第十五讲 二次函数的综合题及应用 <br />【重点考点例析】 <br /> 考点一：确定二次函数关系式 <br />例 1 （2017•牡丹江）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 过点 A（1，0）， <br />C（0，-3） <br />（1）求此二次函数的解析式； <br />（2）在抛物线上存在一点 P 使△ABP 的面积为 10，请直接写出点 P 的坐 <br />标． <br />思路分析：（1）利用待定系数法把 A（1，0），C（0，-3）代入）二次 <br />函数 y=x2+bx+c 中，即可算出 b、c 的值，进而得到函数解析式是 y=x2+2x-3； <br />（2）首先求出 A、B 两点坐标，再算出 AB 的长，再设 P（m，n），根据△ <br />ABP 的面积为 10 可以计算出 n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出 <br />m 的值即可得到 P 点坐标． <br />解：（1） 二次函数 y=x2+bx+c 过点 A（1，0），C（0，-3）， <br />∴ ， 解得 ， <br />∴二次函数的解析式为 y=x2+2x-3； <br />（2） 当 y=0 时，x2+2x-3=0， <br />解得：x1=-3，x2=1； <br />∴A（1，0），B（-3，0）， <br />∴AB=4， <br />设 P（m，n）， <br /> △ABP 的面积为 10， <br />∴ AB•|n|=10， <br />解得：n=±5， <br />当 n=5 时，m2+2m-3=5， <br />解得：m=-4 或 2， <br />∴P（-4，5）（2，5）； <br />当 n=-5 时，m2+2m-3=-5， <br />方程无解， <br />故 P（-4，5）（2，5）； <br />点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函 <br />数图象经过的点必能满足解析式． <br />对应训练 <br />1．（2017•湖州）已知抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（-1，0）． <br />（1）求抛物线的解析式； <br />（2）求抛物线的顶点坐标． <br />考点二：二次函数与 x 轴的交点问题 <br />例 2 （2017•苏州）已知二次函数 y=x2-3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交 <br />1 0 <br />3 <br />b c <br />c <br /> <br /> <br />2 <br />3 <br />b <br />c <br /> <br /> <br />1 <br />2 <br />点为（1，0），则关于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0 的两实数根是（ ） <br />A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3 <br />对应训练 <br />2．（2013•株洲）二次函数 y=2x2+mx+8 的图象如图所示，则 m 的值是（ ） <br />A．-8 B．8 <br />C．±8 D．6 <br />考点三：二次函数的实际应用 <br />例 3 （2017•营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠 <br />政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千 <br />克 20 元，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）有如下关 <br />系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为 w 元． <br />（1）求 w 与 x 之间的函数关系式． <br />（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ <br />（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28 元，该农户想要每天获得 150 元 <br />的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ <br />思路分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单 x，列出函数关系式； <br />（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值； <br />（3）把 y=150 代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求 x，根据 x 的取值范围求 x 的 <br />值． <br />解：（1）由题意得出： <br />w=（x-20）∙y <br />=（x-20）（-2x+80） <br />=-2x2+120x-1600， <br />故 w 与 x 的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600； <br />（2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200， <br /> -2＜0， <br />∴当 x=30 时，w 有最大值．w 最大值为 200． <br />答：该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200 元． <br />（3）当 w=150 时，可得方程-2（x-30）2+200=150． <br />解得 x^=25，x2=35． <br /> 35＞28， <br />∴x2=35 不符合题意，应舍去． <br />答：该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克 25 元． <br />点评：本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质 <br />解决问题． <br />对应训练 <br />3．（2017•武汉）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植 <br />物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： <br />温度 x/℃ … -4 -2 0 2 4 4.5 … <br />植物每天高度增长量 y/mm … 41 49 49 41 25...
