第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(32)一、单选题1．下列四个命题中，假命题是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形2．已知菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为（）A．B．C．D．3．如图，矩形的对角线，相交于点，，若的周长比的周长大10，则的长为（）．A．B．C．10D．204．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，DO⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB=10，BC=8，CA=6，则点O到三边的距离分别为（）A．1，1，1B．2，2，2C．1，2，1D．，，5．如图，已知菱形的对角线，的长分别为6，8，，垂足为点，则的长是（）,A．B．C．D．6．如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若，则的面积是（）A．B．C．D．7．如图，中，对角线交于点，点分别是的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：,①；②点到直线的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③⑤D．②③⑤二、解答题9．图1，在正方形中，，为线段上一点，连接，过点作，交于点．将沿所在直线对折得到，延长交于点．（1）求证：．（2）若，求的长．（3）如图2，延长交的延长线于点，若，记的面积为，求与之间的函数关系式．,10．如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？11．综合与实践在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点位置的变化而变化．观察操作,（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，猜想与的数量关系是_______，与的位置关系是_______；验证推理（2）如图2，当点在菱形外部且点在点左侧时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；12．如图，在四边形中，，，．．（1）求的长；（2）求四边形的面积．13．如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上，OC＞OD．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．（2）在所画图中，①若CD=8cm，则线段OE的长度为_________；②请你判断△CDF的形状并说明理由．14．在中，，是的中点，是的中点.过点作交的延长线于点．（1）求证：四边形是菱形；,（2）若，，求菱形的面积．15．矩形折叠问题：如图所示．把一张长方形纸片沿对角线折叠，则．（1）证明：．（2）如图，若，，求的长．16．如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得．（1）求证：；（2）若，当______时，四边形是菱形；（3）若，当______时，四边形是正方形．17．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．18．如图1是长方形纸带将长方形ABCD沿EF折叠成图2，使点C、D分别落在点、处，再沿BF折叠成图3，使点、分别落在点、处．,（1）若，求图1中的度数；（2）在（1）的条件下，求图2中的度数；（3）在图3中写出、与的数量关系，并说明理由．19．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题：（1）已知：如图1，四边形是等对角四边形，，则______°，______°．（2）图①、图②均为的正方形网格，线段的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以和为边各画一个等对角四边形．要求：四边形的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．（3）已知：在等对角四边形中，，求对角线的长．20．如图，中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求四边形的周长．,21．在中，．点在直线上，以为边作矩形，直线与直线的交点分别为．（1）如图，点在线段上，四边形是正方形．①若点为中点，求的长．②若，求的长．（2）已知，是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，试说明理由．22．如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为．（1）求点G的坐标，并求直线的解析式；（2）若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围．（3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．三、填空题,23．如图，正方形的边长为，点，分别是边，上的点，且．将四边形沿翻折，得到，点恰好落在边上，交于点，则的长是_______．24．如图①，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有Rt△ABC，已知AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一个动点，点N为DE中点，若筝形ADPE的面积为18，则AN的最大值为_____．25．如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当点在边上移动时，点随之在边上移动，，，运动过程中，点到点的最大距离为______．26．如图，把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处，,，则的度数为_________．