湖南省益阳市2022年中考数学试卷一、单选题1．四个实数﹣，1，2，中，比0小的数是（）A．﹣B．1C．2D．【答案】A【知识点】实数大小的比较【解析】【解答】解：∵∴比0小的数是.故答案为：A.，【分析】利用实数的大小比较，负数都小于0，可得到已知数中比0小的数.下列各式中，运算结果等于a2的是（）A．a3﹣aB．a+aC．a•a【答案】CD．a6÷a3【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项；合并同类项法则及应用【解析】【解答】解：A、a3﹣a不能计算，故A不符合题意；B、a+a=2a，故A不符合题意；C、a•a=a2，故C符合题意；D、a6÷a3=a3，故D不符合题意；故答案为：C.【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用合并同类项的法则，可对B作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对C作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对D作出判断.3．若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（）A．B．C．D．【答案】D【知识点】解一元一次不等式组【解析】【解答】解：A、∵∴不等式组的解集为x＜-1，∴x=2不是此不等式组的解，故A不符合题意；B、，∴不等式组的解集为1＜x＜-1，∴x=2不是此不等式组的解，故B不符合题意；C、，∴此不等式组无解，∴x=2不是此不等式组的解，故C不符合题意；D、，∴此不等式组的解集为x＞1，∴x=2是此不等式组的解，故D符合题意；故答案为：D.【分析】分别求出每一个选项中的不等式组的解集，利用解集进行判断；利用不等式组的解集的确定方法：小小取小，可对A作出判断；利用大于小，小于大，中间找，可对B作出判断；利用大于大，小于小，找不了，可对C作出判断；利用大大取大，可对D作出判断.4．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（A．﹣1B．0C．1）D．2【答案】B【知识点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：∵x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，设另一个根为a，-1+a=-1解之：a=0，∴方程的另一个根为0.故答案为：B.【分析】利用一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=-p，据此设另一个根为a，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.5．已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（）x…﹣1012…ny…﹣2024…A．y＝2xB．y＝x﹣1C．y＝D．y＝x2【答案】A【知识点】用关系式表示变量间的关系【解析】【解答】解：∵当x=-1时y=-1×2=-2；当x=1时y=1×2=2；当x=2时y=2×2=4…∴y与x的表达式为y=2x.故答案为：A.【分析】观察表中每一组x，y的对应值，可知y是x的2倍，可得答案.在某市组织的物理实验操作考试中，考试所用实验室共有24个测试位，分成6组，同组4个测试位各有一道相同试题，各组的试题不同，分别标记为A，B，C，D，E，F，考生从中随机抽取一道试题，则某个考生抽到试题A的概率为（）B．C．D．【答案】C【知识点】简单事件概率的计算【解析】【解答】解：∵考试所用实验室共有24个测试位，分成6组，同组4个测试位各有一道相同试题，分别标记为A，B，C，D，E，F，考生从中随机抽取一道试题，∴某个考生抽到试题A的概率.故答案为：C.7．如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（）∴CD＝AB＝8，AB∥CD，【分析】利用已知条件可知一共有24种结果数，某个考生抽到试题A的情况有4种，再利用概率公式进行计∴BE＝AB−AE＝5；算.∵CF∥DE，AB∥CD，A．1B．2C．3D．4【答案】B【知识点】一元一次不等式组的应用；几何体的展开图；三角形三边关系【解析】【解答】解：由题意可知长为6的线段围成的等腰三角形的腰长为a，则底边长为6-2a，∴解之：∴图中a的值可以是2.故答案为：B.【分析】由题意可知长为6的线段围成的等腰三角形的腰长为a，则底边长为6-2a，利用三角形的三边关系定理及三角形的边长为正数，可得到关于a的不等式组，解不等式组求出a的取值范围，对照各选项，可得到可能的a的值，8．如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（）A．5B．4C．3D．2【答案】C【知识点】平行四边形的判定与性质【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF＝8，∴BF＝EF−BE＝8−5＝3.故答案为：C.【分析】利用平行四边形的性质可证得CD＝AB＝8，AB∥CD，由此可求出BE的长；再利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形DEFC是平行四边形，利用平行四边形的对边相等，可求出EF的长，根据BF＝EF−BE，代入计算求出BF的长.n9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（）A．I到AB，AC边的距离相等B．CI平分∠ACBC．I是△ABC的内心D．