高考数学理用空间向量法解决立体几何问题目二轮提高练习题目

用空间向量法解决立体几何问题 <br />一、选择题(每小题5分，共25分)‎ <br />‎1．如图所示，正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A‎1M＝AN＝，则MN与平面BB‎1C1C的位置关系是 <br />‎(　　)．‎ <br /> <br />A．相交 B．平行 <br />C．垂直 D．不能确定 <br />‎2．在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 <br />‎(　　)．‎ <br />A. B. C. D. <br />‎3．已知正三棱柱ABCA1B‎1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC‎1A1所成角的正弦等于 <br />‎(　　)．‎ <br />A. B. C. D. <br />‎4．过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是 <br />‎(　　)．‎ <br /> <br />A．30° B．45° C．60° D．90°‎ <br />‎5．如图所示，正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是 <br />‎(　　)．‎ <br /> <br /> <br />A．AC⊥BE <br />B．EF∥平面ABCD <br />C．三棱锥ABEF的体积为定值 <br />D．异面直线AE，BF所成的角为定值 <br />二、填空题(每小题5分，共15分)‎ <br />‎6．在空间四边形ABCD中，＝a－‎2c，＝‎5a＋6b－‎8c，对角线AC、BD的中点分别为P、Q，则＝________.‎ <br />‎7．到正方体ABCDA1B‎1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点：①有且只有1个；②有且只有2个；③有且只有3个；④有无数个．其中正确答案的序号是________．‎ <br />‎8．已知ABCDA1B‎1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②&middot;(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCDA1B‎1C1D1的体积为|&middot;&middot;|.其中正确命题的序号是________．‎ <br />三、解答题(本题共3小题，共35分)‎ <br />‎9．(11分)如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝2，M，N分别为PB，PD的中点．‎ <br /> <br />‎(1)证明：MN∥平面ABCD；‎ <br />‎(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值．‎ <br />‎10．(12分)如图，已知斜三棱柱ABCA1B‎1C1的底面是正三角形，侧面ABB‎1A1是菱形，且∠A1AB <br /> <br />‎＝60°，M是A1B1的中点，MB⊥AC.‎ <br />‎(1)求证：MB⊥平面ABC；‎ <br />‎(2)求二面角A1BB‎1C的余弦值．‎ <br /> <br />‎11．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2.E是PB的中点．‎ <br />‎(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ <br />‎(2)若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ <br /> <br /> <br /> <br /> <br />参考答案 <br />‎1．B　[＝＋＋＝＋＋ <br />‎＝(＋)＋＋(＋)‎ <br />‎＝＋＋，‎ <br />又是平面BB‎1C1C的一个法向量，‎ <br />且&middot;＝＋＋&middot;＝0，‎ <br />‎∴⊥，又MN⊄面BB‎1C1C，∴MN∥平面BB‎1C1C.]‎ <br />‎2．D　[连A‎1C1与B1D1交与O点，再连BO， AB＝BC，‎ <br />‎∴⇒C1O⊥面DD1BB1，则∠OBC1为BC1与平面BB1D1D所成角．‎ <br />cos∠OBC1＝，OC1＝，BC1＝，‎ <br />‎∴cos∠OBC1＝＝.]‎ <br />‎3．A　[如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，A(0，－1,0)，‎ <br />B1(，0,2)，则＝(，1,2)，‎ <br /> <br />O(0,0,0)，B(，0,0)，‎ <br />则＝(－，0,0)为侧面ACC‎1A1的法向量由sin θ＝＝.]‎ <br />‎4．B　[建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角(锐角)的余弦值为＝，故所求的二面角的大小是45°.]‎ <br /> <br /> <br />‎5．D　[ AC⊥平面BB1D1D，‎ <br />又BE⊂平面BB1D1D.‎ <br />‎∴AC⊥BE，故A正确．‎ <br />‎ B1D1∥平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，‎ <br />‎∴EF∥平面ABCD，故B正确．‎ <br />C中由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故VABEF为定值．‎ <br />‎①当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，‎ <br />建立空间直角坐标系，如图所示，‎ <br />可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，‎ <br />E(1,0,1)，F，，1，‎ <br />‎∴＝(0，－1,1)，‎ <br />＝，－，1，‎ <br />‎∴&middot;＝.‎ <br />又|AE|＝，|BF|＝，‎ <br />‎∴cos〈，〉＝＝＝.‎ <br />‎∴此时异面直线AE与BF成30°角．‎ <br />‎②当点E为D1B1的中点，‎ <br />点F在B1处时，此时E，，1，F(0,1,1)，‎ <br />‎∴＝－，－，1，＝(0,0,1)，‎ <br />‎∴&middot;＝1，||＝ ＝，‎ <br /> <br />‎∴cos〈，〉＝＝＝≠，故选D.]‎ <br />‎6．解析　如图．‎ <br /> <br />＝＋＋，＝＋＋ <br />...