27．如图，长方形，，将其沿折叠，点落在点，点落在点，折痕为，则的坐标为___________．28．如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为________．29．如图，直线l经过正方形的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是和，则正方形的边长是__________．30．如图，在正方形中，已知，点分别是边的中点，点F是边上的动点，连接，将正方形沿折叠，的对应点分别为，则线段,的最小值是_____．,,【答案与解析】1．B【解析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定判断即可．A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，原命题是假命题，符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题，不符合题意；故选：B．本题主要考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形及特殊平行四边形的判定．2．B【解析】由菱形的性质，得到AC⊥BD，，，然后利用勾股定理求出AB=5，即可求出周长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，，；在直角△ABO中，由勾股定理，得,∴菱形的周长为：；故选：B．本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握菱形的性质进行解题．3．A【解析】由矩形的性质和已知条件求出AB=BC，BC=10，即可得出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=DO=BO，AD=BC，∠ABC=90°，AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD=30°，∴AB=BC，∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC，△AOB的周长=AB＋AO＋BO，又∵ABC的周长比△AOB的周长长10，,∴AB+AC+BC-（AB＋AO＋BO）=BC=10，∴AB=BC=；故选：A．本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，求出BC的长是解题的关键．4．B【解析】由角平分线的性质易得OE=OF=OD，AE=AF，CE=CD，BD=BF，设OE=OF=OD=x，则CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x，所以6-x+8-x=10，解答即可．解：连接OB，∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，∴OE=OF=OD，又∵OB是公共边，∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL），∴BD=BF，同理，AE=AF，CE=CD，∵∠C=90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD=OE，∴OECD是正方形，设OE=OF=OD=x，则CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x，∴BF+FA=AB=10，即6-x+8-x=10，解得x=2．则OE=OF=OD=2．故选：B．此题综合考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和正方形的判定等知识点，设未知数，并用未知数表示各边是关键．5．D【解析】,利用菱形的性质可知线段AC、BD互相垂直平分．即可求出OB、OC的长，从而得到BC的长，再根据菱形的面积公式等于对角线积的一半，又等于底乘高，列出等式即可求出菱形的高，即AE长．根据菱形的性质可知，线段AC、BD互相垂直平分．∴，．在中，．∵，∴．∴．故选：D．本题考查菱形的性质．利用菱形的性质结合勾股定理求出BC的长是解答本题的关键．6．A【解析】由折叠可得，，且，可得，，即可求对角线BD的长，则可求的面积．如图连结BD交AC于点O，∵ABCD为正方形，∴，AB=BC，，，，∵沿CE翻折，∴，，，∵，，∴，∴，,∴，∴，∴，∴，∴，∴．故选：A．本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题．7．C【解析】由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得；由三角形中位线定理可证得，进而可得，证出得．得出，即可得出结论．解：连接，如图所示：四边形是平行四边形，，，，，，，，，点为中点，，故①正确；、、分别是、、的中点，，，,，，，，故②正确；，，四边形是平行四边形，，即，故③正确；，，，，，，，，，，，，故④错误；故选：．本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键．8．C,【解析】由于∠EAP=90°，所以∠EAB=∠DAP，又因为AP=AE，AD=AB，所以△APD≌△DAP，从而得出∠EBA=∠PDA，即可知∠BED=∠BAD=90°，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，所以△BFE是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BE和BF的长度，从而可求出AB2，即正方形ABCD的面积，由于S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△PEB，所以求出△AEP与△PEB的面积即可．