相交线与平行线目录一、相交线,垂线二、同位角、内错角、同旁内角三、平行线及其判定四、平行线的性质及平移五、《相交线与平行线》全章复习与巩固一、相交线,垂线基础知识讲解【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1.邻补角:如果两个角有一条公共边,并且它们的另一边互为反向延长线,那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.要点诠释:(1)邻补角的定义既包含了位置关系,又包含了数量关系:“邻”指的是位置相邻,“补”指的是两个角的和为180°.(2)邻补角是成对出现的,而且是“互为”邻补角.(3)互为邻补角的两个角一定互补,但互补的两个角不一定互为邻补角.(4)邻补角满足的条件:①有公共顶点;②有一条公共边,另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质:(1)定义:由两条直线相交构成的四个角中,有公共顶点没有公共边(相对)的两个角,互为对顶角.(2)性质:对顶角相等.要点诠释:(1)由定义可知只有两条直线相交时,才能产生对顶角.(2)对顶角满足的条件:①相等的两个角;②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3.邻补角与对顶角对比:角的名称特征性质相同点不同点对顶角①两条直线相交形成的角;②有一个公共顶点;③没有公共边.对顶角相等.①都是两条直线相交而成的角;②都有一个公共顶点;③都是成对出现的.①有无公共边;②两直线相交时,对顶角只有2对;邻补角有4对.邻补角①两条直线相交而成;②有一个公共顶点;③有一条公共边.邻补角互补.,知识点二、垂线1.垂线的定义:两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.要点诠释:(1)记法:直线a与b垂直,记作:;直线AB和CD垂直于点O,记作:AB⊥CD于点O.(2)垂直的定义具有二重性,既可以作垂直的判定,又可以作垂直的性质,即有:CD⊥AB.2.垂线的画法:过一点画已知直线的垂线,可通过直角三角板来画,具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合,沿直线左右移动三角板,使另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示).要点诠释:(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时,指的是它所在直线的垂线,垂足可能在射线的反向延长线上,也可能在线段的延长线上.(2)过直线外一点作已知直线的垂线,这点与垂足间的线段为垂线段.3.垂线的性质:(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.要点诠释:(1)性质(1)成立的前提是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示唯一,“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性.(2)性质(2)是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短.”实际上,连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4.点到直线的距离:定义:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.要点诠释:(1)点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是距离;(2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段的长度.【典型例题1】类型一、邻补角与对顶角,1.如图所示,M、N是直线AB上两点,∠1=∠2,问∠1与∠2,∠3与∠4是对顶角吗?∠1与∠5,∠3与∠6是邻补角吗?【答案与解析】解:∠1和∠2,∠3和∠4都不是对顶角.∠1与∠5,∠3与∠6也都不是邻补角.【总结升华】牢记两条直线相交,才能产生对顶角或邻补角.举一反三:【变式】判断正误:(1)如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角是对顶角.()(2)如果两个角相等,那么这两个角是对顶角.()(3)有一条公共边的两个角是邻补角.()(4)如果两个角是邻补角,那么它们一定互补.()(5)有一条公共边和公共顶点,且互为补角的两个角是邻补角.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×,反例:∠AOC为120°,射线OB为∠AOC的角平分线,∠AOB与∠AOC互补,且有边公共为AO,公共顶点为O,但它们不是邻补角.2.如图所示,直线AB、CD相交于点O,∠1=65°,求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解:∵∠1是∠2的邻补角,∠1=65°,∴∠2=180°-65°=115°.又∵∠1和∠3是对顶角,∠2与∠4是对顶角∴∠3=∠1=65°,∠4=∠2=115°.【总结升华】(1)两条直线相交所成的四个角中,只要已知其中一个角,就可以求出另外三角;(2)求出∠2后用“对顶角相等”,求∠3和∠4.举一反三:【变式】(2015•梧州)如图,已知直线AB与CD交于点O,ON平分∠DOB,若∠BOC=110°,则∠AON的度数为 度.,【答案】145.解:∵∠BOC=110°,∴∠BOD=70°,∵ON为∠BOD平分线,∴∠BON=∠DON=35°,∵∠BOC=∠AOD=110°,∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.3.任意画两条相交的直线,在形成的四个角中,两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系?根据这种位置关系将它们分类.【答案与解析】解:如图,任意两条相交直线,两两相配共组成6对角,在这6对角中,它们的位置关系有两种:①有公共顶点,一边重合,另一边互为反向延长线;②有公共顶点,角的两边互为反向延长线.这6对角为∠1与∠2,∠1与∠3,∠1与∠4,∠2与∠3,∠2与∠4,∠3与∠4,其中∠1=∠3,∠2=∠4,∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,∠1+∠4=180°,∠2+∠3=180°.在位置上∠1与∠3,∠2与∠4是对顶角,∠1与∠2,∠3与∠4,∠l与∠4,∠2与∠3是邻补角.【总结升华】两条相交的直线,两两相配共组成6对角,这6对角中有:4对邻补角,2对对顶角类型二、垂线4.下列语句中,正确的有()①一条直线的垂线只有一条;②在同一平面内,过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;③两直线相交,则交点叫垂足;④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】正确的是:②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.,举一反三:【变式1】直线外有一点P,则点P到直线的距离是().A.点P到直线的垂线的长度.B.点P到直线的垂线段.C.点P到直线的垂线段的长度.D.点P到直线的垂线.【答案】C5.(2015•河北模拟)如图,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,若∠1=145°,则∠3的度数为( ) A.35°B.45°C.55°D.65°【答案】C.【解析】解:∵∠1=145°,∴∠2=180°﹣145°=35°,∵CO⊥DO,∴∠COD=90°,∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义;弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键.举一反三:【变式】如图,直线AB和CD交于O点,OD平分∠BOF,OE⊥CD于点O,∠AOC=40°,则∠EOF=_______.【答案】130°.6.(2016春•抚州校级期中)如图,在铁路旁有一李庄,现要建一火车站,为了使李庄人乘车最方便,请你在铁路线上选一点来建火车站,应建在( ),A.A点B.B点C.C点D.D点【思路点拨】根据垂线段最短可得答案.【答案】A.【解析】解:根据垂线段最短可得:应建在A处,故选:A.【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质,关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.举一反三:【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线的垂线,这样的垂线能画出几条?