．n（3）解：①如图，当Q在BC下方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，设点的坐标为，则，解得，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得，解得或（即为点），则此时点的坐标为；②如图，当Q在BC上方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，同理可得：此时点的坐标为，综上，存在这样的点，点的坐标为或．【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出直线BC的解析式为，再列方程求解即可；（3）分类讨论，结合函数图象计算求解即可。24．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；②连接DM，求∠EMD的度数；③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．【答案】（1）AE＝CF；AE⊥CF（2）解：①（1）中的结论还成立，理由：同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠E＝∠F，∵∠F+∠ECF＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，∴△DEG≌△DFH（AAS），∴DG＝DH，又∵DG⊥AE，DH⊥CF，∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC＝90°，∴∠EMD＝∠EMC＝45°；n③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，又∵DM∴DG＝GM＝6，∵DE＝12，∴EG＝∴EM＝GM+EG＝6+6．【知识点】三角形全等的判定；三角形的综合【解析】【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，又∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DCF+∠DEA＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF．故答案为：AE＝CF，AE⊥CF；【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；（2）①先求出AE＝CF，∠E＝∠F，再求出∠EMC＝90°，最后证明求解即可；②先求出△DEG≌△DFH（AAS），再求解即可；③先求出DG＝GM，再利用勾股定理计算求解即可。
