第二讲 圆锥曲线的概念及性质 <br />一、选择题 <br />1．(2010·安徽)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( ) <br />A.B.C.D．(，0) <br />解析： 原方程可化为－＝1，a2＝1， <br />b2＝，c2＝a2＋b2＝， <br />∴右焦点为. <br />答案：C <br />2．(2010·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个 <br />焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( ) <br />A.－＝1B.－＝1 <br />C.－＝1D.－＝1 <br />解析： 渐近线方程是y＝x，∴＝.① <br /> 双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上， <br />∴c＝6.② <br />又c2＝a2＋b2，③ <br />由①②③知，a2＝9，b2＝27， <br />此双曲线方程为－＝1. <br />答案：B <br /> <br /> <br /> <br />4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l， <br />A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( ) <br />A．4B．8C．8D．16 <br />解析：解法一：AF直线方程为： <br />y＝－(x－2)， <br />当x＝－2时，y＝4，∴A(－2,4)． <br />当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6， <br />∴P(6,4)， <br />∴|PF|＝|PA|＝6－(－2)＝8.故选B. <br /> <br />解法二： PA⊥l，∴PA∥x轴． <br />又 ∠AFO＝60°，∴∠FAP＝60°， <br />又由抛物线定义知PA＝PF， <br />∴△PAF为等边三角形． <br /> <br />又在Rt△AFF′中，FF′＝4， <br />∴FA＝8，∴PA＝8.故选B. <br />答案：B <br />5．高8m和4m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10m，则地面上观察两旗杆 <br />顶端仰角相等的点的轨迹为( ) <br />A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线 <br />解析：如图1，假设AB、CD分别为高4m、8m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆 <br />顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，＝，从而 <br />PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图 <br />2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得＝2 <br />化简得x2＋y2＋x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆． <br /> <br />答案：A <br />二、填空题 <br /> <br />解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c<b⇒c2<b2＝a2－c2⇒e2<，又 <br />e∈(0,1)，所以e∈. <br />答案： <br />7．(2010·浙江)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在 <br />抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________． <br />解析：F，则B， <br />∴2p×＝1，解得p＝. <br />∴B，因此B到该抛物线的准线的距离为＋＝. <br />答案： <br /> <br />8．(2010·北京)已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同， <br />那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________． <br />解析： 椭圆＋＝1的焦点为(±4,0)，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)， <br />∴c＝4，＝2，c2＝a2＋b2， <br />∴a＝2，b2＝12， <br />∴双曲线方程为－＝1， <br />∴渐近线方程为y＝±x＝±x， <br />即x±y＝0. <br />答案：(±4,0) x±y＝0 <br /> <br />即xD＝，由椭圆的第二定义得|FD|＝e＝a－.又由|BF|＝2|FD|，得a＝ <br />2a－，整理得a2＝3c2， <br />即e2＝，解得e＝. <br />答案： <br />三、解答题 <br />10．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和， <br />过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程． <br /> <br />解：解法一：设椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点 <br />分别为F1、F2，则由题意，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，∴a＝.在方程＋＝1 <br />中，令x＝±c，得|y|＝.在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.依题意知＝， <br />∴b2＝.即椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. <br />解法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2， <br />则|PF1|＝，|PF2|＝. <br />由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，即a＝. <br />由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴． <br />故在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝， <br />∴c2＝，于是b2＝a2－c2＝. <br />又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋ <br />＝1或＋＝1. <br />11．(2010·湖北)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到 <br />y轴距离的差都是1. <br />(1)求曲线C的方程； <br />(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线， <br />都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． <br />解：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足－x＝1(x>0)， <br />化简得y2＝4x(x>0)．...