解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∵AE⊥AP，∴∠EAP=90°，∴∠EAB+∠BAP=∠DAP+∠BAP，∴∠EAB=∠DAP，在△APD与△AEB中，，故①正确；∵△APD≌△AEB，∴∠AEB=∠EAD，∠EAB=∠AED，∴∠AEB-∠AED=∠EAD-∠EAB，∴∠BED=∠BAD=90°，∴BE⊥ED，故③正确，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，∵∠EAP=90°，AE=AP，∴∠AEP=45°，∵∠FEB+∠AEP=90°，,∠FEB+∠EBF=90°，∴∠AEP=∠EBF=45°，∴EF=BF，∵AE=AP=1，∴由勾股定理可求得：，，∴由勾股定理可求得：，∵，∴，故②错误，∵，∴，∴由勾股定理可知：，故⑤正确；∵△APD≌△AEB，∴S△APD=S△AEB，∴S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△PEB=．故④错误；故选：C．本题考查四边形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式等知识内容，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答．,9．（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】（1）先证，再据ASA证明△ABP≌△BCQ，可证得BP=CQ；（2）连接，先证，得到，设AN=x，用x表示出ND；再求出DQ和的值，再在RT△NDQ中用勾股定理列方程求解；（3）作QG⊥AB于G，先证MB=MQ并设其为y，再在RT△MGQ中用勾股定理列出关于x、y的方程，并用x表示y；用y表示出△MBQ的面积，用x表示出△的面积．最后据用x、y表示出S，并把其中的y用x代换即可．（1）在正方形ABCD中，，，，，，，．（2）在正方形ABCD中连接，如下图：,由折叠知BC=，又AB=BC，∠BAN=90°∴，，，，，，，设，，，，，．（3）如下图，作，垂足为，,由（1）知∵∠MBQ=∠CQB=∠MQB∴BM=MQ设，则．，，，故．此题综合考查了正方形性质、三角形全等，勾股定理等知识点，其关键是要熟练掌握相关知识，能灵活应用．10．（1）①全等，理由见解析；②4.8cm/秒；（2）秒；在A点相遇,【解析】（1）①速度相等，运动的时间相等，所以距离相等，根据全等三角形的判定定理可证明；②因为运动时间一样，运动速度不相等，所以BP≠CQ，只有BP=CP时才相等，根据此可求解；（2）知道速度，知道距离，这实际上是个追及问题，可根据追及问题的等量关系求解．解：（1））①∵t=1秒，∴BP=CQ=4×1=4厘米，∵正方形ABCD中，边长为10厘米，∴PC=BE=6厘米，又∵正方形ABCD，∴∠B=∠C，∴△BPE≌△CQP；②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，又∵△BPE≌△CQP，∠B=∠C，则BP=PC，而BP=4t，CP=10-4t，∴4t=10-4t，∴点P，点Q运动的时间t=秒，∴VQ=6=4.8厘米/秒．（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得4.8x-4x=30，解得x=秒．∴点P共运动了×4=150厘米，∴点P、点Q在A点相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在A点相遇．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用，图形与动点问题，理解动点的运动路线长与时间、速度的关系是解题的关键．11．（1），；（2）仍然成立，见解析,【解析】（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．连接AC，想办法证明△BAP≌△CAE即可解决问题；（2）结论仍然成立．证明△BAP≌△CAE即可解决问题．解：（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．理由：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∵∠BAC=∠PAE，∴∠BAP=∠CAE，，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°，延长CE交AD于H，∵∠CAH=60°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．故答案为PB=EC，CE⊥AD．（2）（1）中的结论：，仍然成立．理由如下：如图2，连接，,四边形为菱形，，和都是等边三角形，，，．是等边三角形，，，，，，，，，，，．（1）中的结论：，仍然成立．本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（1）；（2）【解析】（1）作DM⊥BC，AN⊥DM垂足分别为M、N，易知四边形MNAB是矩形，分别在Rt△ADN中求出DN，利用含60°的直角三角形求CD即可；（2）由（1）可知，四边形的面积就是△DCM与梯形ADMB的面积和．解：（1）如图作DM⊥BC，AN⊥DM垂足分别为M、N．∵∠B＝∠NMB＝∠MNA＝90°，∴四边形MNAB是矩形，∴MN＝AB＝5，AN＝BM，∠BAN＝90°，,∵∠C+∠B+∠ADC+∠BAD＝360°，∠C＝60°，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠DAN＝∠BAD﹣∠BAN＝30°，在RT△AND中，∵AD＝2，∠DAN＝30°，∴DN＝AD＝1，AN＝，在RT△DMC中，∵DM＝DN+MN＝6，∠C＝60°，∴∠CDM＝30°，∴CD＝2MC，设MC＝x，则CD＝2x，∵CD2＝DM2+CM2，∴4x2＝x2+62，∵x＞0∴x＝，∴CD＝．（2）由（1）得，，，．本题考查了勾股定理和含有30°角的直角三角形的性质，通过作辅助线，构建特殊的直角三角形是解题关键．13．（1）见解析；（2）①OE=4cm；②等腰直角三角形，证明见解析【解析】（1）利用基本作图（作一个角的平分线）作OP平分∠AOB，再作线段CD的垂直平分线，从而可得到OE、CF、DF；（2）①根据线段垂直平分线的性质得到DE=CE，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OE=,CD；②先证明OE=EF，可得△CEF是等腰直角三角形，从而∠CFE=45°，同理∠DFE=45°，进而可证△CDF为等腰直角三角形．