热点七 几何体与球切、接的问题 <br /> <br /> 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. <br />首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 <br />定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. <br />1 球与柱体的切接 <br /> 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. <br />1.1 球与正方体 <br /> 如图所示，正方体，设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题. <br /> <br /> <br />（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合； <br />数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有. <br /> <br />（2）正方体的外接球，如图2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合； <br />数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有. <br /> <br />（3）正方体的棱切球，如图3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； <br /> <br />数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有. <br /> <br />例 1【2018届福建省三明市A片区高中联盟校高三上学期期末】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） <br /> <br />A. B. C. D. <br />【答案】D <br /> <br /> <br />【针对练习】 <br />1.如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实(虚)线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为 <br /> <br />A．36π B． 32π C．9π D．8π <br />答案及解析： <br />1.B <br />几何体的直观图如图所示为三棱锥，三棱锥中， <br />，所以外接球的直径为，则半径，所以外接球的表面积,故选B. <br /> <br /> <br />1.1 球与长方体 <br />例 2 自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值． <br />【答案】. <br />【解析】以为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径． <br />=． <br /> <br /> <br />例 3【2018届二轮复习专题】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( ) <br />A. 8π B. 12π <br />C. 20π D. 24π <br />【答案】C <br /> <br /> <br />【针对练习】 1.已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将△ABC折成直二面角，则过A，B，C，D四点的球的表面积为 <br />A. 2π B. 3π C. 4π D. 5π <br />答案及解析： <br />1.D折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为， 故其外接球的半...
