第19课时 抛物线中的一个动点问题 <br /> <br />(40分) <br /> 图6－3－1 <br />1．(20分)[2017·酒泉]如图6－3－1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A. <br />(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式； <br />(2)连结AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标； <br />(3)连结OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系． <br />【解析】 (1)用待定系数法，将点B，点C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋4，解得a，b，即可求出二次函数的表达式； <br />(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)，则BN＝n＋2，CN＝8－n.由题意可知，BC＝10，OA＝4，S△ABC＝20，S△ABN＝2(n＋2)，因MN∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得＝＝，由△AMN，△ABN是同高三角形，可得出＝＝＝，从而得出△AMN的面积S与n的二次函数关系式，根据二次函数的顶点性质，即可求出当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大； <br />(3)当N(3，0)时，N为BC边中点，由NM∥AC推出M为AB边中点，根据直角三角形中线定理可得OM＝AB，利用勾股定理，易得AB＝2，AC＝4，即可求出OM＝AC. <br />解：(1)将点B，点C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋4，得 <br />解得a＝－，b＝. <br />∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋4； <br />(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)； <br /> <br />则BN＝n＋2，CN＝8－n. <br /> B(－2，0)，C(8，0)，∴BC＝10. <br />令x＝0，得y＝4，∴A(0，4)，OA＝4， <br /> MN∥AC，∴＝＝. <br /> OA＝4，BC＝10，∴S△ABC＝BC·OA＝20. <br /> S△ABN＝BN·OA＝(n＋2)×4＝2(n＋2)， <br />又 ＝＝， <br />∴S△AMN＝S△ABN＝(8－n)(n＋2)＝－(n－3)2＋5. <br />∴当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大； <br />(3)当N(3，0)时，N为BC边中点．∴M为AB边中点， <br />∴OM＝AB， AB＝＝＝2， <br />AC＝＝＝4， <br />∴AB＝AC，∴OM＝AC. <br />图6－3－2 <br />2．(20分)[2016·贵港]如图6－3－2，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C. <br />(1)求该抛物线的表达式； <br />(2)若E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标； <br />(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． <br />解：(1)把A，B两点坐标代入表达式，可得 <br />解得 <br />∴抛物线的表达式为y＝x2＋x－5； <br /> <br />(2)在y＝x2＋x－5中，令x＝0，可得y＝－5， <br />∴点C坐标为(0，－5)， <br /> S△ABE＝S△ABC，且点E在x轴下方， <br />∴点E纵坐标和点C纵坐标相同， <br />当y＝－5时，代入可得x2＋x－5＝－5， <br />解得x＝－2或x＝0(舍去)， <br />∴点E坐标为(－2，－5)； <br />(3)假设存在满足条件的P点，其坐标为， <br />如答图，连结AP，CE，AE，过点E作ED⊥AC于点D，过点P作PQ⊥x轴于点Q， <br />第2题答图 <br />则AQ＝AO＋OQ＝5＋m， <br />PQ＝， <br />在Rt△AOC中，OA＝OC＝5， <br />则AC＝5，∠ACO＝∠DCE＝45°， <br />由(2)可得EC＝2，在Rt△EDC中，可得DE＝DC＝， <br />∴AD＝AC－DC＝5－＝4， <br />当∠BAP＝∠CAE时，则△EDA∽△PQA， <br />∴＝，即＝， <br />∴m2＋m－5＝(5＋m)或m2＋m－5＝－(5＋m)， <br />当m2＋m－5＝(5＋m)时，整理可得4m2＋5m－75＝0，解得m＝或m＝－5(与点A重合，舍去)， <br />当m2＋m－5＝－(5＋m)时，整理可得4m2＋11m－45＝0，解得m＝或m＝－5(与点A重合，舍去)， <br />∴存在满足条件的点P，其横坐标为或. <br /> <br />(40分) <br />图6－3－3 <br />3．(20分)[2016·南宁]如图6－3－3，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点． <br />(1)求抛物线的表达式及点C的坐标； <br />(2)求证：△ABC是直角三角形； <br />(3)若N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． <br />【解析】 (1) 顶点坐标为(1，1)， <br />∴设抛物线表达式为y＝a(x－1)2＋1， <br />又 抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1， <br />∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x， <br />联立抛物线和直线表达式，...
