数列的综合应用问题 <br />一、选择题(每小题5分，共25分) <br />1．设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3是递增数列”的 <br />( )． <br />A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 <br />C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 <br />2．在等差数列{an}中，若a1，a2 011为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 006＋a2 010＝ <br />( )． <br />A．10 B．15 C．20 D．40 <br />3．已知正项组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a6·a15的最大值为 <br />( )． <br />A．25 B．50 C．100 D．不存在 <br />4．已知数列{an}的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直线的斜率为3n－2，则a2＋a4＋a5＋a9的值等于 <br />( )． <br />A．52 B．40 C．26 D．20 <br />5．已知各项都是正数的等比数列{an}中，存在两项am，an(m，n∈N*)使得＝4a1，且a7＝a6＋2a5，则＋的最小值是 <br />( )． <br />A. B. C. D. <br />二、填空题(每小题5分，共15分) <br />6．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到4.9之间的学生数为b，则a，b的值分别为________． <br /> <br /> <br />7．在等比数列{an}中，首项a1＝，a4＝(1＋2x)dx，则公比q为________． <br />8．已知数列{an}中，a1＝1，且P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，若函数f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*，且n≥2)，函数f(n)的最小值是________． <br />三、解答题(本题共3小题，共35分) <br />9．(11分)已知数列{an}是等差数列，满足a2＝5，a4＝13.数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn＋bn＝3. <br />(1)求数列{an}及数列{bn}的通项公式； <br />(2)若cn＝an·bn，试比较cn与cn＋1的大小． <br />10．(12分)首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(a＋3)，n∈N*. <br />(1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数； <br />(2)若对一切n∈N*都有an＋1＞an，求a1的取值范围． <br />11．(12分)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. <br /> <br />第一列 <br />第二列 <br />第三列 <br />第一行 <br /> 3 <br /> 2 <br /> 10 <br />第二行 <br /> 6 <br /> 4 <br /> 14 <br />第三行 <br /> 9 <br /> 8 <br /> 18 <br />(1)求数列{an}的通项公式； <br />(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn. <br /> <br />参考答案 <br />1．C [“a1＜a2＜a3”⇔“数列{an}是递增数列”．] <br />2．B [由题意，知a1＋a2 011＝a2＋a2 010＝2a1 006＝10，所以a2＋a1 006＋a2 010＝15，故选B.] <br />3．A [S20＝＝10(a1＋a20)＝100，故a6＋a15＝a1＋a20＝10，a6·a15≤（）2＝25.] <br />4．B [由题意得，＝3n－2，∴Sn＋1－Sn＝3n－2，即an＋1＝3n－2，∴an＝3n－5，因此数列{an}是等差数列，a5＝10，而a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝4a5＝40，故选B.] <br />5．A [记等比数列{an}的公比为q(q＞0)，依题意有a5q2＝a5q＋2a5，由a5≠0，得q2－q－2＝0，解得q＝2， <br />又(a1·2m－1)·(a1·2n－1)＝16a， <br />即2m＋n－2＝24，∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6， <br />∴＋＝（＋）(m＋n)＝[5＋（＋）]≥ <br />(5＋4)＝.] <br />6．解析 第一组的频数为：0.1×0.1×200＝2， <br />第二组的频数为：0.3×0.1×200＝6， <br />故第三组的频数为：18，第四组的频数为：54. <br />∴a＝＝0.27.后五组的频数共有：200－80＝120. <br />又后六组成等差数列，所以第七组的频数为24，第五、六组的频数共为78，故b＝54＋78＝132. <br />答案 0.27,132 <br />7．解析 a4＝＝(4＋42)－(1＋12)＝18，∴q3＝＝27，∴q＝3. <br />答案 3 <br /> <br /> <br />8．解析 由题意知，an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，数列{an}是等差数列，公差d＝1，an＝n，当n≥2时，f(n)＝＋＋＋…＋， f(n＋1)－f(n)＝＋＋＋…＋－（＋＋＋…＋）＝＋－＝－＞0，∴f(2)＜f(3)＜…，∴[f(n)]min＝f(2)＝＋＝. <br />答案 <br />9．解 (1) a2＝5，a4＝13，∴a4＝a2＋2d，即13＝5＋2d. <br />∴d＝4，∴a1＝1...