解：（1）如图，（2）①∵EF垂直平分CD，∴DE=CE，而∠AOB=90°，∴OE为Rt△OCD斜边上的中线，∴OE=CD=4cm．②∵EF是线段CD的垂直平分线，∴FC=FD，∵△COD为直角三角形，E为CD的中点，∴OE=CE=CD，∴∠COE=∠ECO．设CD与OP相交于点G，∵∠EOF=45°-∠COE，∠EFO=90°-∠EGF=90°-(45°+∠ECO)=45°-∠ECO，∴∠EOF=∠EFO，EF=OE．又CE=OE=EF，∠CEF=90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠CFE=45°，同理∠DFE=45°；∴∠CFD=90°，∴△CDF为等腰直角三角形．,本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．14．（1）证明见解析；（2）6【解析】(1)先证明△AEF≌△DEB(AAS)，得AF＝DB，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD＝CD，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；(2)先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积＝直角三角形ABC的面积，即可解答．解：(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB(AAS)，∴AF＝DB，∵是的中点，∴DB=CD=AF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；(2)解：如图，设AF到CD的距离为h，,∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×4×3＝6．本题主要考查的是菱形的判定与菱形的面积，需要有一定的推理论证能力，掌握菱形的判定方法是解题的关键．15．（1）证明见解析；（2）3．【解析】（1）利用折叠的性质和等腰三角形判定即可得出结论；（2）在中，由勾股定理列方程即可求的长．解：（1）四边形是矩形，，，由折叠知，，，（2）四边形是矩形，，，设的长为x，则BF=FD=8-x，，，即．本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，要注意利用折叠性质得到本题的隐藏条件：是本题关键．,16．（1）见解析；（2）；（3）．【解析】（1）根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得BE=DG；（2）要使四边形ABFG是菱形，须使AB=BF；根据条件找到满足AB=BF时，BC与AB的数量关系即可；（3）当四边形AECG是正方形时，AE=EC，由AE=AB，可得EC=AB，再有BE=AB可得BC=AB．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD．∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，∴CG⊥AD，AE=CG，∴∠AEB=∠CGD=90°．∵在Rt△ABE与Rt△CDG中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL），∴BE=DG．（2）解：当BC=AB时，四边形ABFG是菱形．证明：∵AB∥GF，AG∥BF，∴四边形ABFG是平行四边形．∵Rt△ABE中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半），∵BE=CF，BC=AB，∴EF=AB．∴AB=BF．,∴四边形ABFG是菱形．故答案是：；（3）解：BC=AB时，四边形AECG是正方形．∵AE⊥BC，GC⊥CB，∴AE∥GC，∠AEC=90°，∵AG∥CE，∴四边形AECG是矩形，当AE=EC时，矩形AECG是正方形，∵∠B=60°，∴EC=AE=AB，BE=AB，∴BC=AB．故答案是：．本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，菱形的判定，以及直角三角形的性质．关键是熟练掌握菱形的判定定理，以及平行四边形的性质．17．30．【解析】根据折叠的过程以及矩形的对边相等，得：AF＝AD＝BC，DE＝EF．然后根据勾股定理求得CF的长，再设BF＝x，即可表示AF的长，进一步根据勾股定理进行求解．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5cm．在△CEF中，CF＝=4cm，设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝（x+4）cm．在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2．解得x＝6，故BC＝10．,所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）．此题考查勾股定理的实际应用，矩形的性质，折叠的性质，正确分析图形得到直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．18．（1）160°；（2）40°；（3），理由见解析【解析】（1）由长方形的性质可得：可得：，从而可得答案；（2）由对折的性质先求解：再利用求解：，再利用，从而可得答案；（3）设，利用长方形的性质与对折求解：，从而可得、与的数量关系．解：（1）∵长方形ABCD，∴，∴∵，∵（2）∵四边形EDCF折叠得到四边形，∴，∴，∵长方形ABCD，∴，∴∵，∴（3）答：理由如下：∵长方形ABCD，∴,∴，，设∴，∵四边形EDCF折叠得到四边形，∴，∴∴∵，∴∵四边形折叠得到四边形，∴，∴本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，平行线的性质，角的和差关系，掌握以上知识是解题的关键．