(2)经过直线上一点A画的垂线,这样的垂线能画出几条?(3)经过直线外一点B画的垂线,这样的垂线能画出几条?【答案】解:(1)能画无数条;(2)能画一条;(3)能画一条.【典型例题】(进阶)类型一、邻补角与对顶角1.如图所示,AB和CD相交于点O,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,试说明OM和ON成一条直线。【答案与解析】解:∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOD(已知),∴∠AOC=2∠AOM,∠BOD=2∠BON(角平分线定义)。∵∠AOC=∠BOD(对顶角相等),∴∠AOM=∠BON(等量代换)。∵∠AON+∠BON=180°(邻补角定义),∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°(等量代换),∴OM和ON共线。【总结升华】要得出OM和ON成一条直线,就要说明∠MON是平角,从图中可以看出∠AON是∠MON和平角∠AOB的公共部分,所以只要证明它们的非公共部分相等,即∠AOM和∠BON相等,本题得证。2.如图所示,已知直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,∠2:∠1=4:l,求.,【答案与解析】解:设∠1=x,则∠2=4x.∵OE平分∠BOD,∴∠BOD=2∠1=2x.∵∠2+∠BOD=180°,即4x+2x=180°,∴x=30°.∵∠DOE+∠COE=180°,∴∠COE=150°.又∵OF平分∠COE,∴∠COF=∠COE=75°.∵∠AOC=∠BOD=60°,∴∠AOF=∠AOC+∠COF=60°+75°=135°.【总结升华】涉及有比值的题设条件,如a:b=m:n,在解题时设,,这是常用的用方程思想解题的方法.举一反三:【变式】已知α的补角是一个锐角,有3人在计算时的答案分别是32°、87°、58°,其中只有一个答案是正确的,求的度数.【答案】解法1:∵α的补角是一个锐角,∴α是一个钝角,即90°<α<180°,∴.由已知三人计算出的答案分别为32°、87°、58°,可知.∴.解法2:由题意可知是一个钝角,即.如果,那么,不满足;如果,那么,不满足;如果,那么,满足,,所以此人计算的答案正确.所以.【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时,常采用验算法,如本题的解法2:先利用假设求出相应的α的度数,再验证是否正确.3.(1)如图(1),已知直线a、b相交于点O,则(1)图中共有几对对顶角?几对邻补角?(2)如图(2),已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线,则图(2)中共有几对对顶角(不含平角)?几对邻补角?【答案与解析】解:(1)2对对顶角,4对邻补角。(2)将图(2)拆分为下图:通过观察图形.不难发现a、b、c、d四条直线两两相交,最多有6个交点,而由(1)知:每个交点处有两对对顶角,有四对邻补角,对顶角的对数:(对);邻补角的对数:(对)答:图中共有12对对顶角,24对邻补角【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动,将直线相交于一点转化为直线两两相交.这样移动,可将抽象的问题直观化.因为n条直线两两相交,最多有个交点.每个交点处有两组对顶角,故n条直线相交于一点共有n(n-1)对对顶角,2n(n-1)对邻补角。举一反三:【变式】(2015•青岛模拟)如图,直线AB与CD相交所成的四个角中,∠1的邻补角是 ,∠1的对顶角是 .【答案】∠2和∠4;∠3.由图形可知,∠1的对顶角是∠3,∠1的邻补角是∠2和∠4.类型二、垂线,4.下列语句:①两条直线相交,若其中一个交角是直角,那么这两条直线垂直。②一条直线的垂线有无数条。③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;④两条直线相交成四个角,如果有两个角相等,那么这两条直线垂直。其中正确的是__________。【答案】①②【解析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点,即过直线上或直线外任意一点,有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断。①正确;②正确,过任意一点都可以作;对于③只有在“同一平面内”才成立,因为空间内,当这点在直线上时,过这点并非只有一条直线与已知直线垂直,故③错误;④错误,必须是两个邻角相等,如下图:【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求:①关于垂线的定义:要判断两条直线是否垂直,只需看它们相交所成的四个角中,是否有一个角是直角,两条线段垂直,是指这两条线段所在的直线垂直;②关于垂线的性质:平面内,过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直,这条性质说明了已知直线的垂线的“存在性”和“唯一性”,尤其值得注意的是性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上,也可能在这条已知直线外。举一反三:【变式】在铁路旁有一城镇,现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路,这种方案是唯一的,是因为()A.经过两点有且只有一条直线B.两点之问的所有连线中,线段最短C.在同一平面内,两直线同时垂直同一条直线,则这两直线也互相垂直.D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D提示:注意区分直线性质与垂线性质5.(2016春•达州校级期中)如图所示,OA⊥OB,OC⊥OE,OD为∠BOC的平分线,∠BOE=20°,求∠DOE的度数.,【思路点拨】首先根据垂直定义以及角平分线的定义得出∠BOD的度数,进而得出∠DOE的度数.【答案与解析】解:∵OC⊥OE,∴∠COE=90°,∵∠BOE=20°,∴∠COB=90°+20°=110°,∵OD为∠BOC的平分线,∴∠BOD=55°,∴∠DOE=55°﹣20°=35°.【总结升华】此题主要考查了角平分线的定义以及垂直定义,正确求出∠COB的度数是解题关键.举一反三:【变式】如图,若OM平分∠AOB,且OM⊥ON,求证:ON平分∠BOC.【答案】解:如图,∵OM平分∠AOB∴∠1=∠2又∵OM⊥ON∴∠3=90°-∠2由图可得:∠4=180°-2∠2-∠3=180°-2∠2-(90°-∠2)=90°-∠2∴∠3=∠4∴ON平分∠BOC6.如图所示,一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶,M、N分别是位于公路两侧的村庄.(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时,距离村庄M最近;行驶到点Q位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹).,(2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近,而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论,不必说明)【答案与解析】解:(1)过点M作MP⊥AB,垂足为P,过点N作NQ⊥AB,垂足为Q,点P、Q就是要画的两点,如图所示.(2)当汽车从A向B行驶时,在AP这段路上,离两个村庄越来越近;在PQ这段路上,离村庄M越来越远,离村庄N越来越近.【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法.举一反三:【变式1】如图所示,过A点作AD⊥BC,垂足为D点.【答案】解:如图所示【变式2】点P为直线外一点:点A、B、C为直线上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线的距离是()A.2cmB.4cmC.5cmD.不超过2cm【答案】D.【典型例题2】类型一、邻补角与对顶角1.如图所示,AB和CD相交于点O,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,试说明OM和ON成一条直线。【答案与解析】,解:∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOD(已知),∴∠AOC=2∠AOM,∠BOD=2∠BON(角平分线定义)。∵∠AOC=∠BOD(对顶角相等),∴∠AOM=∠BON(等量代换)。∵∠AON+∠BON=180°(邻补角定义),∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°(等量代换),∴OM和ON共线。【总结升华】要得出OM和ON成一条直线,就要说明∠MON是平角,从图中可以看出∠AON是∠MON和平角∠AOB的公共部分,所以只要证明它们的非公共部分相等,即∠AOM和∠BON相等,本题得证。