(三)应用题 <br />1．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付． <br />(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？ <br />(2)设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y(元)关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ <br />解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 <br />P＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)． <br />(2)①当x≤7时，y＝360x＋10x＋236＝370x＋236， <br />②当x>7时，y＝360x＋236＋70＋6[(x－7)＋(x－6)＋…＋2＋1]＝3x2＋321x＋432， <br />∴y＝ <br />∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元． <br />f(x)＝ <br />当x≤7时，f(x)＝370＋，当且仅当x＝7时，f(x)有最小值≈404(元)； <br />当x＞7时，f(x)＝＝3＋321≥393. <br />当且仅当x＝12时取等号． <br /> 393<404，∴当x＝12时f(x)有最小值393元． <br />2．南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(亿立方米)关于t的近似函数的关系式为 <br />V(t)＝ <br />(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以i－1<t<i表示第i月份(i＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月是衰退期？ <br />(2)求一年内该地区冰川的最大体积． <br />解 (1)当0<t≤10时，V(t)＝－t3＋11t2－24t＋100<100，化简得t2－11t＋24>0，解得t<3或t>8. <br />又0<t≤10，故0<t<3或8<t≤10， <br />当10<t≤12时，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋100<100， <br />解得10<t<，又10<t≤12，故10<t≤12. <br /> <br />综上得0<t<3或8<t≤12. <br />所以衰退期为1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月共7个月． <br />(2)由(1)知，V(t)的最大值只能在(3,9)内取到． <br />由V′(t)＝(－t3＋11t2－24t＋100)′＝－3t2＋22t－24， <br />令V′(t)＝0，解得t＝6或t＝(舍去)． <br />当t变化时，V′(t)与V(t)的变化情况如下表： <br />t <br />(3,6) <br />6 <br />(6,9) <br />V′(t) <br />＋ <br />0 <br />－ <br />V(t) <br />↗ <br />极大值 <br />↘ <br /> <br />由上表，V(t)在t＝6时取得最大值V(6)＝136(亿立方米)． <br />故该冰川的最大体积为136亿立方米． <br />3．如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北α角方向的OB.位于该市的某大学M与市中心O的距离OM＝3 km，且∠AOM＝β.现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M.其中tan α＝2，cos β＝，AO＝15 km. <br /> <br />(1)求大学M与站A的距离AM； <br />(2)求铁路AB段的长AB. <br />解 (1)在△AOM中，AO＝15，∠AOM＝β且cos β＝，OM＝3， <br />由余弦定理，得 <br />AM2＝OA2＋OM2－2OA·OM·cos∠AOM <br />＝152＋(3)2－2×15×3× <br />＝13×9＋15×15－2×3×15×3＝72. <br />∴AM＝6，即大学M与站A的距离AM为6 km. <br />(2) cos β＝，且β为锐角，∴sin β＝， <br />在△AOM中，由正弦定理，得＝， <br /> <br />即＝，sin∠MAO＝， <br />∴∠MAO＝，∴∠ABO＝α－， <br /> tan α＝2，∴sin α＝，cos α＝， <br />∴sin∠ABO＝sin＝， <br />又∠AOB＝π－α，∴sin∠AOB＝sin(π－α)＝. <br />在△AOB中，OA＝15，由正弦定理，得 <br />＝，即＝， <br />∴AB＝30，即铁路AB段的长为30 km. <br />4．(2017·江苏苏州大学指导卷)如图，某地区有一块长方形植物园ABCD，AB＝8(百米)，BC＝4(百米)．植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG，满足下列要求：E在CD的延长线上，H在BA的延长线上，DE＝0.5(百米)，AH＝4(百米)，N为AH的中点，FN⊥AH，EF为曲线段，它上面的任意一点到AD与AH的距离的乘积为定值，FG，GH均为线段，GH⊥HA，GH＝0.5(百米)． <br /> <br />(1)求四边形FGHN的面积； <br />(2)已知音乐广场M在AB上，AM＝2(百米)，若计划在EFG的某一处P开一个植物园大门，在原植物园ABCD内选一点Q为中心建一个休息区，使得QM＝PM，且∠QMP＝90°，问点...