19．（1）140，75；（2）见解析；（3）或【解析】（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=75°，根据多边形内角和定理求出∠C即可；（2）根据等对角四边形的定义画出图形即可求解；（3）分两种情况：①当时，延长，相交于点，先用含角的直角三角形的性质求出，得出，再求出，由勾股定理求出；②当时，过点作于点，于点，则，四边形是矩形，先求出、，再由矩形的性质得出，，求出、，根据勾股定理求出即可．,解：（1）∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，∴∠D=∠B=75°，∴∠C=360°-75°-75°-60°=140°；故答案为140，75．（2）如图所示：（3）分两种情况：①当时，延长，相交于点，如图3所示：，，，，，，，，，；②当时，过点作于点，于点，如图4所示：则，四边形是矩形，，，,，，，四边形是矩形，，，，，，．综上所述：的长为或．本题是四边形综合题目，考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论．20．（1）见解析；（2）8【解析】（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）分别利用中位线定理和直角三角形斜边中线性质得到DE和CD，从而计算结果．解：（1）证明：∵∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，∵∠CEF=∠A，∴∠CEF=∠DCE，∴CD∥EF，,∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥CF，∴四边形DCEF是平行四边形．（2）∵D、E分别是AB、AC的中点，，∴DE=BC=1，CD=AB=3，∴四边形的周长为（1+3）×2=8．本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质和中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（1）①；②；（2）存在，CD的长为6或9或．【解析】（1）①根据中点的定义求出DG=DE=6，从而求出AG，证明△AEG≌△BDG，可得BG；②证明△AEF≌△DEF，得到∠1=∠2，再证明∠B=∠1=∠3=∠2，在△DBF中，利用内角和定理求出∠B，利用勾股定理求出BC；（2）分FC=FB，CB=CF，BC=BF三种情况分别求解即可．解：（1）①在正方形ACDE中，AC=DE=12，AE∥BC，∵点G为DE中点，∴DG=GE=6，在Rt△AEG中，AG==，∵AE∥BC，∴∠AEG=∠BDG，又EG=CG，∠AGE=∠BGD，∴△AEG≌△BDG（ASA），∴BG=AG=；②如图1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，∵EF=EF，∴△AEF≌△DEF（SAS），∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，∵AE∥BC，∴∠B=∠1=x，∵GF=GD，,∴∠3=∠2=x，在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°，∴x+（x+90°）+x=180°，解得x=30°，∴∠B=30°，∴AB=24，∴在Rt△ABC中，BC==；（2）当FC=FB时，点B、点D和点G重合，此时CD=BC=9；当CB=CF时，即CF=9，∵四边形ACDE是矩形，∴AE∥CD，∴∠CBF=∠BAE，∵BC=CF，∴∠CFB=∠CBF=∠AFE，∴∠BAE=∠AFE，∴AE=EF，设AE=EF=x，则CE=x+9，,在△ACE中，，解得：x=，即CD=AE=；当BC=BF时，即BF=9，∵AB==15，∴AF=AB-BF=6，∵四边形ACDE是矩形，∴AE∥CD，∴∠BCF=∠AEC，∵BC=BF，∴∠BCF=∠BFC=∠AFE，∴∠AFE=∠AEC，∴AE=AF=CD=6；综上：CD的长为6或9或．本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．,22．（1）G的坐标为，直线的解析式为；（2）；（3）P的坐标为或或或【解析】（1）由图形折叠的不变性可得OG的长度，从而可求NG的长度，可得G的坐标；利用待定系数法代入G的坐标，可得直线的解析式（2）结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围（3）依据等腰三角形性质的定义，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可解：（1）由折叠的性质可知，，由勾股定理得，，∴点G的坐标为设直线的解析式为将代入，得∴直线的解析式为．（2）∵直线平行于直线，，即直线的解析式为，当直线经过点时，，解得，当直线经过点时，解得，，∴直线与长方形有公共点时，（3）①当时，若点P在原点左侧，点P的坐标为，若点P在原点右侧，点P的坐标为，,②当时，，，∴点P的坐标为，③当时，可得，在中，，即，解得，点P的坐标为，综上所述，以为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标为或或或．本题利用图形折叠的不变性，考查了一次函数解析式的求法及一次函数图像的平移，同时考查了等要三角形的定义及勾股定理的应用，熟练掌握考查内容并利用数形结合的思想是解决问题的关键23．【解析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得出FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B＝90°，求出∠DC′F＝30°，得出FC′＝FC＝2DF，求出DF＝2，DC′=DF=2，则C′A＝6−2，AG＝6-6，设EB＝x，则GE＝2x，得出方程，解方程即可．