2.如图所示,已知直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,∠2:∠1=4:l,求.【答案与解析】解:设∠1=x,则∠2=4x.∵OE平分∠BOD,∴∠BOD=2∠1=2x.∵∠2+∠BOD=180°,即4x+2x=180°,∴x=30°.∵∠DOE+∠COE=180°,∴∠COE=150°.又∵OF平分∠COE,∴∠COF=∠COE=75°.∵∠AOC=∠BOD=60°,∴∠AOF=∠AOC+∠COF=60°+75°=135°.【总结升华】涉及有比值的题设条件,如a:b=m:n,在解题时设,,这是常用的用方程思想解题的方法.举一反三:【变式】已知α的补角是一个锐角,有3人在计算时的答案分别是32°、87°、58°,其中只有一个答案是正确的,求的度数.【答案】解法1:∵α的补角是一个锐角,∴α是一个钝角,即90°<α<180°,∴.由已知三人计算出的答案分别为32°、87°、58°,可知.,∴.解法2:由题意可知是一个钝角,即.如果,那么,不满足;如果,那么,不满足;如果,那么,满足,所以此人计算的答案正确.所以.【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时,常采用验算法,如本题的解法2:先利用假设求出相应的α的度数,再验证是否正确.3.(1)如图(1),已知直线a、b相交于点O,则(1)图中共有几对对顶角?几对邻补角?(2)如图(2),已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线,则图(2)中共有几对对顶角(不含平角)?几对邻补角?【答案与解析】解:(1)2对对顶角,4对邻补角。(2)将图(2)拆分为下图:通过观察图形.不难发现a、b、c、d四条直线两两相交,最多有6个交点,而由(1)知:每个交点处有两对对顶角,有四对邻补角,对顶角的对数:(对);邻补角的对数:(对)答:图中共有12对对顶角,24对邻补角【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动,将直线相交于一点转化为直线两两相交.这样移动,可将抽象的问题直观化.因为n条直线两两相交,最多有个交点.每个交点处有两组对顶角,故n条直线相交于一点共有n(n-1)对对顶角,2n(n-1)对邻补角。举一反三:,【变式】(2015•青岛模拟)如图,直线AB与CD相交所成的四个角中,∠1的邻补角是 ,∠1的对顶角是 .【答案】∠2和∠4;∠3.由图形可知,∠1的对顶角是∠3,∠1的邻补角是∠2和∠4.类型二、垂线4.下列语句:①两条直线相交,若其中一个交角是直角,那么这两条直线垂直。②一条直线的垂线有无数条。③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;④两条直线相交成四个角,如果有两个角相等,那么这两条直线垂直。其中正确的是__________。【答案】①②【解析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点,即过直线上或直线外任意一点,有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断。①正确;②正确,过任意一点都可以作;对于③只有在“同一平面内”才成立,因为空间内,当这点在直线上时,过这点并非只有一条直线与已知直线垂直,故③错误;④错误,必须是两个邻角相等,如下图:【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求:①关于垂线的定义:要判断两条直线是否垂直,只需看它们相交所成的四个角中,是否有一个角是直角,两条线段垂直,是指这两条线段所在的直线垂直;②关于垂线的性质:平面内,过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直,这条性质说明了已知直线的垂线的“存在性”和“唯一性”,尤其值得注意的是性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上,也可能在这条已知直线外。举一反三:【变式】在铁路旁有一城镇,现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路,这种方案是唯一的,是因为()A.经过两点有且只有一条直线B.两点之问的所有连线中,线段最短C.在同一平面内,两直线同时垂直同一条直线,则这两直线也互相垂直.D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D提示:注意区分直线性质与垂线性质,5.(2016春•达州校级期中)如图所示,OA⊥OB,OC⊥OE,OD为∠BOC的平分线,∠BOE=20°,求∠DOE的度数.【思路点拨】首先根据垂直定义以及角平分线的定义得出∠BOD的度数,进而得出∠DOE的度数.【答案与解析】解:∵OC⊥OE,∴∠COE=90°,∵∠BOE=20°,∴∠COB=90°+20°=110°,∵OD为∠BOC的平分线,∴∠BOD=55°,∴∠DOE=55°﹣20°=35°.【总结升华】此题主要考查了角平分线的定义以及垂直定义,正确求出∠COB的度数是解题关键.举一反三:【变式】如图,若OM平分∠AOB,且OM⊥ON,求证:ON平分∠BOC.【答案】解:如图,∵OM平分∠AOB∴∠1=∠2又∵OM⊥ON∴∠3=90°-∠2由图可得:∠4=180°-2∠2-∠3=180°-2∠2-(90°-∠2)=90°-∠2∴∠3=∠4,∴ON平分∠BOC6.如图所示,一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶,M、N分别是位于公路两侧的村庄.(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时,距离村庄M最近;行驶到点Q位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹).(2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近,而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论,不必说明)【答案与解析】解:(1)过点M作MP⊥AB,垂足为P,过点N作NQ⊥AB,垂足为Q,点P、Q就是要画的两点,如图所示.(2)当汽车从A向B行驶时,在AP这段路上,离两个村庄越来越近;在PQ这段路上,离村庄M越来越远,离村庄N越来越近.【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法.举一反三:【变式1】如图所示,过A点作AD⊥BC,垂足为D点.【答案】解:如图所示【变式2】点P为直线外一点:点A、B、C为直线上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线的距离是()A.2cmB.4cmC.5cmD.不超过2cm,【答案】D.二、同位角、内错角、同旁内角基础知识讲解【要点梳理】要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念1.“三线八角”模型如图,直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截),构成八个角,简称为“三线八角”,如图1.图1要点诠释:⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交.⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成.2.同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中,如上图1,(1)同位角:像∠1与∠5,这两个角分别在直线AB、CD的同一方,并且都在直线EF的同侧,具有这种位置关系的一对角叫做同位角.(2)内错角:像∠3与∠5,这两个角都在直线AB、CD之间,并且在直线EF的两侧,像这样的一对角叫做内错角.(3)同旁内角:像∠3和∠6都在直线AB、CD之间,并且在直线EF的同一旁,像这样的一对角叫做同旁内角.要点诠释:(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系,显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角,2对内错角,2对同旁内角.要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征,要点诠释:巧妙识别三线八角的两种方法:(1)巧记口诀来识别:一看三线,二找截线,三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系,我们可以在图形中标出方位,判断时依方位来识别,如图2.【典型例题】类型一、“三线八角”模型1.