I到A，B，C三点的距离相等【答案】D【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心；角平分线的定义【解析】【解答】解：A、∵BD平分∠ABC，I是BD上的一点∴I到AB，AC边的距离相等，故A不符合题意；B、由作图可知，AE是∠BAC的平分线，∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点I，∴CI平分∠ACB，故B不符合题意；C，∵I是△ABC的三个角的平分线的交点，∴I是△ABC的内心，故C不符合题意；D、∵I到AB，AC，BC的距离相等，∴I不是到A，B，C三点的距离相等，故D符合题意故答案为：D.【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可对A作出判断；由作图可知，AE是∠BAC的平分线，根据三角形三条角平分线交于一点I，可对B作出判断；再根据三角形的三个角的平分线的交点是三角形的内心，可对C作出判断；利用角平分线的性质，可对D作出判断.10．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）A．①②③【答案】BB．①②④C．①③④D．②③④【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；旋转的性质【解析】【解答】解：∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正确；∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，∴∠BAB′＝50°，∴∠B′AC＝∠BAB′−∠CAB＝50°-20°=30°，∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC，∴AC∥C′B′．故②正确；在△BAB′中，∵AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°−50°）＝65°，∴∠BB′C′＝∠AB′B＋∠AB′C′＝65°＋30°＝95°，∴C′B′与BB′不垂直．故③错误；在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′＝（180°−50°）＝65°，∴∠ABB′＝∠ACC′，故④正确.∴正确结论的序号为：①②④.故答案为：B.【分析】利用性质的性质可证得BC＝B′C′可对①作出判断；利用旋转的性质可得到∠BAB′＝50°，由此可求出∠B′AC的度数，同时可推出∠AB′C′＝∠B′AC，利用内错角相等，两直线平行，可对②作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠AB′B的度数，由此可求出∠可得到∠BB′C′的度数，可对③作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠ACC′的度数，可证得∠ABB′＝∠ACC′，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.二、填空题n11．的绝对值是.【答案】1【知识点】绝对值及有理数的绝对值；立方根及开立方【解析】【解答】解：∵（-1）3=-1∴=-1故的绝对值是1故答案为：1.【分析】根据立方根的定义及绝对值的性质即可求解.12．计算：﹣＝．【答案】2【知识点】分式的加减法【解析】【解答】解：原式=.故答案为：2.【分析】利用同分母分式相减，分母不变，把分子相减，然后约分化简.13．已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是．【答案】3【知识点】因式分解的应用【解析】【解答】解：4m2﹣n2=（2m+n）（2m-n）=3×1=3.故答案为：3.【分析】利用平方差公式将代数式分解因式，然后整体代入求值.14．反比例函数y＝的图像分布情况如图所示，则k的值可以是（写出一个符合条件的k值即可）．【答案】1（答案不唯一）【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质【解析】【解答】∵反比例函数y＝的图象分支在第二，四象限，∴k-2＜0解之：k＜2.∴k的值可用是1.故答案为：1（答案不唯一）.【分析】观察函数图象可知反比例函数y＝的图象分支在第二，四象限，可得到k-2＜0，解不等式求出k的取值范围，可得到k的值.15．如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34，公路PB的走向是南偏东56，则这两条公路的夹角∠APB＝°．【答案】90【知识点】钟面角、方位角【解析】【解答】解：如图，∵公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，∴∠APC=34°，∠BPC=56°，∴∠APB=34°+56°=90°.故答案为：90.n【分析】利用方位角的定义，结合已知条件：公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，可求出∠APB的度数.16．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有只A种候鸟．【答案】800【知识点】用样本估计总体【解析】【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟，根据题意得解之：x=800.故答案为：800.【分析】设该湿地约有x只A种候鸟，根据题意可得到关于x的方程，解方程求出x的值.17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝．【答案】【知识点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，∴∠A+∠B=90°，∴.故答案为：.【分析】利用锐角三角函数的定义，可求出cosB的值.18．如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是．