1 已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）． <br />（Ⅰ）求的通项公式； <br />（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值； <br />（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn <br />求证：． <br />解：（Ⅰ）∴ <br />当时， <br />，即是等比数列． ∴； <br />（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列， <br /> 则有而 <br />故，解得， <br />再将代入得成立， <br />所以． <br />（III）证明：由（Ⅱ）知，所以 <br /> <br />， <br />由得 <br />所以， <br />从而 <br /> <br /> <br />． <br />即． <br /> <br />2 数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列。 <br />（I）求的值； <br />（II）求的通项公式。 <br />解：（I），，，因为，，成等比数列， <br />所以，解得或． <br />当时，，不符合题意舍去，故． <br />（II）当时，由于，， <br />，所以。 <br />又，，故．当n=1时，上式也成立，所以 <br /> <br />3 已知数列中， <br />（1）求证：数列与都是等比数列；（2）求数列前的和； <br />（3）若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。 <br />解：（1） ，∴ <br /> <br />∴数列是以1为首项，为公比的等比数列； <br />数列是以为首项，为公比的等比数列。 <br />（2） <br /> <br />（3） <br />当且仅当时取等号，所以，即，∴的最大值为－48 <br /> <br /> <br />4 已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且. <br /> （1） 求数列，的通项公式； <br /> （2） 记,求证：. <br />解：（Ⅰ） a3，a5是方程的两根，且数列的公差d>0， <br />∴a3=5，a5=9，公差 <br />∴ <br />又当n=1时，有b1=S1=1－ <br />当 <br />∴数列{bn}是等比数列， <br />∴ <br />（Ⅱ）由（Ⅰ）知 <br /> <br />∴ <br />∴ <br /> <br />5 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为． <br /> （1）求数列的通项公式． <br /> （2）若，求数列的前项和． <br /> （3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式. <br />解：（1）点都在函数的图像上，, <br />当时， <br />当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为 <br /> （2）由求导可得 <br />过点的切线的斜率为，. <br />. <br />① <br />由①×4，得 <br />② <br />①-②得： <br /> <br /> <br /> （3）,. <br /> <br />又，其中是中的最小数，. <br />是公差是4的倍数，. <br />又，,解得ｍ＝27. <br />所以， <br />设等差数列的公差为，则 <br />，所以的通项公式为 <br /> <br />6 已知是数列的前项和，，且，其中. <br />(1)求数列的通项公式； <br />(2)求 . <br />解：① <br /> <br />又也满足上式，（） <br />数列是公比为2，首项为的等比数列 <br /> <br />② <br />② <br /> <br /> <br /> <br />7 函数对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝. <br /> （1）求的值； <br /> （2）数列的通项公式。 <br /> <br /> （3）令试比较Tn与Sn的大小。 <br />解：（1）令 <br />令 <br />（2） <br />又，两式相加 <br /> <br /> <br /> <br />是等差数列 <br />（3） <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />8、已知数列中，其前n项和为 满足． <br />（1）试求数列的通项公式． <br />（2）令是数列的前n项和，证明：． <br /> <br />（3）证明:对任意的，均存在，使得（2）中的成立． <br />解：（1）由得 <br />，，即 <br />又， <br /> <br /> <br />故数列的通项公式为． <br />（2） <br /> <br /> <br />（3）证明：由（2）可知 <br />若,则得,化简得 <br />， <br />当，即 <br />当，即 <br />，取即可, <br />综上可知,对任意的均存在使得时（2）中的成立 <br /> <br />9 已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1＝2,nan＋1＝Sn＋n(n＋1). <br /> <br /> （1）求数列； <br /> （2）设 <br />解：（1） <br /> <br /> （2） <br /> <br />10 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标是(，－)，且f(3)＝2 <br /> （1）求y＝f(x)的表达式，并求出f(1),f(2)的值； <br /> （2）数列，若对任意的实数，其中是定义在实数集R上的一个函数，求数列的通项公式； <br />解：（1） <br /> <br /> （2）令 <br /> <br /> <br />11 已知数列{an}满足a1＝5,a2＝5,an＋1＝an＋6an－1(n≥2且n∈N*) <br /> （1）求出所有使数列值，并说明理由； <br /> （2）求数列的通项公式； <br /> ...
