<br /> 一、能力突破训练<br />1.已知 M={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且 M∩N=⌀,则实数 a的取值范围是( )<br /> <br />A.a>2 B.a<-2<br />C.a>2或 a<-2 D.-2<a<2<br />答案：C<br />解析：M∩N=⌀等价于方程组无解.<br />把 y=x+a代入到方程 x2+y2=2中,消去 y,<br />得关于 x的一元二次方程 2x2+2ax+a2-2=0,①<br />由题易知一元二次方程①无实根,即Δ=(2a)2-4×2×(a2-2)<0,<br />由此解得 a>2或 a<-2.<br />2.若直线 y=x+b被圆 x2+y2=1所截得的弦长不小于 1,则 b的取值范围是( )<br />A.[-1,1] B.<br />C. D.<br />答案：D<br />解析：由弦长不小于 1可知圆心到直线的距离不大于,即≤,解得-≤b≤.<br />3.设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为,则点 P 横<br />坐标的取值范围为( )<br />A. B.[-1,0]<br />C.[0,1] D.<br />答案：A<br />解析：设 P(x0,y0),倾斜角为α,0≤tan α≤1,y=f(x)=x2+2x+3,f'(x)=2x+2,<br />0≤2x0+2≤1,-1≤x0≤-,故选 A.<br />4.设 a=(sin 17°+cos 17°),b=2cos213°-1,c=,则 a,b,c的大小关系是( )<br />A.c<a<b B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a<br />答案：A<br />解析： a=sin(17°+45°)=sin 62°,<br />b=cos 26°=sin 64°,c=sin 60°,∴c<a<b.<br />5.已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=3,且 f(x)的导数 f'(x)在 R 上恒有<br />f'(x)<2(x∈R),则不等式 f(x)<2x+1的解集为( )<br />A.(1,+∞) B.(-∞,-1)<br />C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)<br />答案：A<br />解析：设 F(x)=f(x)-2x-1,则 F'(x)=f'(x)-2<0,得 F(x)在 R上是减函数.<br />又 F(1)=f(1)-2-1=0,即当 x>1时,F(x)<0,不等式 f(x)<2x+1的解集为(1,+∞),故选 A.<br />6.已知函数 f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则 f(lg(lg 2))=( )<br />A.-5 B.-1 C.3 D.4<br />答案：C<br />解析：因为 lg(log210)+lg(lg 2)=lg(log210×lg 2)=lg=lg 1=0,所以 lg(lg 2)=-lg(log210).<br />设 lg(log210)=t,则 lg(lg 2)=-t.由条件可知 f(t)=5,即 f(t)=at3+bsin t+4=5,所以<br />at3+bsin t=1,所以 f(-t)=-at3-bsin t+4=-1+4=3.<br />7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离<br />为 1,则实数 c的取值范围是 . <br />答案：(-13,13)<br /> <br /> <br />解析：若圆上有四个点到直线的距离为 1,则需圆心(0,0)到直线的距离 d满足 0≤d<1.<br /> d==,<br />∴0≤|c|<13,即 c∈(-13,13).<br />8.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2,若对任意 x∈[a,a+2],不等式<br />f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数 a的取值范围是 . <br />答案：(-∞,-5]<br />解析：当 x≥0时,f(x)=x2,此时函数 f(x)单调递增.<br /> f(x)是定义在 R上的奇函数,<br />∴函数 f(x)在 R上单调递增.若对任意 x∈[a,a+2],不等式 f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,<br />则 x+a≥3x+1恒成立,即 a≥2x+1恒成立.<br /> x∈[a,a+2],∴(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,<br />即 a≥2a+5,解得 a≤-5,<br />∴实数 a的取值范围是(-∞,-5].<br />9.若对于任意 t∈[1,2],函数 g(x)=x3+x2-2x 在区间(t,3)内总不为单调函数,求实数 m 的取<br />值范围.<br />解 g'(x)=3x2+(m+4)x-2,若 g(x)在区间(t,3)内总为单调函数,则①g'(x)≥0 在区间(t,3)<br />内恒成立或②g'(x)≤0 在区间(t,3)内恒成立.<br />由①得 3x2+(m+4)x-2≥0,<br />即 m+4≥-3x在 x∈(t,3)内恒成立,<br />∴m+4≥-3t恒成立,则 m+4≥-1,即 m≥-5;<br />由②得 m+4≤-3x在 x∈(t,3)内恒成立,<br />则 m+4≤-9,即 m≤-.<br />故函数 g(x)在区间(t,3)内总不为单调函数的 m的取值范围为-<m<-5.<br />10.已知函数 f(x)=x3-2ax2-3x.<br />(1)当 a=0时,求曲线 y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;<br />(2)已知对一切 x∈(0,+∞),af'(x)+4a2x≥ln x-3a-1恒成立,求实数 a的取值范围.<br />解(1)由题意知当 a=0时,f(x)=x3-3x,<br />所以 f'(x)=2x2-3.<br />又 f(3)=9,f'(3)=15,<br />所以曲线 y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为 15x-y-36=0.<br />(2)f'(x)=2x2-4ax-3,则由题意得 2ax2+1≥ln x,即 a≥在 x∈(0,+∞)时恒成立.<br />设 g(x)=,则 g'(x)=,<br />当 0<x<时,g'(x)>0;当 x>时,g'(x)<0,<br />所以当 x=时,g(x)取得最大值,且 g(x)max=,<br />故实数 a的取值范围为.<br />...
