高考第二轮复习理数专题十七随机变量及其分布列

2017 年高考第二轮复习 <br />（理数）专题十七 随机变量及其分布列 <br />1．(2014&middot;课标Ⅱ，5，易)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良 <br />的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6.已知某天的空气质量为优良，则随 <br />后一天的空气质量为优良的概率是(　　) <br />A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 <br />1．A　设&ldquo;一天的空气质量为优良&rdquo;为事件 A，&ldquo;连续两天为优良&rdquo;为事件 AB，则 <br />已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为 P(B|A)．由条 <br />件概率可知，P(B|A)＝P（AB） <br />P（A） ＝ 0.6 <br />0.75 <br />＝4 <br />5 <br />＝0.8，故选 A. <br />2．(2015&middot;湖南，18，12 分，中)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的 <br />商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红 <br />球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球．在摸出的 2 个球中，若都是红球， <br />则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． <br />(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； <br />(2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X.求 X <br />的分布列和数学期望． <br />2．解：(1)记事件 A1＝{从甲箱中摸出的 1 个球是红球}， <br />A2＝{从乙箱中摸出的 1 个球是红球}， <br />B1＝{顾客抽奖 1 次获一等奖}， <br />B2＝{顾客抽奖 1 次获二等奖}， <br />C＝{顾客抽奖 1 次能获奖}． <br />由题意，A1 与 A2 相互独立，A1A <br />－ <br /> 2 与 A <br />－ <br /> 1A2 互斥，B1 与 B2 互斥，且 B1＝A1A2，B2＝A1A <br />－ <br /> 2＋A <br />－ <br /> <br />1A2，C＝B1＋B2. <br />因为 P(A1)＝ 4 <br />10 <br />＝2 <br />5 <br />，P(A2)＝ 5 <br />10 <br />＝1 <br />2 <br />，所以 P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2) <br />＝2 <br />5×1 <br />2 <br />＝1 <br />5 <br />， <br />P(B2)＝P(A1A <br />－ <br /> 2＋A <br />－ <br /> 1A2) <br />＝P(A1A <br />－ <br /> 2)＋P(A <br />－ <br /> 1A2) <br />＝P(A1)P(A <br />－ <br /> 2)＋P(A <br />－ <br /> 1)P(A2) <br />＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2) <br />＝2 <br />5×(1－1 <br />2)＋(1－2 <br />5)×1 <br />2 <br />＝1 <br />2. <br />故所求概率为 P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝1 <br />5 <br />＋1 <br />2 <br />＝ 7 <br />10. <br />(2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖 1 次获一等奖的 <br />概率为1 <br />5 <br />，所以 X～B(3，1 <br />5). <br />于是 <br />P(X＝0)＝C03(1 <br />5 )0 <br /> (4 <br />5 )3 <br /> <br />＝ 64 <br />125 <br />， <br />P(X＝1)＝C13(1 <br />5 )1 <br /> (4 <br />5 )2 <br /> <br />＝ 48 <br />125 <br />， <br />P(X＝2)＝C23(1 <br />5 )2 <br /> (4 <br />5 )1 <br /> <br />＝ 12 <br />125 <br />， <br />P(X＝3)＝C33(1 <br />5 )3 <br /> (4 <br />5 )0 <br /> <br />＝ 1 <br />125. <br />故 X 的分布列为 <br />X 0 1 2 3 <br />P 64 <br />125 <br />48 <br />125 <br />12 <br />125 <br />1 <br />125 <br />X 的数学期望为 E(X)＝3×1 <br />5 <br />＝3 <br />5. <br />3．(2014&middot;山东，18，12 分，中)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图， <br />甲上有两个不相交的区域 A，B，乙被划分为两个不相交的区域 C，D.某次测试 <br />要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在 C 上记 3 <br />分，在 D 上记 1 分，其他情况记 0 分．对落点在 A 上的来球，队员小明回球的 <br />落点在 C 上的概率为1 <br />2 <br />，在 D 上的概率为1 <br />3 <br />；对落点在 B 上的来球，小明回球的 <br />落点在 C 上的概率为1 <br />5 <br />，在 D 上的概率为3 <br />5.假设共有两次来球且落在 A，B 上各 <br />一次，小明的两次回球互不影响．求： <br />(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； <br />(2)两次回球结束后，小明得分之和 ξ 的分布列与数学期望． <br />3．解：记 Ai 为事件&ldquo;小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分&rdquo;(i＝0，1，3)， <br />则 P(A3)＝1 <br />2 <br />，P(A1)＝1 <br />3 <br />，P(A0)＝1－1 <br />2 <br />－1 <br />3 <br />＝1 <br />6 <br />； <br />记 Bi 为事件&ldquo;小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 i 分&rdquo;(i＝0，1，3)， <br />则 P(B3)＝1 <br />5 <br />，P(B1)＝3 <br />5 <br />，P(B0)＝1－1 <br />5 <br />－3 <br />5 <br />＝1 <br />5. <br />(1)记 D 为事件&ldquo;小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上&rdquo;． <br />由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3， <br />由事件的独立性和互斥性，得 <br />P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3) <br />＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3) <br />＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)&middot;P(B1)＋P(A0)P(B3) <br />＝1 <br />2×1 <br />5 <br />＋1 <br />3×1 <br />5 <br />＋1 <br />6×3 <br />5 <br />＋1 <br />6×1 <br />5 <br />＝ 3 <br />10 <br />，所以小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙 <br />上的概率为 3 <br />10. <br />(2)由题意，随机变量 ξ 可能的取值为 0，1，2，3，4，...