(1)图3中,∠1、∠2由直线被直线所截而成.,(2)图4中,AB为截线,∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角?【答案】(1)EF,CD;AB.(2)不是.【解析】(1)∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线,而另一边所在的直线为被截线.(2)因为∠D的两边都不在直线AB上,所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角.【总结升华】判断“三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线,哪条直线是截线.类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别2.如图,(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?(2)∠B与∠4是同旁内角,则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线?(3)∠B和∠E是同位角吗?为什么?【答案与解析】解:(1)DE为截线,∠E与∠3是同位角;(2)截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE;(3)不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角.【总结升华】确定角的关系的方法:(1)先找出截线,由截线与其它线相交得到的角有哪几个;(2)将这几个角抽出来,观察分析它们的位置关系;(3)再取其它的线为截线,再抽取与该截线相关的角来分析.举一反三:【变式】(2016春•邹城市校级期中)如图所示,下列说法错误的是( )A.∠1和∠3是同位角B.∠1和∠5是同位角C.∠1和∠2是同旁内角D.∠5和∠6是内错角,【答案】B解:从图上可以看出∠1和∠5不存在直接联系,而其它三个选项都符合各自角的定义,正确.3.(2014秋•太康县期末)如图,用数字标出的八个角中,同位角、内错角、同旁内角分别有哪些?请把它们一一写出来.【答案与解析】解:内错角:∠1与∠4,∠3与∠5,∠2与∠6,∠4与∠8;同旁内角:∠3与∠6,∠2与∠5,∠2与∠4,∠4与∠5;同位角:∠3与∠7,∠2与∠8,∠4与∠6.【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的,可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后,结论便一目了然.举一反三:【变式】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中,哪些是同位角?哪些是内错角?哪些是同旁内角?【答案】解:同位角:∠5与∠1,∠4与∠3;内错角:∠2与∠3,∠4与∠1;同旁内角:∠4与∠2,∠5与∠3,∠5与∠4.4.分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.【答案与解析】解:同位角:∠B与∠ACD,∠B与∠ECD;内错角:∠A与∠ACD,∠A与∠ACE;同旁内角:∠B与∠ACB,∠A与∠B,∠A与∠ACB,∠B与∠BCE.,【总结升华】在复杂图形中,分析同位角、内错角、同旁内角,应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形,并抽取交点处的角来分析.举一反三:【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角.【答案】解:∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8是同位角;∠2与∠8,∠3与∠5是内错角;∠2与∠5,∠3与∠8是同旁内角.类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系5.如图直线DE、BC被直线AB所截,(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角?每组中两角的大小关系如何?(2)如果∠1=∠4,那么∠1和∠2相等吗?∠1和∠3互补吗?为什么?【答案与解析】解:(1)∠1和∠2是内错角;∠1和∠3是同旁内角;∠1和∠4是同位角.每组中两角的大小均不确定.(2)∠1与∠2相等,∠1和∠3互补.理由如下:①∵∠1=∠4(已知)∠4=∠2(对顶角相等)∴∠1=∠2.②∵∠4+∠3=180°(邻补角定义)∠1=∠4(已知)∴∠1+∠3=180°即∠1和∠3互补.综上,如果∠1=∠4,那么∠1与∠2相等,∠1和∠3互补.【总结升华】,在“三线八角”中,如果有一对同位角相等,则其他对同位角也分别相等,并且所有的内错角相等,所有同旁内角互补.举一反三:【变式1】若∠1与∠2是内错角,则它们之间的关系是().A.∠1=∠2B.∠1>∠2C.∠1<∠2D.∠1=∠2或∠1>∠2或∠1<∠2【答案】D【变式2】下列命题:①两条直线相交,一角的两邻补角相等,则这两条直线垂直;②两条直线相交,一角与其邻补角相等,则这两条直线垂直;③内错角相等,则它们的角平分线互相垂直;④同旁内角互补,则它们的角平分线互相垂直,其中正确的个数为( ).A.4B.3C.2D.1【答案】C(提示:②④正确).二、平行线及其判定基础知识讲解【要点梳理】要点一、平行线的定义及画法1.定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线a与b平行,记作a∥b.要点诠释:(1)平行线的定义有三个特征:一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交,三者缺一不可;(2)有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行,两条线段不相交并不意味着它们就平行.(3)在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地,重合的直线视为一条直线,不属于上述任何一种位置关系.2.平行线的画法:用直尺和三角板作平行线的步骤:①落:用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠:用直尺紧靠三角板一条直角边.③推:沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画:沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.要点二、平行公理及推论1.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.2.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.要点诠释:(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质.(2)公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一.(3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点三、直线平行的判定,判定方法1:同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言:∵ ∠3=∠2∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)判定方法2:内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言:∵ ∠1=∠2∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)判定方法3:同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言:∵ ∠4+∠2=180°∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)要点诠释:平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形.【典型例题1】类型一、平行线的定义及表示1.下列叙述正确的是()A.两条直线不相交就平行B.在同一平面内,不相交的两条线叫做平行线C.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线D.在同一平面内,不相交的两条线段叫做平行线【答案】C【解析】在同一平面内两条直线的位置关系是不相交就平行,但在空间就不一定了,故A选项错;平行线是在同一平面内不相交的两条直线,不相交的两条曲线就不是平行线,故B选项错;平行线是针对两条直线而言.不相交的两条线段所在的直线不一定不相交,故D选项错.【总结升华】本例属于对概念的考查,应从平行线的概念入手进行判断.举一反三:【变式】(2015春•鞍山期末)下列说法错误的是( ) A.