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得：FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B＝90°，∴∠DFC′＝180°-60°-60°=60°，∴∠DC′F＝30°，∴FC′＝FC＝2DF，∵DF＋CF＝CD＝6，∴DF＋2DF＝6，,解得：DF＝2，∴DC′=DF=2，∴C′A＝6−2，∵∠AC′G=180°-30°-90°=60°，∠AGC′=90°-60°=30°，∴AG=C′A=（6−2）=6-6，设EB＝E′B=x，∵∠B′GE＝∠AGC′＝30°，∴GE＝2x，则6-6＋3x＝6，解得：x＝4−2，∴GE＝2x=8−4．故答案是：8−4本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．24．．【解析】根据题意可知，可知当AP取最小值时，DE有最大值；根据直角三角形斜边中线的性质可知AN=DE，故当DE取最大值时，AN有最大值；求出AP的最小值即可解决问题．当AP⊥BC时，AP取到最小值，利用三角形面积公式可求出AP的最小值．解：如图②，,∵ADPE是筝形，∴筝形ADPE的面积=，∴，∴当AP取最小值时，DE有最大值，∵P为BC边上一个动点，∴当AP⊥BC时，AP取到最小值，∴AP的最小值==，∴，∴DE=，∴DE的最大值是，∵Rt△ADE中，点N为DE中点，∴AN=DE，∴当DE取最大值时，AN有最大值，∴AN的最大值是．故答案是：．本题考查直角三角形斜边中线的性质及直角三角形的面积公式，理解“筝形”的定义是解题的关键，难点在于分析出当AP取最小值时，DE有最大值．25．.,【解析】取AB的中点E，则OE=1，DE=，利用三角形原理可确定最大值.如图，取AB的中点E，连接OE，DE，∵OE是直角三角形ABO斜边上的中线，AB=2，∴OE=1，在直角三角形DAE中，根据勾股定理，得DE==，∴当O，D，E三点共线时，DO最大，且最大值为+1，故应该填.本题考查了线段的最值，构造斜边上的中线，灵活运用三角形原理是解题的关键.26．56【解析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可．解：∵把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处，∴∠G=∠A=90°，∠GDE=∠B=90°，∵∠DFG=68°，∴∠GDF=∠G-∠DFG=90°-68°=22°，∴∠ADE=∠GDE-∠GDF=90°-22°=68°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-68°=22°，∴∠DEC=90°-∠EDC=90°-22°=68°，由折叠可得：∠FEB=∠FED，,∴，故答案为：56．此题考查翻折问题，关键是根据折叠前后图形全等和长方形性质解答．27．（3.2，-2.4）【解析】先过D作DG⊥OC于G，设CF=DF=x，则OF=8-x，根据Rt△DOF中，OD2+FD2=OF2，可得方程42+x2=（8-x）2，解得x=3，进而得到OF=5，再根据面积法得到DG=2.4，根据勾股定理得到Rt△ODG中，OG==3.2，即可得到D的坐标．解：如图，过D作DG⊥OC于G，设CF=DF=x，则OF=8-x，由折叠可得，OD=AC=4，OC=8，∵∠D=90°，∴Rt△DOF中，OD2+FD2=OF2，42+x2=（8-x）2，解得x=3，∴OF=5，∵OF×DG=OD×DF，∴DG=2.4，∴Rt△ODG中，OG==3.2，∴D（3.2，-2.4），故答案为：（3.2，-2.4）．本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列方程求出DF的长度是解题的关键，也是本题的突破口．,28．5【解析】过C点作直线EF与平行线垂直，与l交于点E，与l交于点F．易证△CDE≌△CBF，得CF=1，BF=2．根据勾股定理可求BC得正方形的面积．解：过C点作EF⊥l，交l于E点，交l于F点．∵l∥l∥l∥l，EF⊥l，∴EF⊥l，EF⊥l，即∠CED=∠BFC=90°．∵ABCD为正方形，∴∠BCD=90°．∴∠DCE+∠BCF=90°．又∵∠DCE+∠CDE=90°，∴∠CDE=∠BCF．在△CDE和△BCF中，，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF=CE=2．∵CF=1，∴BC=1+2=5，即正方形ABCD的面积为5．故答案为：5．此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．29．【解析】,由ABCD为正方形，利用正方形的性质得到∠ABC为直角，且AB=BC，利用平角的定义得到一对角互余，再由AE与CF都与直线l垂直，得到一对直角相等，在直角三角形ABE中，得到两个锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ABE与三角形CBF全等，利用全等三角形的对应边相等得到AE=BF=2，EB=CF=4，利用勾股定理求出AB的长，即为正方形的边长．解：∵ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴∠ABE+∠CBF=90°，∵AE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AE=BF=2，EB=CF=4，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：，则正方形的边长为cm，故答案为：.此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．30．【解析】如图，连接EG，EB′．求出EG，EB′的长，可以判定点B′在EG的延长线上时，GB′的值最小，最小值=，即可解决问题．解：如图，连接EG，EB′，,∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=DC=AB=2，∵AE=DE=1，DG=GC=1，∴EG===，由翻折的性质可知，∠A′=∠A=90°，A′E=AE=1，A′B′=AB=2，∴EB′===，∴当点B′在EG的延长线上时，GB′的值最小，最小值=，故答案为．本题考查正方形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
