第21讲 平行与垂直问题 <br />【课前热身】 <br />1、D 2、B 3、C 4、③④ 5、①③④ <br />例1：证法一 证明：在面AC中，过N作BC的平行线交AB于Q， <br />则NQ // BC,连结MQ. 在面AC中， <br />在面APB中， MQ // PB <br />又 NQ // BC, 面MNQ // 面PBC <br />直线MN面MNQ MN // 面PBC <br />证法二 <br />证明： <br /> <br /> <br />在BC上取一点E，使， <br /> MN//PE，MN//平面PBC。 <br />MM <br />例2（1）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， <br />∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1； <br />（2）解法1 设CB1与C1B的交点为E，连结DE， <br /> D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1； <br />解法2 取A1B1中点M，连结C1M，AM、 <br />DM，易证四边形ADB1M，CDMC1是平 <br />行四边形，得到AM//DB1，C1M//CD，从而得到AM//平面CDB1，C1M//平面CDB1 <br /> <br /> (3)∠DEC为所求的异面直线所成的角。其余弦值为. <br />A <br />B <br />C <br />D <br />A1 <br />B1 <br />C1 <br />D1 <br />E <br />F <br />例3：解法一：（1）取A1B1中点M，连结AM、MC1，设MC1与B1D1相交于点E＇。 ，∴B1E=2 E′D1，又 D1E=2EB1，∴E′与E重合，∴M、E、C1共线，且。同理，M、F、A三点共线， <br />且。∴，∴EF∥AC1， <br />（2）连结A1C1， <br /> EF是两异面直线B1D1、A1B1的公垂线段，∴EF⊥B1D1，EF⊥A1B。前面已证EF∥AC1，∴AC1⊥B1D1。 <br />又 AA1⊥平面A1B1C1D1，∴A1C1⊥B1D1，∴A1B1C1D1为正方形，同理，A1B1BA为正方形。∴A1B1=A1A。 ∴该长方体为正方体。 <br />解法二：（1）如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系。设DA=a，DC=b，DD1=c，则E（），F（），，。，，∴，∴∥。 <br /> FE与AC1不共线，∴FE∥AC1。 <br />（2） D1（0，0，c），B1（a，b，c），A1（a，0，c），B（a，b，0）， <br />∴=（a，b，0），=（0，b，－c）， <br /> EF是两异面直线B1D1、A1B的公垂线段， <br />∴EF⊥B1D1，EF⊥A1B。 <br />∴，， <br />∴，b2－c2=0，∴a=b=c。 <br />∴该长方体为正方体。 <br />解法三：（1）设，， <br />则 <br /> <br /> <br />又 ， ∴ ∴A1C∥FE <br />（2）由题意知EF是B1D、A1B的公垂线。 <br />即：AC1⊥B1D且AC1⊥A1B <br />=0 =0 <br /> 即 <br /> =0 <br />∴ ∴该长方体为正方体。 <br />备用题：解法一 作法：①B作BG交于G；②过G作GM // AD交于M； <br />③连BM，则BM即为所求作 证明： 连BD 正方体ABCD-中，E,F为AB和BC的中点 ，又面ABCD EFBM <br />又GM // AD 面 而 <br /> 又 面 <br />解法二 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系， <br />设正方体棱长为1，则, 设M，于是,,, <br /> <br />恒成立，要使BM平面，只需, <br />即,而 <br /> <br />故当M是的中点时，BM。 <br />冲刺强化训练（21） <br />1、D 2、D 3、A 4、（1）③⑤（2）②⑤ 5、 <br />6．解法一 <br />（1） 证明：延长PG交 AB于D，过D作DM于M。 <br />由G是三角形APB的重心 D是AB中点。 <br />又APPB DM // AP M是PB的中点 <br /> GF // DM GFPB <br />又CPPA, CPPB CP面APB CPGF <br />又PB交CP于P GF面PBC <br />又GF面GEF 面GEF面PBC <br />(2) 解：P-ABC是正三棱锥 PC=PB= a <br />BC=a BE= , BF=， <br /> ∽， EFBC, <br />又GF面PBC GE BC <br />过G点作GH // AB 交PB于H, 连EH: <br /> EH // Pc EH面APB， 又PGAB GH EGPG <br />EG是PG和BC的公垂线。 <br />解法二 <br />证明：（1）将正三棱锥如图放置在坐标系中，使点为坐标原点， <br />并设, <br />则 <br />, <br />.由于平面， <br />平面，于是平面平面。 <br />（2） <br /> <br />是和的公垂线。 <br />7、解：(1)取B’D’的中点E，连CE，可以证明OA’∥CE，从而可证得OA’∥平面B’CD’ <br /> <br /> <br />(2)取A’B’的中点M，则CM⊥平...
