第15讲 等腰三角形 <br /> <br />考纲要求 <br />命题趋势 <br />1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定． <br />2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定． <br />3．掌握线段垂直平分线的性质及判定． <br />4．掌握角平分线的性质及判定. <br /> 等腰三角形的概念、性质、判定是中考的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有出现；等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也经常考查. <br /> <br />知识梳理 <br />一、等腰三角形 <br />1．等腰三角形的有关概念及分类 <br />有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底______的等腰三角形和______三角形． <br />2．等腰三角形的性质 <br />(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形． <br />3．等腰三角形的判定 <br />如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)． <br />二、等边三角形的性质与判定 <br />1．等边三角形的性质 <br />(1)等边三角形的内角相等，且都等于________；(2)等边三角形的三条边都________． <br />2．等边三角形的判定 <br />(1)________相等的三角形是等边三角形；(2)________相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为________的等腰三角形是等边三角形． <br />三、线段的垂直平分线 <br />1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫________． <br />2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________． <br /> <br />3．判定：到一条线段的两个端点__________的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合． <br />四、角的平分线 <br />1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离________． <br />2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合． <br />自主测试 <br />1．等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，那么，它的底边长为__________． <br />2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是__________． <br /> <br />3．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__________． <br />4．等腰三角形的底和腰是方程x2－6x＋8＝0的两根，则这个三角形的周长为( ) <br />A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定 <br /> <br />考点一、等腰三角形的性质与判定 <br />【例1】已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC. <br />(1)如图甲，若点O在边BC上，求证：AB＝AC； <br /> <br /> <br />解：(1)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC， <br />∴Rt△OEB≌Rt△OFC， <br />∴∠B＝∠C，从而AB＝AC. <br />(2)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF. <br /> <br />在Rt△OEB和Rt△OFC中， OE＝OF，OB＝OC， <br />∴Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠OBE＝∠OCF. <br />又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB， <br />∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC. <br />(3)不一定成立． <br />当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC <br /> <br />，如示例图． <br /> <br />方法总结 1．要证明一个三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种方法往往都需要证明三角形全等． <br />2．若三角形中出现了高线、中线或角平分线，有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用“三线合一”性质去处理． <br />触类旁通1 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD. <br /> <br />求证：(1)BC＝AD； <br />(2)△OAB是等腰三角形． <br />考点二、等边三角形的性质与判定 <br />【例2】(1)如图甲，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.求∠AEB的大小． <br />(2)如图乙，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转(△OAB和△OCD不能重叠)，求∠AEB的大小． <br /> <br />分析： <br /> <br />解决等边三角形问题时，要充分利用等边三...