无数条直线可交于一点 B.直线的垂线有无数条,但过一点与垂直的直线只有一条 C.直线的平行线有无数条,但过直线外一点的平行线只有一条 D.互为邻补角的两个角一个是钝角,一个是锐角【答案】D类型二、平行公理及推论2.下列说法中正确的有(),①一条直线的平行线只有一条;②过一点与已知直线平行的直线只有一条;③因为a∥b,c∥d,所以a∥d;④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.A.1个B2个C.3个D.4个【答案】A【解析】一条直线的平行线有无数条,故①错;②中的点在直线外还是在直线上位置不明确,所以②错,③中b与c的位置关系不明确,所以③也是错误的;根据平行公理可知④正确,故选A.【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容,要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征,在理解的基础上记忆,在比较中理解.举一反三:【变式】直线a∥b,b∥c,则直线a与c的位置关系是.【答案】平行类型三、两直线平行的判定3.(2016•来宾)如图,在下列条件中,不能判定直线与平行的是( ) A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠3=∠5D.∠3+∠4=180°【思路点拨】根据平行线的判定方法进行判断.【答案】C【解析】解:∠3与∠5不是同位角,不是内错角,也不是同旁内角,所以∠3=∠5不能判定AB∥CD.【总结升华】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键,熟练掌握平行线的判定定理.举一反三:【变式1】如图,下列条件中,不能判断直线∥的是().A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=1800【答案】B【变式2】已知,如图,BE平分ÐABC,CF平分ÐBCD,Ð1=Ð2,求证:AB//CD.,【答案】∵Ð1=Ð2∴2Ð1=2Ð2,即∠ABC=∠BCD∴AB//CD(内错角相等,两直线平行)4.如图所示,由(1)∠1=∠3,(2)∠BAD=∠DCB,可以判定哪两条直线平行.【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”.【答案与解析】解:(1)由∠1=∠3,可判定AD∥BC(内错角相等,两直线平行);(2)由∠BAD=∠DCB,∠1=∠3得:∠2=∠BAD-∠1=∠DCB-∠3=∠4(等式性质),即∠2=∠4可以判定AB∥CD(内错角相等,两直线平行).综上,由(1)(2)可判定:AD∥BC,AB∥CD.【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法.即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论,再由这些结论推导出新的结论,直到得出结果.5.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么?【答案与解析】解:这两条直线平行.理由如下:如图:∵b⊥a,c⊥a∴∠1=∠2=90°,∴b∥c(同位角相等,两直线平行).【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.举一反三:【变式】已知,如图,EF^EG,GM^EG,Ð1=Ð2,AB与CD平行吗?请说明理由.【答案】解:AB∥CD.理由如下:如图:∵EF^EG,GM^EG(已知),∴∠FEQ=∠MGE=90°(垂直的定义).又∵∠1=∠2(已知),∴∠FEQ-∠1=∠MGE-∠2(等式性质),即∠3=∠4.∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).【典型例题2】类型一、平行线的定义及表示1.下列说法正确的是()A.不相交的两条线段是平行线.B.不相交的两条直线是平行线.C.不相交的两条射线是平行线.D.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.【答案】D【解析】平行线定义中三个关键词语:“同一平面内”,“不相交”,“两条直线”.【总结升华】本例属于对概念的考查,应从平行线的概念入手进行判断.类型二、平行公理及推论2.在同一平面内,下列说法:(1)过两点有且只有一条直线;(2)两条直线有且只有一个公共点;(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(4)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为:(),A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】正确的是:(1)(3).【总结升华】对平面几何中概念的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别.举一反三:【变式】(2015春•北京校级期中)下列命题中正确的有( )①相等的角是对顶角;②若a∥b,b∥c,则a∥c;③同位角相等; ④邻补角的平分线互相垂直. A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C类型三、两直线平行的判定3.(2016春·泰山区期末)下列图形中,由∠1=∠2,能推出AB∥CD的是( ) A.B.C.D.【答案】B【解析】如图所示:∵∠1=∠2(已知),∠2=∠3(对顶角相等)∴∠1=∠3∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行),故选B【总结升华】此题考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.举一反三:【变式】一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是()A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°C.第一次向右拐50°,第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°【答案】A,提示:“方向相同”有两层含义,即路线平行且方向相同,在此基础上准确画出示意图.图B显然不同向,因为路线不平行.图C中,∠1=180°-130°=50°,路线平行但不同向.图D中,∠1=180°-130°=50°,路线平行但不同向.只有图A路线平行且同向,故应选A.4.如图所示,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°.试说明AB∥EF的理由.【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来.【答案与解析】解法1:如图所示,在∠BCD的内部作∠BCM=25°,在∠CDE的内部作∠EDN=10°.∵∠B=25°,∠E=10°(已知),∴∠B=∠BCM,∠E=∠EDN(等量代换).∴AB∥CM,EF∥DN(内错角相等,两直线平行).又∵∠BCD=45°,∠CDE=30°(已知),∴∠DCM=20°,∠CDN=20°(等式性质).∴∠DCM=∠CDN(等量代换).∴CM∥DN(内错角相等,两直线平行).∵AB∥CM,EF∥DN(已证),∴AB∥EF(平行线的传递性).解法2:如图所示,分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点.,∵∠BCD=45°,∴∠NCB=135°.∵∠B=25°,∴∠CNB=180°-∠NCB-∠B=20°(三角形的内角和等于180°).又∵∠CDE=30°,∴∠EDM=150°.又∵∠E=10°,∴∠EMD=180°-∠EDM-∠E=20°(三角形的内角和等于180°).∴∠CNB=∠EMD(等量代换).所以AB∥EF(内错角相等,两直线平行).【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种,选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取.举一反三:【变式1】已知,如图,BE平分ÐABD,DE平分ÐCDB,且Ð1与Ð2互余,试判断直线AB、CD的位置关系,请说明理由.【答案】解:AB∥CD,理由如下:∵BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,∴∠ABD=2∠1,∠CDB=2∠2.又∵∠1+∠2=90°,∴∠ABD+∠CDB=180°.∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).【变式2】已知,如图,AB^BD于B,CD^BD于D,Ð1+Ð2=180°,求证:CD//EF.【答案】证明:∵AB^BD于B,CD^BD于D,∴AB∥CD.又∵Ð1+Ð2=180°,∴AB∥EF.