第3课时平行四边形的性质定理31．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；(重点)2．利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题．(难点)一、情境导入如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，你能判断AE与CF的关系，同时给出相关的证明吗？二、合作探究探究点：平行四边形的对角线互相平分【类型一】利用平行四边形对角线互相平分求三角形的周长如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，且AC+BD＝28，BC＝12，求△AOD的周长．解析：首先根据平行四边形的性质和对角线的和求得AO+OD的长，然后根据BC的长得到AD的长，从而求得△AOD的周长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，AD=BC．∵AC+BD＝28，∴AO+OD＝14．∵AD＝BC＝12，∴△AOD的周长＝AO+OD+AD＝14+12＝26．方法总结：本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是了解平行四边形的对角线互相平分，难度不大．【类型二】利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O作直线交AB，CD的反向延长线于E，F两点，求证：OE＝OF．解析：在平行四边形ABCD中，由AB∥CD可得∠E＝∠F，进而由对顶角相等及平行四边形对角线互相平分可得出△OAE≌△OCF，即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，DF∥EB．∴∠E＝∠F．在△OAE和△OCF中，∴△OAE≌△OCF．∴OE＝OF．方法总结：本题考查了平行四边形的对边平行，对角线互相平分的性质，以及全等三角形的判定与性质，证明两边相等，就证明这两边所在的三角形全等，是几何证明中常用的方法，一定要熟练掌握．【类型三】判断直线的位置关系如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA＝OC，OB＝OD.利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用△FOD≌△EOB可得出BE＝DF，BE∥DF.解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E、F分别是OA、OC的中点，∴OE＝OF，又∵∠FOD＝∠EOB，∴△FOD≌△EOB(SAS)，∴BE＝DF，∠ODF＝∠OBE，∴BE∥DF.方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．【类型四】利用方程的思想求线段的长如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠BAC＝90°，AC+BD＝32，AB＝8，求AD的长．解析:由平行四边形的性质和已知条件可得OA+OB＝16，设OA＝x，则OB＝16﹣x，在直角三角形BAO中利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程可求出x的值，进而可求出AD的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD.∵AC+BD＝32，∴OA+OB＝（AC+BD）＝16，设OA＝x，则OB＝16﹣x，∵∠BAC＝90°，∴AB2+OA2＝OB2，即82+x2＝（16﹣x）2，解得x＝6，∴AC＝2OA＝2x＝12，在Rt△ABC中，由勾股定理可得BC＝＝＝4，∴AD＝BC＝4．方法总结：本题考查了平行四边形的性质和勾股定理的运用，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．三、板书设计1．平行四边形的对角线互相平分2．平行四边形的性质定理3的运用
通过分组讨论学习和自主探究，加强了学生在教学过程中的实践活动，也使学生之间的合作意识增强，与同学交流学习的气氛更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，教学相长．