【答案】4【知识点】勾股定理；正方形的性质；平移的性质【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，AB=3，∴2AB2=AC2=18，解之：；∵将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，∴；∵AA′＝AC=∴A′C=AC-AA′=∴所得正方形与原正方形重叠部分是正方形，其面积为.故答案为：4.【分析】利用正方形的性质和勾股定理求出AC的长，利用平移的性质可求出A′C′的长；利用已知求出AA′的长，根据A′C=AC-AA′，可求出A′C的长；然后可证得所得正方形与原正方形重叠部分是正方形，即可求出阴影部分的面积.三、解答题19．计算：（﹣2022）0+6×（﹣）+÷．【答案】解：（﹣2022）0+6×（﹣）+÷＝1+（﹣3）+＝0【知识点】实数的运算【解析】【分析】先算乘方和开方运算，再算乘法运算，然后合并即可.20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．n【答案】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE，在△CED和△ABC中，，∴△CED≌△ABC（ASA）．【知识点】垂线；平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】利用垂直的定义可证得∠DEC＝∠B，利用平行线的性质可推出∠A＝∠DCE；然后利用ASA可（1）求点A′的坐标；（2）确定直线A′B对应的函数表达式．【答案】（1）解：令y＝0，则x+1＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴A′（2，0）．（2）解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【分析】（1）由y=0可求出对应的x的值，可得到点A的坐标，利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到点A′的坐标.（2）设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，将点A′和点B的坐标代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到直线A′B的函数解析式.22．为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；统计量平均数众数中位数方差（1）班88c1.16（2）班ab81.56证得结论.21．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．【答案】（1）解：由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；（2）解：由题意知：a＝＝8；∵9分占总体的百分比为28%是最大的，∴9分的人数是最多的，∴众数为9分，即b＝9；由题意可知，（1）班的成绩按照从小到大排列后，中间两个数都是8，∴c＝＝8；答：a，b，c的值分别为8，9，8；（3）解：∵（1）班的方差为1.16，（2）班的方差为1.56，且1.16＜1.56，∴根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势【解析】【分析】（1）利用（1）班和（2）班人数相等，利用条形统计图可求出（2）班的人数；再利用扇形统计图，列式计算求出（2）班学生中测试成绩为10分的人数.n（2）利用平均数公式求出a的值；利用众数就是一组数据中出现次数最多的数，可求出b的值；然后利用中位数的定义求出c的值.（3）利用方差越小，成绩越稳定，比较两个班的方差大小，可作出判断.23．如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．（1）求证：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝﹣2＝2π﹣2，答：阴影部分的面积是（3）解：由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝BC•AC＝×2×2＝2，∴阴影部分的面积是2π﹣2．【知识点】圆的综合题；解直角三角形【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可知∠ACB=90°，利用圆的切线垂直于过切点的半径，可证得∠OCP=90°，利用余角的性质可证得结论.由（1）知∠ACO＝∠BCP，结合已知条件可证得∠ABC＝2∠ACO，利用等腰三角形的性质可得到∠ACO＝∠A，由此可推出∠ABC＝2∠A，利用三角形的内角和定理求出∠A和∠ABC的度数；再求出∠BCP的度数，然后利用三角形的外角的性质，可求出∠P的度数.利用解直角三角形求出AC，BC的长；再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积；然后利用半圆的面积减去△ABC的面积，可求出阴影部分的面积.24．在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？【答案】（1）解：设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，依题意得：0.4，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．（2）解：设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，依题意得：3%×10y＋2%×6×≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小时．【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：乙每小时收割的亩数比甲少40%；两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；再利用包含了两个已知条件，据此设未知数，列方程，然后求出方程的解.