<br />第二部分 专题五 <br /> <br />1．(2018·北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE. <br /> <br />(1)求证：四边形ABCD是菱形； <br />(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长． <br /> (1)证明：∵AB∥CD， <br />∴∠OAB＝∠DCA. <br />∵AC为∠DAB的平分线， <br />∴∠OAB＝∠DAC， <br />∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB. <br />∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形． <br />∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形． <br />(2)解：∵四边形ABCD是菱形， <br />∴OA＝OC，BD⊥AC. <br />∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC. <br />∵BD＝2，∴OB＝BD＝1. <br />在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1， <br />∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2. <br />2．(2017·柳州)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，BE和AF交于点O，且AE＝DF. <br /> <br />(1)求证：△ABE≌△DAF； <br />(2)若BO＝4，OE＝2，求正方形ABCD的面积. <br />(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， <br />∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°. <br />在△ABE和△DAF中， <br />∴△ABE≌△DAF(SAS)． <br />(2)解：∵△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠FAD. <br />又∵∠FAD＋∠BAO＝90°， <br />∴∠ABO＋∠BAO＝90°， <br />∴∠AOB＝∠EAB＝90°，∴△ABO∽△EBA， <br />∴＝. <br />∵BO＝4，OE＝2，∴＝， <br />∴AB2＝24，∴正方形ABCD的面积是24. <br />3．(2017·百色)矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交BD于G，H两点． <br /> <br />求证：(1)四边形AFCE是平行四边形； <br />(2)EG＝FH. <br /> 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， <br />∴AD∥BC，AD＝BC. <br />∵E，F分别是AD，BC的中点， <br />∴AE＝AD，CF＝BC，∴AE＝CF， <br />∴四边形AFCE是平行四边形． <br />(2)∵四边形AFCE是平行四边形， <br />∴CE∥AF，∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF. <br />∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH， <br />在△DEG和△BFH中， <br />∴△DEG≌△BFH(AAS)，∴EG＝FH. <br />4．(2018·玉林适应性考试) 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.点P是AC上动点，∠CAB＝∠CAD，且AB＝10，cos∠CAB＝. <br /> <br />(1)求证：四边形ABCD是菱形； <br />(2)若点E是AB边上动点，连接PB，PE，求线段PE＋PB的最小值． <br />(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， <br />∴DC∥AB，∴∠CAB＝∠DCA. <br />∵∠CAB＝∠CAD，∴∠DCA＝∠CAD，∴CD＝AD， <br />∴四边形ABCD是菱形． <br />(2)解：如答图，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点P，连接BP，此时线段PE ＋PB的值最小， <br /> <br />且PE＋PB＝DE. <br />∵四边形ABCD是菱形， <br />∴AC⊥BD，BD＝2BO， <br />∴∠AOB＝90°. <br />∵AB＝10，cos∠CAB＝＝， <br />∴AO＝AB＝8， <br />∴BO＝6，BD＝2BO＝12. <br />∵∠DEB＝∠AOB＝90°， <br />∴∠BDE＝∠OAB， <br />∴DE＝DB·cos∠BDE＝12×＝， <br />∴线段PE＋PB的最小值为. <br />5．(2016·贵港)如图1，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H. <br /> <br />(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG. <br />①求证：△AGE≌△AFE； <br />②若BE＝2，DF＝3，求AH的长． <br />(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N.请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由. <br />解：(1)①证明：由旋转的性质知AF＝AG， <br />∠DAF＝∠BAG. <br />∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°. <br />又∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°. <br />∴∠BAG＋∠BAE＝45°，∴∠GAE＝∠FAE. <br />在△AGE和△AFE中， <br />∴△GAE≌△FAE(SAS)． <br />②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF， <br />∴AB＝AH，GE＝EF＝5. <br />设正方形的边长为x，则EC＝x－2，FC＝x－3. <br />在Rt△EFC中，EF2＝FC2＋EC2， <br />即(x－3)2＋(x－2)2＝25，解得x＝6(负值已舍去)． <br />∴AB＝6，∴AH＝6. <br /> (2)解：MN2＝ND2＋BM2.理由：如答图所示． <br />将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′. <br /> <br />∵四边形ABCD为正方形， <br />∴∠ABD＝∠ADB＝45°. <br />由旋转的性质可知， <br />∠ADM′＝∠ABM＝45°，BM＝DM′. <br />∴∠NDM′＝90°，∴NM′2＝ND2＋DM′2. <br />∵∠EAM′＝90°，∠EAF＝45°， <br />∴∠EAF＝∠FAM′＝45°. <br />在△AMN和△ANM′中， <br />∴△AMN≌△AM′N(SAS)．∴MN＝M′N. <br />又∵BM＝DM′，∴MN2＝ND2＋BM2. <br /> <br /> <br /> <br /> <br />4 <br /> <br />