∴CD//EF.四、平行线的性质及平移基础知识讲解【要点梳理】,要点一、平行线的性质性质1:两直线平行,同位角相等;性质2:两直线平行,内错角相等;性质3:两直线平行,同旁内角互补.要点诠释:(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”.(2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.要点诠释:(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线的距离.(2)两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变,即平行线间的距离处处相等.要点三、命题、定理、证明1.命题:判断一件事情的语句,叫做命题.要点诠释:(1)命题的结构:每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.(2)命题的表达形式:“如果……,那么…….”,也可写成:“若……,则…….”(3)真命题与假命题:真命题:题设成立结论一定成立的命题,叫做真命题.假命题:题设成立而不能保证结论一定成立的命题,叫做假命题.2.定理:定理是从真命题(公理或其他已被证明的定理)出发,经过推理证实得到的另一个真命题,定理也可以作为继续推理的依据.3.证明:在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这个推理过程叫做证明.要点诠释:(1)证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据可以是已知条件,学过的定义、基本事实、定理等.(2)判断一个命题是正确的,必须经过严格的证明;判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可.要点四、平移1.定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移.要点诠释:,(1)图形的平移的两要素:平移的方向与平移的距离.(2)图形的平移不改变图形的形状与大小,只改变图形的位置.2.性质:图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离,平移不改变线段、角的大小,具体来说:(1)平移后,对应线段平行且相等;(2)平移后,对应角相等;(3)平移后,对应点所连线段平行且相等;(4)平移后,新图形与原图形是一对全等图形.要点诠释:(1)“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离.(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别,前者是通过连接平移前后的对应点得到的,而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.3.作图:平移作图是平移基本性质的应用,在具体作图时,应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连.(1)定:确定平移的方向和距离;(2)找:找出表示图形的关键点;(3)移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点;(4)连:按原图形顺次连接对应点.【典型例题1】类型一、平行线的性质1.(2016•东营)如图,直线∥,∠1=70°,∠2=30°,则∠A的度数是( ) A.30°B.35°C.40°D.50°【思路点拨】根据平行线的性质得出∠3的度数,然后根据三角形外角的性质即可求得∠A的度数.【答案】C.【解析】解:∵直线∥,∠1=70°,∴∠3=∠1=70°,∵∠2+∠A=∠3,∴∠A=∠3﹣∠2=70°﹣30°=40°.,【总结升华】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.举一反三:【变式】如图,已知,且∠1=48°,则∠2=,∠3=,∠4=.【答案】48°,132°,48°类型二、两平行线间的距离2.如图所示,直线l1∥l2,点A、B在直线l2上,点C、D在直线l1上,若△ABC的面积为S1,△ABD的面积为S2,则()A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.不确定【答案】B【解析】因为l1∥l2,所以C、D两点到l2的距离相等.同时△ABC和△ABD有共同的底AB,所以它们的面积相等.【点评】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合.类型三、命题3.判断下列语句是不是命题,如果是命题,是正确的?还是错误的?①画直线AB;②两条直线相交,有几个交点;③若a∥b,b∥c,则a∥c;④直角都相等;⑤相等的角都是直角;⑥如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.【答案】①②不是命题;③④⑤⑥是命题;③④⑥是正确的命题;⑤是错误的命题.【解析】因为①②不是对某一事情作出判断的句子,所以①②不是命题;在③④⑤⑥四个命题中,③④⑥是真命题,⑤是假命题.【点评】命题必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判断,如问句、陈述句就不是命题,值得注意的是错误的命题也是命题.,举一反三:【变式】把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式.(1)两直线平行,同位角相等;(2)对顶角相等;(3)同角的余角相等.【答案】解:(1)如果两直线平行,那么同位角相等.(2)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.(3)如果有两个角是同一个角的余角,那么它们相等.类型四、平移4.如图所示,平移△ABC,使点A移动到点A′,画出平移后的△A′B′C′.【思路点拨】平移一个图形,首先要确定它移动的方向和距离,连接AA′后这个问题便获得解决.根据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等,容易画出所求的线段.【答案与解析】解:如图所示,(1)连接AA′,过点B作AA′的平行线,在上截取BB′=AA′,则点B′就是点B的对应点.(2)用同样的方法做出点C的对应点C′,连接A′B′、B′C′、C′A′,就得到平移后的三角形A′B′C′.【点评】平移一个图形,首先要确定它移动的方向和距离.连接AA′,这个问题就解决了,然后分别把B、C按AA′的方向平移AA′的长度,便可得到其对应点B′、C′,这就是确定了关键点平移后的位置,依次连接A′B′,B′C′,C′A′便得到平移后的三角形A′B′C′.,5.(湖南益阳)如图所示,将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置,若∠CAB=50°,∠ABC=100°,则∠CBE的度数为________.【答案】30°【解析】根据平移的特征可知:∠EBD=∠CAB=50°而∠ABC=100°所以∠CBE=180°-∠EBD-∠ABC=180°-50°-100°=30°【点评】图形在平移的过程有“一变两不变”、“一变”是位置的变化,“两不变”是形状和大小不变.本例中由△ABC经过平移得到△BED.则有AC=BE,AB=BD,BC=DE,∠A=∠EBD,∠C=∠E,∠ABC=∠BDE.举一反三:【变式】(2015•泉州)如图,△ABC沿着由点B到点E的方向,平移到△DEF,已知BC=5.EC=3,那么平移的距离为( ) A.2B.3C.5D.7【答案】A根据平移的性质,易得平移的距离=BE=5﹣3=2.故选A.类型五、平行的性质与判定综合应用6、如图所示,AB∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()A.180°B.270°C.360°D.540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB,∵CD∥AB,∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行,同旁内角互补),又∵EF∥AB∴EF∥CD.∴∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行,同旁内角互补)又∵∠ACE=∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【点评】这是平行线性质与平行公理的综合应用,利用“两直线平行,同旁内角互补,”可以得到∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.举一反三:【变式】如图所示,如果∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°,则AB与EF的位置关系.