（2）设安排甲收割y小时，可表示出安排乙收割的时间，根据要求平均损失率不超过2.4%，建立关于y的不等式，然后求出不等式的最大值即可.25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．（1）求a的值；（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．n【答案】（1）解：由题意可知，抛物线抛物线上，，（2）解：直线与抛物线，，的顶点的坐标为，点在．分别交于点，，，，，当时，的最大值为，的最大值为4，（3）解：存在，理由如下：设点的坐标为，则，解得，，．，，点在轴正半轴上，且，，，，，．如图，过点作轴的垂线，分别过点，作轴的平行线，与分别交于，，，，，，，，，即．，，，解得．．【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）将抛物线E的函数解析式转化为顶点式，可得到点P的坐标；再根据点P在抛物线F上，将其代入，可得到关于m的方程，解方程求出a的值.（2）将x=t代入两个抛物线的解析式，求出对应的y的值；再根据s＝yA﹣yB，代入可得到s与t的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质及s的最大值为4，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.（3）设点M的坐标为n，可表示出点M，Q的坐标；利用点Q在x轴的正半轴，可得到关于m的不等式，求出m的取值范围；同时可得到关于n的方程，解方程表示出n，代入可表示出点M，Q的坐标；过点Q作KN⊥x轴，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于点K，N，利用余角的性质可证得∠QPK=∠GQN，可得到△PKQ∽△QNG，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，建立关于MQ的方程，解方程求出QM的长，即可得到点G的坐标.26．如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？【答案】（1）解：（任意回答一个即可）；△AFB∽△BCE；△AFB∽△BGC（2）解：∵四边形AFCC'是平行四边形，∴AF＝CC'，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴，即，设AF＝5x，BG＝3x，∴CC'＝AF＝5x，∵CG＝C'G，∴CG＝C'G＝2.5x，∵△AFB∽△BCE∽△BGC，∴，即，∴CE＝7.5；（3）解：分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，∵C'G⊥BE，∴BG＝GF，∵CG＝C'G，∴四边形BCFC'是菱形，∴CF＝CB＝9，由（2）知：设AF＝5x，BG＝3x，∴BF＝6x，∵△AFB∽△BCE，∴，即，∴，∴CE＝；②当C'F＝nBF时，如图3，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴，设BF＝5a，CG＝3a，∴C'F＝5a，∵CG＝C'G，BE⊥CC'，∴CF＝C'F＝5a，∴FG＝＝4a，∵tan∠CBE＝，∴，∴CE＝3；综上，当CE的长为长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合【解析】【解答】解：(1)（任意回答一个即可）；①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，∴∠BEC＝∠ABF，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠BCE＝90°，∴△AFB∽△BCE；②△AFB∽△CGE，理由如下：∵CG⊥BE，∴∠CGE＝90°，∴∠CGE＝∠AFB，∵∠CEG＝∠ABF，∴△AFB∽△CGE；③△AFB∽△BGC，理由如下：∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，∴∠ABF＝∠BCG，∵∠AFB＝∠CGB＝90°，∴△AFB∽△BGC；【分析】利用矩形的性质可证得DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，利用平行线的性质可得到∠BEC＝∠ABF，利用垂直的定义可推出∠AFB＝∠BCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AFB∽△BCE；利用垂直的定义可证得∠CGE＝∠AFB，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AFB∽△CGE；利用余角的性质可知∠ABF＝∠BCG，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AFB∽△BGC.（2）利用平行四边形的性质，可证得AF＝CC'；由△AFB∽△BGC，利用相似三角形的对应边成比例，可得到AF与BG的比值，设AF＝5x，BG＝3x，可表示出CC′，CG的长，然后利用相似三角形的对应边成比例，可求出CE的长.（3）利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当C'F＝BC'时，如图2，利用有一组邻边相等的四边形是菱形，可证得四边形BCFC'是菱形，利用菱形的性质可得到CF的长；再由△AFB∽△BC，可得比例式，即可求出CE的长；当C'F＝BF时，由△AFB∽△BGC，利用相似三角形的性质可得到BF，CG的比值，设BF＝5a，CG＝3a，可表示出CF，C′F的长，利用勾股定理表示出FG的长；再利用锐角三角函数的定义，可求出CE的长；综上所述可得到符合题意的CE的长.
