专题二 三角函数 <br />第2讲 三角恒等变换与解三角形 <br /> <br />一、选择题 <br />1．(2016·河南中原名校3月联考)函数f(x)＝sin 2x＋tancos 2x的最小正周期为( ) <br />A. B．π C．2π D．4π <br />解析：∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin， <br />∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π. <br />答案：B <br />2．(2016·全国Ⅱ卷)若cos＝，则sin 2α＝( ) <br />A. B. C．－ D．－ <br />解析：∵cos＝， <br />∴sin 2α＝cos＝cos2＝ <br />2cos2－1＝2×－1＝－. <br />答案：D <br />3．(2016·山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( ) <br /> <br />(导学号 55460111) <br />A. B. C. D. <br />解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A，∴2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，∴sin A＝cos A，即tan A＝1，又0<A<π，∴A＝. <br />答案：C <br />4．已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )(导学号 55460112) <br />A. B. C. D.或 <br />解析：依题意得sinβ＝，cos β＝.注意到sin(α＋β)＝<sinβ，因此有α＋β>(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝. <br />答案：A <br />二、填空题 <br />5．(2016·浙江卷)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________． <br />解析：∵2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin＋1＝A <br /> <br />sin(ωx＋φ)＋b，∴A＝，b＝1. <br />答案： 1 <br />6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(2c＋b)·sin C，则A＝________． <br />解析：根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－，又A为三角形的内角，故A＝120°. <br />答案：120° <br />7.如图，山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米． <br /> <br />解析：如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°. <br />∵∠ADC＝150°，∴∠ADB＝30°.∴∠DAB＝180°－120°－30°＝30°. <br />由正弦定理，可得＝. <br />∴＝，得AD＝400(米)． <br />在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米)．故索道AC的长为 <br /> <br />400米． <br />答案：400 <br />三、解答题 <br />8．(2015·全国Ⅰ卷)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C. <br />(导学号 55460113) <br />(1)若a＝b，求cos B； <br />(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积． <br />解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac. <br />又a＝b，可得b＝2c，a＝2c. <br />由余弦定理可得cos B＝＝. <br />(2)由(1)知b2＝2ac. <br />∵B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2， <br />故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝. <br />∴△ABC的面积为××＝1. <br />9．(2016·四川卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝. <br />(导学号 55460114) <br />(1)证明：sin Asin B＝sin C； <br />(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B. <br /> <br />(1)证明：根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)，则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C. <br />代入＋＝中， <br />有＋＝， <br />变形可得sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)． <br />在△ABC中，由A＋B＋C＝π， <br />有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， <br />∴sin Asin B＝sin C. <br />(2)解：由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有 <br />cos A＝＝， <br />∴sin A＝＝. <br />由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， <br />∴sin B＝cos B＋sin B， <br />故tan B＝＝4. <br />10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝＋. <br />(1)证明：a＋b＝2c； <br /> <br />(2)求cos C的最小值． <br />(1)证明：由题意知2＝＋ <br />， <br />化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B， <br />即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B. <br />∵A＋B＋C＝π， <br />∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， <br />从而sin A＋sin B＝2sin C， <br />由正弦定理得a＋b＝2c. <br />(2)解：由(1)知c＝， <br />∴cos C＝＝＝ <br />－≥， <br />当且仅当a＝b时，等号成立， <br />故cos C的最小值为. <br /> <br /> <br />