【答案】平行【典型例题2】类型一、平行线的性质1、(2016·陕西)如图,AB∥CD,AE平分∠CAB交CD于点E,若∠C=50°,则∠AED=( ) A.65°B.115°C.125°D.130°【答案】B.【解析】解:∵AB∥CD,∴∠C+∠CAB=180°,∵∠C=50°,∴∠CAB=180°-50°=130°,∵AE平分∠CAB,∴∠EAB=65°,∵AB∥CD,∴∠AED=180°﹣∠EAB=180°-65°=115°.【总结升华】,题考查了平行线的性质,角平分线的定义,比较简单,准确识图并熟记性质是解题的关键.举一反三:【变式】(广安)如图所示,已知a∥b∥c,∠1=105°,∠2=140°,则∠3的度数是()A.75°B.65°C.55°D.50°【答案】B类型二、两平行线间的距离2、下面两条平行线之间的三个图形,图③的面积最大,图②的面积最小.【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半;两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同,所以可以通过比较平行四边形的底的长短,得出平行四边形面积的大小.【答案】图3,图2【解析】解:因为它们的高相等,三角形的底是8,8÷2=4,梯形的上、下底之和除以2,(2+7)÷2=4.5;5>4.5>4;所以,图3平行四边形的面积最大,图2三角形的面积最小.【总结升华】根据平行线的性质,得出梯形、三角形、平行四边形的高相等,求出三角形底的一半,梯形上、下底之和的一半,与平行四边形的底进行比较,由此得出正确答案.举一反三:【变式】下图是一个方形螺线.已知相邻均为1厘米,则螺线总长度是厘米.【答案】35类型三、命题3.判断下列语句是否是命题,如果是,请写出它的题设和结论.(1)同位角相等;,(2)对顶角相等;(3)画一条5厘米的线段.【答案与解析】解:(1)是命题,这个命题的题设是:如果两个角是同位角;结论是:这两个角相等,这个命题是一个错误的命题,即假命题.(2)是命题,这个命题的题设是:两个角是对顶角;结论是:这两个角相等,这个命题是一个正确的命题,即真命题.(3)不是命题,它不是判断一件事情的语句.【总结升华】命题必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判断,如疑问句、反问句等不是命题,值得注意的是错误的命题也是命题.判断一个命题是正确的,必须经过严格的证明;判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可.举一反三:【变式】下列命题是假命题的是( )A.锐角小于90°B.平角等于两直角C.若a>b,则a2>b2D.若a2≠b2,则a≠b【答案】C类型四、平移4.如图所示,①、②两图中,哪个图形中的一个三角形可以经过另一个三角形平移得到?【答案与解析】解:图①DE和AC平行,但不相等,DE和BC相等,但不平行,不符合平移的特征,无论怎样平移其中一个三角形也得不到另一个三角形.图②符合平移的特征,三角形PQR沿射线PM方向移动PM长即可得到三角形MNO.所以,图②中一个三角形可以经过另一个三角形平移得到.【总结升华】平移变换的实质是图形沿直线运动,它的形状、大小都不发生变化,否则就不是平移变换.举一反三:【变式】(2015•临淄区一模)如图,将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF,若△ABC的周长为16cm,则四边形ABFD的周长为 .,【答案】20cm.解:∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF,∴CF=AD=2cm,AC=DF,∵△ABC的周长为16cm,∴AB+BC+AC=16cm,∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+CF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm.5、(苏州中考模拟)如图所示,在长为50m,宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2m的道路,余下的部分种植花草,求种植花草部分的面积.【思路点拨】因种植花草部分比较分散,且有的是不规则的图形,所以直接求其面积较困难.因小路都是宽度相同的长方形,所以可想到把小路平移到一起,这样种植花草部分将汇集成一个长方形,问题便迎刃而解.【答案与解析】解:如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘,则种植花草部分汇集成一个长方形,显然,这个长方形的长是50-2=48(m),宽是22-2=20(m),于是种植花草部分的面积为48×20=960(m2).【总结升华】若分步计算则较繁琐.但采用“平移”的手段从整体上把握,问题便迅速求解.举一反三:【变式】如图①,在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路,余下部分作为耕地.根据图中数据,可得耕地的面积为(),A.600m2B.551m2C.550m2D.500m2【答案】B类型五、平行的性质与判定综合应用6、(湖南模拟)如图所示,∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K,下面给出三个论断:①∠B=∠E;②AB∥DE;③BC∥EF.请你以其中的两个论断为条件,填入“已知”栏中,以一个论断为结论,填入“试说明”栏中,使之成为一个完整的正确命题,并将理由叙述出来.已知:如图所示,∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K,________,________,试说明________.【答案与解析】解:三个论断分别可以组成①②③;①③②;②③①三种不同情形的命题,选择其中任何一个即可.以①②③为例,说明如下已知:如图所示,∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K,∠B=∠E,AB∥DE,试说明BC∥EF.理由叙述:因为AB∥DE,所以∠B=∠CKD.又因为∠B=∠E,所以∠E=∠CKD,所以BC∥EF.【总结升华】此类问题具有较强的灵活性,解决这类题的基本思路是先写出可能的结果,再判断其是否正确.举一反三:【变式】已知,如图,∠1=∠2,∠3=65°,则∠4=.,【答案】115°7、如图,AB∥CD,点M,N分别为AB,CD上的点.(1)若点P1在两平行线内部,∠BMP1=45°,∠DNP1=30°,则∠MP1N=;(2)若P1,P2在两平行线内部,且P1P2不与AB平行,如图,请你猜想∠AMP1+∠P1P2N与∠MP1P2+∠P2ND的关系,并证明你的结论;(3)如图,若P1,P2,P3在两平行线内部,顺次连结M,P1,P2,P3,N,且P1P2,P2P3不与AB平行,直接写出你得到的结论.【答案与解析】解:(1)75°;(2)结论:∠AMP1+∠P1P2N=∠MP1P2+∠P2ND证明:如图,分别过P1,P2作P1Q1∥AB,P2Q2∥AB.又∵AB∥CD,∴∠AMP1=∠1,∠2=∠3,∠4=∠P2ND.∴∠AMP1+∠P1P2N=∠AMP1+∠3+∠4=∠1+∠2+∠P2ND=∠MP1P2+∠P2ND.(3)∠BMP1+∠P1P2P3+∠P3ND=∠MP1P2+∠P2P3N.【总结升华】通过作平行线,问题便迅速得到解决.举一反三:【变式】如图所示,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C是().,A.120°B.130°C.140°D.150°【答案】D;提示:如图,过点B作BE∥AM.五、《相交线与平行线》全章复习与巩固【学习目标】1.熟练掌握对顶角,邻补角及垂线的概念及性质,了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念;2.区别平行线的判定与性质,并能灵活运用;3.了解命题的概念及构成,并能通过证明或举反例判定命题的真假;4.了解平移的概念及性质.【知识网络】,【要点梳理】知识点一、相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系,它们的概念及性质如下表:图形顶点边的关系大小关系对顶角12∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角有公共顶点∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线.邻补角互补即∠3+∠4=180°要点诠释:⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点,角的两边互为反向延长线.⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角.⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点,有一条公共边,另一边互为反向延长线.⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个.2.垂线及性质、点到直线的距离(1)垂线的定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.如图1所示,符号语言记作:AB⊥CD,垂足为O.要点诠释:要判断两条直线是否垂直,只需看它们相交所成的四个角中,是否有一个角是直角,两条线段垂直,是指这两条线段所在的直线垂直.(2)垂线的性质:垂线性质1:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).,垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简称:垂线段最短.(3)点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离,如图2:PO⊥AB,点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.要点诠释:垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.知识点二、平行线1.平行线的判定判定方法1:同位角相等,两直线平行.判定方法2:内错角相等,两直线平行.判定方法3:同旁内角互补,两直线平行.要点诠释:根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有:(1)平行线的定义:在同一平面内,如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行.(2)如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行(平行线的传递性).(3)在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行.(4)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.2.平行线的性质性质1:两直线平行,同位角相等;性质2:两直线平行,内错角相等;性质3:两直线平行,同旁内角互补.要点诠释:根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的性质还有:(1)若两条直线平行,则这两条直线在同一平面内,且没有公共点.(2)如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直,那么它必与另一条直线垂直.3.两条平行线间的距离如图3,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释:(1)两条平行线之间的距离处处相等.,(2)初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度,平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.(3)如何理解“垂线段”与“距离”的关系:垂线段是一个图形,距离是线段的长度,是一个量,它们之间不能等同.知识点三、命题及平移1.命题:判断一件事情的语句,叫做命题.每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.2.平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移.要点诠释:平移的性质:(1)平移后,对应线段平行(或共线)且相等;(2)平移后,对应角相等;(3)平移后,对应点所连线段平行(或共线)且相等;(4)平移后,新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、相交线1.(2015春•乌兰察布校级期中)a、b、c是平面上任意三条直线,交点可以有( ) A.1个或2个或3个B.0个或1个或2个或3个 C.1个或2个D.都不对【思路点拨】根据三条直线两两平行,三条直线交于一点,两条直线平行与第三条直线相交,三条直线两两相交不交于同一点,可得答案.【答案】B【解析】解:三条直线两两平行,没有交点;三条直线交于一点,有一个交点;两条直线平行与第三条直线相交,有两个交点;三条直线两两相交不交于同一点,有三个交点,故选B.【总结升华】本题考查了相交线,分类讨论是解题关键:①三条直线两两平行,②三条直线交于一点,③两条直线平行与第三条直线相交,④三条直线两两相交不交于同一点,注意不要漏掉任何一种情况.举一反三:【变式】如图所示,已知∠AOD=∠BOC,请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.【答案】,解:因为∠BOC+∠AOC=180º(平角定义), 所以∠AOC是∠BOC的补角. 因为∠AOD+∠BOD=180º(平角定义), ∠AOD=∠BOC(已知), 所以∠BOC+∠BOD=180º. 所以∠BOD是∠BOC的补角.所以∠BOC的补角有两个:∠BOD和∠AOC.而∠BOC的邻补角只有一个∠AOC,且∠BOC没有对顶角.2.(2016春·沧州校级月考)已知:如图,直线a、b、c两两相交,且∠1=2∠3,∠2=86°,求∠4的度数.【答案与解析】解:根据对顶角相等,∴∠1=∠2=86°.又∵∠1=2∠3,∴86°=2∠3,∴∠3=43°,又∠3与∠4对顶角,所以∠3=∠4=43°.【总结升华】涉及到角的运算时,充分利用已知条件和隐含条件(对顶角)是解题的关键.性质是解答此类问题的关键.类型二、平行线的性质与判定3.如图,已知∠ADE=∠B,∠1=∠2,那么CD∥FG吗?并说明理由.【答案与解析】解:平行,理由如下:因为∠ADE=∠B,所以DE∥BC(同位角相等,两直线平行),,所以∠1=∠BCD(两直线平行,内错角相等).又因为∠1=∠2(已知),所以∠BCD=∠2.所以CD∥FG(同位角相等,两直线平行).【总结升华】反复应用平行线的判定与性质,见到角相等或互补,就应该想到判断直线是否平行,见到直线平行就应先想到角相等或角互补.举一反三:【变式】如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠ACB的大小关系,并说明理由.【答案】∠AED=∠ACB,理由如下:∵∠1+∠2=180°,又∠1+∠4=180°,∴∠2=∠4.∴AB∥EF(内错角相等,两直线平行).∴∠5=∠3.又∠3=∠B,∴∠5=∠B.∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行).∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).类型三、命题及平移4.(佳木斯中考)如图所示,请你填写一个适当的条件:________,使AD∥BC.【思路点拨】欲证AD∥BC,结合图形,故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件.【答案】∠FAD=∠FBC,或∠ADB=∠CBD,或∠ABC+∠BAD=180°.,【解析】解:本题答案不唯一,如:利用“同位角相等,两直线平行”,可添加条件∠FAD=∠FBC;利用“内错角相等,两直线平行”,可添加条件∠ADB=∠CBD;利用“同旁内角互补,两直线平行”,可添加条件∠ABC+∠BAD=180°.【总结升华】这是一道开放性试题,分清题设和结论:结论:AD∥BC,题设可根据平行线的判定方法,逐一寻找即可.举一反三:【变式】(2015春•和县期末)下列说法中正确的个数是( )(1)在同一平面内,a、b、c是直线,a∥b,b∥c,则a∥c(2)在同一平面内,a、b、c是直线,a⊥b,b⊥c,则a⊥c(3)在同一平面内,a、b、c是直线,a∥b,a⊥c,则b⊥c(4)在同一平面内,a、b、c是直线,a⊥b,b⊥c,则a∥c. A.1B.2C.3D.4【答案】C5.如图(1),线段AB经过平移有一端点到达点C,画出线段AB平移后的线段CD.【思路点拨】连接AC或BC便得平移的方向和距离.【答案与解析】解:如图(2),线段CD有两种情况:(1)当点A平移到点C时,则点D在点C的下方,因此下边线段CD即为所求;(2)当点B平移到点C时,则点D在点C的上方,上边线段CD即为所求.【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的.本题中未指明哪一端点(A还是B)移动到点C,故应有两种情况:即点A平移到点C或点B平移到点C.举一反三:【变式】下列说法错误的是()A.平移不改变图形的形状和大小B.平移中图形上每个点移动的距离可以不同C.经过平移,图形的对应线段、对应角分别相等D.经过平移,图形对应点的连线段相等【答案】B类型四、实际应用6.如图,107国道上有一个出口M,想在附近公路旁,建一个加油站,欲使通道最短,应沿怎样的线路施工?【答案与解析】解:如图,过点M作MN⊥,垂足为N,欲使通道最短,应沿线路MN施工.【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.